四川省广元市2023_2024学年高二数学上学期第一次阶段性测试10月试题含解析

这是一份四川省广元市2023_2024学年高二数学上学期第一次阶段性测试10月试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角是，
所以该直线的斜率为，
故选：C
2. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（）
A. 四点必共面B. 四点必共面
C. 四点必共面D. 五点必共面
【答案】B
【解析】
【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.
【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面.
而，其中，所以四点共面.
故选：B.
3. 点关于平面对称的点的坐标是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.
【详解】由空间直角坐标系的性质可知，
点关于平面对称的点的坐标是.
故选：A
4. 直三棱柱中，若，，，则（）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量对应线段位置关系，及向量加减的几何意义用表示出即可.
【详解】根据向量的加减法运算法则得：
.
故选：A
5. 已知随机事件和互斥，且,.则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.
【详解】与互斥
本题正确选项：
【点睛】本题考查概率中互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.
6. 如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，
所以，，
设和所成的角为，则，
因为，所以.
故选：B
7. 已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（）
A. 5B. 6C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积公式即可求解.
【详解】如图，平行六面体中，
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
.
，
故选：A.
8. 设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：
依题意，，
要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
二、多选题（本大题共4个小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列选项正确的是（）
A. 若直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为
B. 已知向量，则在上的投影向量为
C. 若，则是锐角
D. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直线方向向量的概念即可判断A，由投影向量的定义，即可判断B，由平面向量数量积的定义即可判断C，由空间中点到直线的距离公式，即可判断D.
【详解】因为直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为，故A正确；
由投影向量的定义可知，在上的投影向量为
，故B正确；
若，则，故C错误；
由条件可得，由，
所以在方向上的投影为，
则点到直线的距离为，故D正确；
故选：ABD.
10. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
D. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正切函数图象判断选项AC的真假；
B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；
举反例说明选项D错误.
【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；
B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；
C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是，所以该选项正确；
D. 若直线的斜率为，则但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.
故选：ABD
11. 已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（）
A. 与是共线向量B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．
【详解】对于A：，
与不是共线向量，故A错误；
对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；
对于C：，
∴，故C错误；
对于D：，
设平面的法向量为，
则，取，得，故D正确．
故选：AC．
12. 如图所示，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）．
A. 平面平面
B. 三棱锥的体积为
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，逐项判断即可.
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，连接，因为平面，平面，所以是平面的一个法向量，
又，所以，则，
又平面，所以平面
则是平面的一个法向量，又，
所以平面平面，故A正确；
对于B，连接，因为，，所以，则，又平面，平面，所以平面，
点在线段上的动点，点到平面的距离即点到平面的距离，
设平面的法向量为，又，
则，令，所以
又，所以距离，
在中，所以正三角形
，故B不正确；
对于C，点为线段上的动点（不含端点），则设
所以，
则，故C正确；
对于D，因为，，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13. 已知直线与直线互相垂直，直线的斜率为-2，则直线的斜率为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据垂直直线的斜率关系列出方程，求解即可得出答案.
【详解】设直线的斜率为，
因为，直线的斜率为-2，
所以，解得.
故答案为：.
14. 已知，，则线段AB的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间中两点间距离公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为点，，
根据空间中两点间距离公式，可得.
故答案为：.
15. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围．
【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，．
，，．
点在线段上运动，
，且．
，
，
∵，∴，即，
故答案为：．
16. 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】取中点，由题可得平面，设点轨迹所在平面为，则轨迹为平面截三棱锥的外接球的截面圆，利用球的截面性质求截面圆半径即得.
【详解】取中点，连接，则，
，平面，所以平面，
又因为，则，
作于，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点，且，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，的中心分别为，
可知平面平面，且四点共面，
由题可得，
在Rt中，可得，
又因为，则，
易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
所以截面圆的面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知空间向量，，．
（1）若，求；
（2）若与相互垂直，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；
（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.
小问1详解】
，
，，
即，且，，解得；
【小问2详解】
，，
又，解得．
18. 一个口袋中装有5个大小完全相同的球，其中3个红色，2个白色，若从中任取2个球．
（1）求事件“恰有1个红色球”的概率；
（2）求事件“两个都是红色球”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据古典概型公式求解即可.
【小问1详解】
设3个红球分别是，两个白球分别为，
从中任取2个球，基本事件为：，共10个．
事件“恰有1个红色球” 的基本事件为：，共6个．
所以．
【小问2详解】
事件“两个都是红色球”的基本事件为：，共3个．
所以．
19. 已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).
（1）求点D的坐标；
（2）试判定▱ABCD是否为菱形？
【答案】（1）D(－1,6)
（2）为菱形
【解析】
【分析】（1）设点D坐标为(a，b)，根据四边形ABCD为平行四边形，由kAB＝kCD，kAD＝kBC求解；
（2）根据kAC·kBD＝－1判断.
【小问1详解】
解：设点D坐标为(a，b)，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以
解得
所以D(－1,6).
【小问2详解】
因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，
所以▱ABCD为菱形.
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．
（1）求证：平面MBD；
（2）若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.
【小问1详解】
连接AC交BD于点O，连接OM，
由四边形ABCD为矩形，
可知O为AC中点，M为PC中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面MBD.
【小问2详解】
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21. 已知，函数.
（1）求的周期和单调递减区间；
（2）设锐角的三个角所对的边分别为a，b，c，若，且，求周长的取值范围.
【答案】（1）最小正周期为，
（2）
【解析】
【分析】(1)将利用平面向量数量积的坐标运算和三角恒等变换化简后可得；然后利用正弦函数的周期公式和单调性即可求出单调递减区间；
（2）利用正弦定理表示出，利用三角恒等变换将化简，再根据角度范围求出结果.
【小问1详解】
，
则，
函数的最小正周期为.
的单调递减区间需要满足：
，即，
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以，因为，
则由正弦定理可得，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，则，
所以的取值范围为.
所以周长的取值范围是
22. 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的大小为．
（1）若，，，证明：平面；
（2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2），
【解析】
【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE∥AB交AC于E，连接PE即证面PEQ∥面AB1即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出与平面所成最大角时的P点位置，求其正切，再求二面角即可.
【小问1详解】
如图所示，过Q作QE∥AB交AC于E，连接PE，过C1作C1F∥A1A，交AC于F，
∵，结合圆台的特征知，
又∵，解三角形得，
故，即，
∵，由题意易知四边形为直角梯形，
∴，，故，
∵面，面，∴QE∥面，
同理PE∥面，
又面PQE，∴面∥面，
面，∴平面，得证；
【小问2详解】
如图，结合圆台的特征，当时，此时两两垂直，
故以A为中心，以AB、AC、AA1所在的直线分别为轴、轴、轴，
则，
设，则，，
易知轴⊥面，不妨取作为面的一个法向量，
设与平面所成角为，
则，
即当时，取得最大值，此时为最大角，，
设此时面APQ的一个法向量为，
易得，则，
令，则，即，
由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为，故，