114，广东省深圳市南山区南山二外（集团）学府中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份114，广东省深圳市南山区南山二外（集团）学府中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题，共25页。试卷主要包含了 下列说法中，错误的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可．
【详解】解：卷纸的主视图应是：
，
故选：C．
2. 用配方法解一元二次方程，变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3. 不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可利用画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：设李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗分别为A、B、C，
画树状图为：

由图知，一共有6种等可能的结果，其中从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的有2种，
∴从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理得出，进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
，
则，
线段，
，
，
故选：C．
5. 点和在反比例函数的图象上，若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是看k，并能正确把握反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，当时，图象在第一三象限，在图象的每一支上y随x的增大而减小，可以判断出，
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴在图象的每一支上y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：D．
6. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 平行四边形对角相等
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定定理进行排除．
【详解】A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故原说法正确；
B、平行四边形对角相等；故原说法正确；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确；
故选：C．
7. 如图，E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是( )
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】连接AC、DB，根据题意可确定线段EH为的中位线，线段FG为的中位线，即得出，，可判定四边形EFGH为平行四边形．
【详解】如图，连接AC、DB．
∵E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，
∴线段EH为的中位线，线段FG为的中位线，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形．
故选D．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定．正确的连接辅助线是解题关键．
8. 10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是设参赛队伍有支，根据参加乒乓球比赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【详解】解：设参赛队伍有x支，
由题意可得：，
故选B．
9. 如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ）

A. 点O为的对称中心B. 平分
C. D. 四边形为菱形
【答案】B
【解析】
【分析】由作图知，是线段的垂直平分线，利用平行四边形的性质可判断选项A；根据菱形的判定定理可判断选项C；根据菱形的性质得到，可判断选项D；不一定平分，选项B不正确．
【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，即点O为的对称中心，故选项A正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，∴，
∵是线段垂直平分线，∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意；
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
不一定平分，故选项B不正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案．
【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟，
∴AB=1×6=6，
∵，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6，
当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系，
当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，
∴a对应动点Q和点C重合，如图：
∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点C作，交于点E ，
∴，
∴，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 如果，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用比例性质求代数式值，涉及比例性质、分式求值等知识，由条件可设，其中，代入分式化简求值即可得到答案，熟练掌握由比例性质设出值是解决问题的关键．
【详解】解：，
设，其中，
，
故答案为：．
12. 在△ABC中，若，则的度数是 _____．
【答案】##105度
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
先利用非负数的性质得到，即，则根据特殊角的三角函数值得到的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，某幅画的总面积为，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是利用频率估计概率．因为骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的，由此计算即可．
【详解】∵骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，
∴可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的，
即画上被污染部分的面积约为．
故答案为：
14. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口AB∥OD，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为________米．
【答案】8
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到BE=OA=5，AB=2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y=，代入B点坐标，得到k=10，然后求出D点横坐标，最后用OD-OE即可求解．
【详解】∵四边形AOEB是矩形
∴BE=OA=5，AB=2
∴B(2，5)
设双曲线的解析式为y=，将点B的坐标代入，5=
∴k=10
∴y=
∵CD为1
∴当y=1时，x=10
∴OD=10
∴DE=OD-OE=10−2=8
∴B、C之间的水平距离DE的长度为8米．
故答案为8．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，矩形的性质，解题突破口是设双曲线BC的解析式为y=．
15. 如图，点E是正方形边的中点，，连接，将沿AE翻折，得到，延长，交的延长线于点M，交于点N．则的长度为 ________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，过点M作于点H，求出，得出，证明，求出，再证明，求出结果即可．
【详解】解：连接，过点M作于点H，如图所示：

∵四边形为正方形，
∴，，，
∵E是的中点，
∴，
根据折叠可知，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明，求出．
三．解答题（本大题有七题，其中第16题5分、第17题7分、第18题8分、第19题8分，第20题8分、第21题9分、第22题10分，共55分，解答应写出文字说明或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了实数运算，分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
当时，原式．
17. 我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【答案】（1）20,90,40
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出学生总数，再用总人数减去A、C、D的人数得到“B等级”，然后用乘以“B等级”所占的百分比即可求得“B等级”的扇形的圆心角的度数；再后求出“C等级”所占的百分比即可求得m的值；
（2）根据（1）求得“B等级”的数量，补全条形统计图即可；
（2）根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数，由C等级人数及总人数可求得m的值；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，然后根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：（人），即参赛学生共20人；
则B等级人数（人）．
“B等级”的扇形的圆心角的度数为：；
“C等级”的所占的百分比为：，即．
故答案为：20，90，40．
【小问2详解】
解：补全条形图如下：
【小问3详解】
解：根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：

