江西省宜春市宜春中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由交集的运算求解.
【详解】由题意得，.
故选:B.
2. 在平面直角坐标系中，给出下列命题：
①终边经过点的角的集合是；
②将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；
③若是第三象限角，则是第二象限角；
④若，则．
其中假命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据终边所过点可求终边对应的角的集合，故可判断①的正误，根据正角的定义可判断②的正误，根据反例可判断③的正误，根据集合中元素的关系可判断④的正误.
【详解】对于①，若角的终边过，则角的终边为一、三象限的分角线，
终边对应的角的集合为，故①正确.
对于②，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，故②正确.
对于③，取，则为第三象限角，而，
故为第四象限角，故③错误.
对于④，因为任意，而，故，
故，故，故④正确.
故选：A.
3. 若α，β都是第一象限角，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设，且，由和在上单调递增，可判断.
【详解】因为α，β都是第一象限角，
设，且，
因为和在上单调递增，
当时，即，
所以，则，
所以；
反之，当时，即，
所以，则，即,
所以“”是“”成立的充分必要条件.
故选：C
4. 已知函数，且对，满足，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出，再由函数单调性比较大小.
【详解】由题意得，是单调递增函数，
，
.
故选：B.
5. 已知函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 有且仅有两个零点
B. 有一个或两个零点
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】画出的图象，根据零点的定义，可判断A、B，采用整体代入的方法，结合正弦型函数的性质判断C、D即可.
【详解】，当时，，
由于函数在上有且只有3个零点，
故，解得，C正确；
设，则，
如下图作出函数的图象，
则在有两个最小值点（最小值为），
有一个或两个最大值点（最大值为），
所以有且仅有两个零点，有一个或两个零点，故A，B正确.
当时，，
由知，
而在递减，在递增，
故在上不一定单调递减，故D错误.
故选：D.

6. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题知函数偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，根据函数图像平移得时，， 时，，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
因为在上均为单调递增
所以，当时，为增函数，
所以，当时，为增函数，当时，为减函数，
因为，
所以，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，
所以，当时，不等式显然成立，
当时，不等式的解集为，
综上，的解集为
故选：C
7. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积.
【详解】
可得：扇形面积，
三角形面积，
可得弓形面积，
故选：C
8. 冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t，（单位：天）的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（ ）
A. 6天B. 7天C. 8天D. 9天
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，然后根据“的3倍”列方程，化简求得需要的时间.
【详解】依题意，，且时，，
即，所以，，
令，两边取以为底的对数得，
所以至少需要天.
故选：B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若不等式对一切实数x恒成立，则实数m的可能取值范围是（ ）
A. 0B. 2
C. D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】讨论，，结合一元二次不等式的解法求出实数m的取值范围.
【详解】解：①，即时，，符合题意；
②时，由题意得：，解得：，
综上所述：，
故选：BC.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 方程在区间上只有一个根时，实数a的取值范围为
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个选项分析判断即可得.
【详解】由题可得，故，又，故，
，故，
解得，由，故，
即，
对A：函数向左平移个长度单位后，可得，故A错误；
对B：当时，，故B正确；
对C：由，故、中一个为最小值点，一个为最大值点，
故，故C正确；
对D：当时，，由，
故方程在区间上只有一个根时，
实数的取值范围为，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，若存在四个实数，，，，使得，则（ ）
A. 的范围为B. 的取值范围为
C. 的取值范围为D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意作出函数图象，确定，，，，借助和的单调性求值域的取值范围.
【详解】函数的图象如图所示：
因为函数与交于4个交点，则，选项A正确；
因为，则，
由于，则，
所以，则，且，
，
令，得，或，
所以，又，
则，所以，且，
所以，则，选项B错误；
，
由，得，
，
由函数在为增函数，
可知，则，
所以，选项C正确；
，设，
则，，且为增函数，所以，
即，选项D正确
故选：ACD
【点睛】思路点睛：先数形结合，分别确定四个实数各自的取值范围，再由已知找到，；在判断范围时分别用到了两个函数和的单调性求值域.
12. 已知，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可判断D..
【详解】对于A，由于，故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
即的最小值为 ，A正确；
对于B，由于，，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即的最大值为，B正确；
对于C，又，得，
故
由于，而对称轴为，
则在上单调递减，在上无最值，C错误；
对于D，令，则，
故，
由于，故，
，
则，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
所以，
即的最小值为，D正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设函数满足，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先令求出，从而可求出，进而可求出
【详解】因为，
所以，得，，
所以，
所以，
故答案为：
14. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由对数型复合函数单调性可知，在上恒成立，且在定义域内单调递增，且在上单调递增，进而可求得结果.
