2025版高考数学一轮复习真题精练第六章数列第22练数列的综合应用课件

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1[2020全国Ⅱ卷·4,5分,难度★★☆☆☆]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块
4[2017全国Ⅰ卷·12,5分,难度★★★★☆]几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440B.330C.220D.110
5[多选][2021新高考Ⅱ卷·12,5分,难度★★★★☆]设正整数n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1}(i=0,1,2,…,k),记ω(n)=a0+a1+…+ak.则A.ω(2n)=ω(n)B.ω(2n+3)=ω(n)+1C.ω(8n+5)=ω(4n+3)D.ω(2n-1)=n
6[2020江苏卷·11,5分,难度★★☆☆☆]设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是　　　　. 
【解析】6.4　通解　当n=1时,S1=a1+b1=1①,当n≥2时,an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1,则a2+b2=4②,a3+b3=8③,a4+b4=14④,②-①得d+b1(q-1)=3⑤,③-②得d+b2(q-1)=4⑥,④-③得d+b3(q-1)=6⑦,⑥-⑤得b1(q-1)2=1,⑦-⑥得b2(q-1)2=2,则q=2,b1=1,d=2,所以d+q=4.优解　由题意可得S1=a1+b1=1,当n≥2时,an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1,易知当n=1时也成立,则a1+(n-1)d+b1qn-1=dn+a1-d+b1qn-1=2n-2+2n-1对任意正整数n恒成立,则d=2,q=2,d+q=4.光速解　由等差数列和等比数列的前n项和的特征可得等差数列{an}的前n项和Hn=n2-n,等比数列{bn}的前n项和Tn=2n-1,则d=2,q=2,d+q=4.
9[2022新高考Ⅱ卷·17,10分,难度★★★☆☆]已知{an}是等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1; (2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.
【解析】9.　(1)设等差数列{an}的公差为d,由a2-b2=a3-b3得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,即d=2b1,由a2-b2=b4-a4得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),即a1=5b1-2d,将d=2b1代入,得a1=5b1-2×2b1=b1,即a1=b1.(2)由(1)及题设得an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)×2b1=(2n-1)b1,bn=b1·2n-1,由bk=am+a1得b1·2k-1=(2m-1)b1+a1,由a1=b1≠0得2k-1=2m,由题知1≤m≤500,所以2≤2m≤1 000,所以k=2,3,4,…,10,共9个数,即集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9.