由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴所选学生恰是一男一女的概率．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，弄清题意、从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
18. 请用学过的方法研究一类新函数（k为常数，）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
（3）在坐标系中画出函数的图象，并结合图象，求当时，x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．②时，当，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大；（3）图象见解析，或
【解析】
【分析】（1）利用描点法可以画出图象．
（2）分和两种情形讨论增减性即可；
（3）画出函数的图象，根据图象即可求得．
【详解】（1）函数的图象，如图所示，
（2）①时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．
②时，当，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大；
（3）由图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点评】本题考查反比例函数图象、正比例函数的图象，反比例函数的性质，解题的关键是掌握描点法画函数图象，学会利用函数图象说明函数增减性．
19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】19. 该品牌头盔销售量的月增长率为
20. 该品牌头盔的实际售价应定为元/个
【解析】
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
根据题意可得，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
由题意可得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，
（舍去），
答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．
20. 下面是多媒体上的一道试题：
如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，求证：四边形是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路．
小星：先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红：先证明与全等，然后利用“有三个角是直角四边形是矩形”即可得证．
（1）请你选择一位同学的思路，并进行证明；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为
【解析】
【分析】（1）小星的思路．先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红的思路．由“”可证≌，可得，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证；
（2）先在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
选择小星的思路．
证明：四边形是菱形，
，．
，
，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形矩形；
选择小红的思路．
证明：四边形是菱形，
，．
，
，
，
．
，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
在中，，
四边形是菱形，
，
．
中，，
，
解得．
的长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：喷水口升高的最小值为米；任务3：建议花卉的种植宽度为米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式．
任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的:函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，从而可以求出喷水口升高的最小值；
任务3:：依据题意，当向上平移个单位，再令，，求出x的值，再减去即可判断得解．
【详解】解：任务1：由题意得，，顶点为，
可设抛物线的函数表达式为，
抛物线过，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
任务2：由题意，喷泉池的半径为米，
令，则，
喷水口升高的最小值为米；
任务3：当向上平移个单位，
则，
令，，
解得：，（舍去），
米，
建议花卉的种植宽度为米．
22. 【问题呈现】
如图1，在中，，，，点P，Q分别是射线，射线上的两动点，且满足，连接．问：有何特点？
【探究与延伸】
（1）以下是某中学九年级（4）班同学们的一些猜测，其中正确的是 （填序号）；
①运动过程中，的周长不变；
②运动过程中，面积不变；
③运动过程中，的形状不变；
④运动过程中，的大小不变．
（2）某同学提问：运动过程中，的值是否发生变化？请你帮忙解惑（若变化，请说明理由；若不变，请你依图1中的位置情形，求出其值）．
（3）如图2，点O是的中点，点M是的中点，当最小时，M，O两点间的距离是多少？（可直接写出结果）
【答案】（1）③④；（2）的值不发生变化，的值为；（3）M，O两点间的距离是
【解析】
【分析】（1）作交的延长线于点，连接，可证明，得，所以，再证明，因为的形状不变，所以的形状不变，的大小不变，而点是射线上的动点，所以的周长和面积改变，于是得到问题的答案；
（2）作交的延长线于点，可证明，则，求得1，则，所以，由相似三角形的性质得，所以，可知的值不发生变化，的值为；
（3）由，得，则当时，最小，此时最小，作交的延长线于点，可证明、、三点在同一条直线上，求得，可证明四边形是平行四边形，则，进而证明四边形是平行四边形，则，所以，设交于点，则，得，由点、点都是的中点，证明点与点重合，求得，作于点，则，求得，则，所以，则两点间的距离是．
【详解】解：（1）如图1，作交的延长线于点，连接，则，
∵四边形是平行四边形，
∵，，点是射线上的动点，
∴的形状不变，
∴的形状不变，的大小不变，的周长和面积改变，
故答案为：③④．
（2）的值不发生变化，
如图1，作交的延长线于点，则
的值不发生变化，的值为．
（3）两点间的距离是，
理由：∵，
当时，最小，此时最小，如图2，交的延长线于点，则，
∴、、三点在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
设交于点，则，
∵点、点都是的中点，
∴点与点重合，
作于点，则，
∵点是中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴两点间的距离是．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．素材1
一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）．
图1
素材2
从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．
图2
问题解决
任务1
建立模型
以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2
利用模型
为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值．
任务3
分析计算
喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．