青海省西宁市海湖中学2023届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市海湖中学2023届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,集合,,则集合为( )
A.B.C.D.
2．若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为( )
A.B.C.D.
3．直线与平行,则( )
A.B.2C.或2D.0或1
4．已知m,n是直线,α是平面,且,则下列结论中正确的是( )
A.,都有B.,使
C.,都有D.,使
5．等于( )
A.B.C.D.1
6．关于x,y的不等式组,表示的平面区域的面积为( )
A.3B.C.2D.
7．已知数列为各项均为正数的等比数列,是它的前n项和,若,且,则( )
A.29B.30C.31D.32
8．如图所示,在中,点D在线段BC上,且,若,则( )
A.B.C.2D.
9．已知函数,若对于任意的,都有成立,则的最小值为( )
A.2B.1C.4D.
10．从5名同学中选若干名分别到图书馆,食堂做志愿者,若每个地方至少去2名,则不同的安排方法共有( )
A.20种B.50种C.80种D.100种
11．已知双曲线右焦点为,过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,抛物线的焦点为F,若为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
12．已知是偶函数,在(－∞,0)上满足恒成立,则下列不等式成立的是( )
A.B.
C.D.
二、填空题
13．直线与函数的图象恰有三个公共点,则实数m的取值范围是________.
14．已知向量,满足,,,则向量在向量上的投影为________.
15．袋中装有3个红球2个白球,从中随机取球,每次一个,直到取得红球为止,则取球次数的数学期望为________.
16．数列的前n项积为,那么当时,________.
三、解答题
17．第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如下频数分布表:
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”,否则定义为“非体育达人”,请根据频数分布表补全列联表:
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关;
（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率.
附表及公式:
.
18．在直角梯形ABCD(如图1),,,,,M为线段AD中点.将沿AC折起,使平面平面ACD,得到几何体(如图2).
（1）求证:平面ABC;
（2）求AB与平面BCM所成角的正弦值.
19．已知各项都为正数的数列满足.
（1）证明:数列为等比数列;
（2）若,,求的通项公式.
20．已知函数,,.
（1）若函数在上单调递减,求实数a的取值范围;
（2）若函数存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
21．设,分别是椭圆的左,右焦点.
（1）若P是该椭圆在第一象限上的一个动点,若,求点P的坐标;
（2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
（2）求直线l被曲线C截得的弦长是多少?
参考答案
1．答案：C
解析：由N中方程解得:或,即,
全集,,
,
则;;
;,
故选C.
2．答案：B
解析：由复数的运算法则有:,
则实部和虚部之积为.
本题选择B选项.
3．答案：B
解析：由于两条直线平行,所以,,解得或,当时,两条直线方程都为,即两条直线重合,不符合题意,故,所以本小题选B.
4．答案：B
解析：若,,则m,n平行或异面,所以A错误;
若,则,使,因此,使,即,所以B正确;
若,,则或n在内,所以C错误;
若,则,使,因此若,则,即,所以D错误;
故选:B
5．答案：C
解析：因为,
所以.
故选:C.
6．答案：C
解析：可行域为一个直角三角形ABC,其中,,所以面积为,选C.
7．答案：C
解析：,,,
,,
设的公比为q,,,
,
.
故选:C.
8．答案：B
解析：由向量的运算法则,
可得,
因为,所以,,从而求得,
故选:B.
9．答案：B
解析：对任意的,成立,
所以,,
所以,
又的周期,
所以,
故选:B.
10．答案：B
解析：当去4个人时,则安排方法有种,
当去5个人时,则安排方法有种,
综上,不同的安排方法共有50种.
故选:B.
11．答案：D
解析：在抛物线中,,
在双曲线中,当时,,取.
因为是锐角三角形,所以,
则,即.
因为双曲线中,
所以,所以,
解得,所以.
因为,则,
所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选:D.
12．答案：A
解析：时,即,
在上单调递减,又为偶函数,
在上单调递增.
,
.
故选:A.
13．答案：
解析：,即,解得,;
时,解得,
当时,直线与函数有一个交点,为处,不满足;
当时,直线与函数有两个交点,为,处,不满足;
当时,直线与函数有三个交点,为,,,满足;
当,直线与函数有两个交点,为,,不满足;
故m的取值范围是.
故答案为:
14．答案：
解析：向量,满足,,,
,
,,
向量在向量上的投影为,
故答案为:.
15．答案：/
解析：由题意得的所有可能值为1,2,3,
,;
,
.
故答案为:.
16．答案：
解析：设数列的前n项积为,则,当时,.
故答案为:
17．答案：（1）填表见解析;有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关;（2）.
解析：（1）由题意得下表:
的观测值为.
所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.
（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工,2名女职工,
记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件,.
答:抽取的这两人恰好是一男一女的概率为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题设可知,,,
,,
又平面ABC⊥平面ACD,平面平面,平面ACD,
平面ABC.
（2）取AC的中点O,连接OB,由题设可知为等腰直角三角形,所以,
又因为平面平面ACD,平面平面,平面ABC,
所以平面ACM,连接OM,因为平面ACM,所以,
因为M,O分别为AD和AC的中点,所以,
所以,故以O为原点,OM,OC,OB所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,
,,,
设平面BCM的一个法向量为,
则,得,令,得,
.
所以AB与平面BCM所成角的正弦值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,
所以,
因为中各项均为正数,
所以,
所以,
所以数列是公比为3的等比数列.
（2）由题意及（1）知,,
因为,
所以,,
所以,
所以,
故,
所以,即.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为在上单调递减,所以当时,恒成立,
即恒成立,令,
则,而.
因为,所以.所以(此时),所以.
当时,.
因为,所以,即在上为减函数,
又,所以实数a的取值范围是.
（2）因为,,所以.
因为在上存在单调递减区间,
所以当时,有解,即有解.
设,所以只要即可,而,,
所以,此时,所以.
又,所以或.
所以实数a的取值范围为.
21．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题意知,,,,
所以,,设,
则,
又,有,解得,
所以;
（2）显然不满足题意,设直线l的方程为,设,
,
,解得,①
,,
则,
又为锐角,AOB不共线,则,即,,
所以
,
解得,②
由①②,解得或,
所以实数k的取值范围为.
22．答案：（1）,
（2）8
解析：（1）由消去参数t,得直线l的普通方程为.
曲线C的极坐标方程为,即,
将,代入得,即.
曲线C的直角坐标方程为.
（2）联立,得,,
设直线l与抛物线C交于点,,
则,,
故直线l被曲线C截得的弦长为.
收看时间(单位:小时)
收看人数
14
30
16
28
20
12
男
女
合计
体育达人
40
非体育达人
30
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
体育达人
40
20
60
非体育达人
30
30
60
合计
70
50
120