【详解】令，则，
由复合函数单调性可知，在上恒成立，
且在定义域内单调递增，且在上单调递增，
又的对称轴为，
所以，解得.
故答案为：.
15. 已知函数.若存在，使不等式成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据的范围求出范围，可得的值域，可得答案.
【详解】当时，，则，
所以，因此在上的值域为，
若存在，使不等式成立，
则，所以的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知正数x，y满足，则的最小值是___________．
【答案】8
【解析】
【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案.
【详解】正数x，y满足，
设，则，故，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，解得或（舍去），
故的最小值为8.
故答案为：8
四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）化简：；
（2）化简：．
【答案】（1）17；（2）
【解析】
【分析】（1）由指数、对数运算性质运算即可；（2）由诱导公式化简即可求解.
【详解】（1）
．
（2）
.
18. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值得到的分段解析式，然后分情况求解，从而得解.
（2）结合（1）中结论，分类讨论得，从而，由此得解.
【小问1详解】
因为，
所以或或，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为.
【小问2详解】
由（1）知当时，；
当时，；
当时，；
综上，，所以，
故，故，解得，
即实数的取值范围为.
19. 国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宜传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求这组数据的分位数（精确到0.1）：
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.
①再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率；
②若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差.
【答案】（1）
（2）①；②27
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求,即可根据面积求解第30百分位数；
（2）①由列举法结合古典概型的概率公式计算即可；②由平均数、方差的计算公式求解即可．
【小问1详解】
由表中数据可得，解得，
设第30百分位数为，
，，
位于第三组：内，
；
【小问2详解】
①由题意得，第2组和第5组的频率分别为，故第2组和第5组所抽取的人数之和为，
且第2组和第5组抽取人数之比为，
即第2组3人，记为，，，
第5组2人，记为甲，乙，
对应的样本空间为：，甲，乙， 甲，乙，甲乙，甲，乙， 甲乙，甲乙，共10个样本点，
设事件为“至2人被选上”，
则有，甲，乙， 甲，乙，甲，乙，共有7个样本点，
；
②设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，
设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为，
第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
即第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为37，．
即第2组和第3组所有宣传使者的年龄方差为27．
20. 已知函数，其中．
（1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值；
（2）若的最小值为，求．
【答案】（1）最小值，；最大值为，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解；
（2）利用二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
当时，，
令，，则，
的图象对称轴为，开口向上，
所以当时，即时，取得最小值，最小值为，
当时，即时，取得最大值，最大值为，
所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时.
【小问2详解】
因为
的最小值为，
所以，所以，
又，
所以.
21. 定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．
【答案】（1）；（2）凹函数；见解析（3）[﹣2，0）．
【解析】
【分析】(1)根据二次函数的图像与性质求解即可.
(2)根据凹函数的定义求解的正负判断即可.
(3)分情况去绝对值,再参变分离求解范围即可.
【详解】（1）当a＝1时，，
由二次函数的图象及性质可知，，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域为；
（2）当a＝1时，函数f（x）是凹函数，此时f（x）＝x2+x，
，，
作差得到：
，
即有f（），故函数f（x）＝x2+x是凹函数；
（3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，则有，即，
当x∈（0，1]时，有，即，
又x∈（0，1]，则，
∴当时，，，
综上实数a的取值范围为[﹣2，0）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的值域,图像与性质等.同时也考查了新定义的运用,需要根据题意计算求解分析.同时也考查了参变分离求参数范围的问题.属于难题.
22. 设函数是定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；
（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质可知，得出；
（2）由（1）得又，求出，由函数的单调性不等式整理为对一切恒成立，利用判别式法求解即可；
（3）把点代入求出，假设存在正数，构造函数设则，对底数进行分类讨论，判断的值．
【详解】（1）是定义域为的奇函数
∴，
∴；
（2）由（1）得，
由得又，
∴
由得，
∴奇函数∴∴，
∴为上的增函数，
∴对一切恒成立，
即对一切恒成立，
故，解得；
（3）假设存在正数符合题意，由得
，
设，则，
，∴，
记，
函数在上的最大值为0，
(ⅰ)若，则函数在有最小值为1，
对称轴，∴﹐不合题意；
(ⅱ)若，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，
①，
又此时，
又，故无意义，
所以应舍去；
②无解，
故不存在正数，使函数在上的最大值为0.
【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题，属于难题．