2023-2024学年四川省绵阳市南山中学高三（下）入学数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市南山中学高三（下）入学数学试卷（文科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={y|y=2x,x1lnx+2的解集为( )
A. (e2,+∞)B. (0,e2)C. (e,e2)D. (1,e2)
12.若抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=2π3，弦AB的中点M在准线l上的射影为M′，则|MM′||AB|的最大值为( )
A. 4 33B. 2 33C. 33D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知双曲线x28−y2m2=1(m>0)的离心率为3，则m= ______．
14.设x，y满足约束条件x≥0x−y≥0x+y≤2，则z=2x−y的最大值为______．
15.将函数f(x)= 3sin2x+2sinxcsx− 3cs2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的的4倍，再将所得图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的对称中心为______．
16.在△ABC中，BC=6，AB+AC=8，E，F，G分别为三边BC，CA，AB的中点，将△AFG，△BEG，△CEF分别沿FG，EG，EF向上折起，使得A，B，C重合，记为P，则三棱锥P−EFG的外接球表面积的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在①sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab，②(a+2b)csC+ccsA=0，③ 3asinA+B2=csinA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．
(1)求角C的大小；
(2)若c=4，求AB的中线CD长度的最小值．
18.(本小题12分)
某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数xi，yi(i=1,2,3,4,5)，数据如表所示：
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若|r|>0.75，则线性相关程度很高)
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2， 0.9≈0.95．
19.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，BC=2CD=2AD=2 2，平面ABCD⊥平面PAC．
(1)证明：PC⊥AB；
(2)若PA=PC= 52AC，M是PA的中点，求三棱锥C−PBM的体积．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex(ex−a)−a2x，其中参数a≤0．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知点P(2,1)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为 32．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过P作直线l交椭圆C于另一点A，求△PAO的面积的取值范围．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为x=2+2csαy=2sinα(α为参数，0≤α2⇔g(lnx)>g(2)，
又由g(x)在(0,+∞)上为增函数，
则有lnx>2，解得x>e2，
即不等式的解集为(e2,+∞)．
故选A．
12.【答案】C
【解析】解：如图，
设AF=a(a>0)，BF=b(b>0)，由抛物线定义，得2|MM′|=a+b．
在△ABF中，由余弦定理，得|AB|2=a2+b2−2abcs2π3=a2+b2+ab=(a+b)2−ab，
∵a>0，b>0，由基本不等式得：a+b≥2 ab，∴ab≤(a+b)24，
∴(a+b)2−ab≥34(a+b)2．
即|AB|2≥34(a+b)2，∴|AB|≥ 32(a+b)．
∴|MM′||AB|≤a+b2 32(a+b)= 33．
∴|MM′||AB|的最大值为 33．
故选：C．
设AF=a，BF=b，由抛物线定义得2|MM′|=a+b.再由余弦定理得|AB|2=a2+b2−2abcs2π3，结合不等式a+b≥2 ab求得|AB|的范围，把|MM′|和|AB|作比可得答案．
本题主要考查对抛物线定义的应用和余弦定理的应用．训练了基本不等式的用法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，是中档题．
13.【答案】8
【解析】解：由双曲线方程可知，a2=8，b2=m2，则c2=8+m2，
由e=ca=3知，c2a2=8+m28=9，得m2=64，且m>0，
所以m=8．
故答案为：8．
根据双曲线方程求a2，b2，c2，再根据离心率公式求m．
本题考查了双曲线的方程及性质，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：作出可行域如下：
由z=2x−y可得y=2x−z，由图可知当直线y=2x−z过点(2,0)时，
−z最小，则z最大，此时z=2x−y=2×2−0=4．
故答案为：4．
由题意画出可行域，利用目标函数的几何意义结合图象即可求解．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】(2kπ+π3,0)(k∈Z)
【解析】解：由二倍角公式以及辅助角公式有f(x)=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
由题意变换可知y=2sin(2x−π3)⇒y=2sin[12(x+π3)−π3]=2sin(12x−π6)，
所以g(x)=2sin(12x−π6)，令12x−π6=kπ,k∈Z得x=2kπ+π3,k∈Z，
故g(x)的对称中心为(2kπ+π3,0)(k∈Z)．
故答案为：(2kπ+π3,0)(k∈Z)．
由三角恒等变换化简f(x)的解析式，然后由伸缩、平移变换法则即可得到函数g(x)的解析式，进而求解．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】17π2
【解析】解：设AB=2m，AC=2n，由题设m+n=4，
三棱锥P−EFG中，FG=PE=3，EF=PG=m，EG=PF=n，
将P−EFG放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有x2+y2=32y2+z2=m2,z2+x2=n2三棱锥P−EFG的外接球就是长方体的外接球，
所以(2R)2=x2+y2+z2=12(9+m2+n2)，由基本不等式m2+n2≥(m+n)22=8，
当且仅当m=n=2时等号成立，所以外接球表面积最小值为S=4πR2≥12(9+8)π=17π2．
故答案为：17π2．
设AB=2m，AC=2n，由题设m+n=4，将P−EFG放在棱长为x，y，z的长方体中，利用三棱锥P−EFG的外接球就是长方体的外接球，即可求解．
本题考查了三棱锥外接球表面积的最值计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)选择条件①，
由sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab及正弦定理，可得ab+ba+1=c2ab，则a2+b2−c2=−ab，
由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
因为0