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2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题09圆周运动常考模型(原卷版+解析)
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这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题09圆周运动常考模型(原卷版+解析)，共69页。试卷主要包含了圆周运动中的运动学分析，水平面内的圆周运动，圆周运动中的临界极值问题，圆周运动与图像结合问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5577" 题型一 圆周运动中的运动学分析 PAGEREF _Tc5577 \h 1
\l "_Tc28547" 题型二 水平面内的圆周运动 PAGEREF _Tc28547 \h 6
\l "_Tc23060" 类型1 圆锥摆模型 PAGEREF _Tc23060 \h 6
\l "_Tc27795" 类型2 生活中的圆周运动 PAGEREF _Tc27795 \h 11
\l "_Tc21042" 题型三 圆周运动中的临界极值问题 PAGEREF _Tc21042 \h 16
\l "_Tc20208" 类型1 水平面内圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc20208 \h 16
\l "_Tc277" 类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc277 \h 22
\l "_Tc7670" 类型3 斜面上圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc7670 \h 32
\l "_Tc26647" 题型四 圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc26647 \h 36
\l "_Tc14168" 类型1 水平面内圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc14168 \h 36
\l "_Tc20690" 类型2 竖直面内圆周运动与图像结合 PAGEREF _Tc20690 \h 41
题型一 圆周运动中的运动学分析
【解题指导】1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
【例1】（2023·浙江·模拟预测）在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为0.6 m。下列说法正确的是（ ）
A．泼水时杯子的旋转方向为顺时针方向
B．P位置飞出的小水珠初速度沿1方向
C．杯子在旋转时的角速度大小为
D．杯子在旋转时的线速度大小约为
【例2】．（2023·陕西汉中·统考二模）某学校门口的车牌自动识别系统如图所示，闸杆水平时距水平地面高为，可绕转轴O在竖直面内匀速转动，自动识别区到的距离为，汽车匀速驶入自动识别区，自动识别系统识别的反应时间为，闸杆转动的角速度为。若汽车可看成高的长方体，闸杆转轴O与汽车左侧面的水平距离为，要使汽车顺利通过闸杆（车头到达闸杆处视为通过闸杆），则汽车匀速行驶的最大允许速度为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需的时间为B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为D．P点随圆盘转动的线速度可能为
【例4】．（2023·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R2，内筒半径R1，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄孔S不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R1、R2、和都不变，则取下列选项中哪个值时可使所有微粒都打在N筒上同一点（ ）
A．B．
C．D．
题型二 水平面内的圆周运动
【解题指导】1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3．几种典型运动模型
4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
类型1 圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝eq \r(gLtan θsin θ)，ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ)).
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq \f(mg,cs θ)和运动所需向心力也越大．
【例1】（2023春·北京海淀·高三统考阶段练习）游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，实物图和简化后的示意图分别如下面左、右两图所示。已知飞椅用等长的钢绳系着，钢绳上端的悬点分别固定在顶部水平转盘上的内、外两个圆周上。转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每根钢绳（含飞椅及游客）与转轴在同一竖直平面内。图中P、Q两位游客分别悬于内、外两个圆周上，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，P做圆周运动的半径较小。不计钢绳的重力。下列判断正确的是（ ）
A．P、Q两个飞椅的线速度大小相同
B．无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定小于θ2
C．如果两个游客的质量相同，则有θ1等于θ2
D．如果两个游客的质量相同，则他们所受的向心力大小也一定相同
【例2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图所示，水平机械臂BC固定在竖直转轴CD上，B处固定一与BC垂直的光滑水平转轴，轻杆AB套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，其下端固定质量为m的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大竖直轴转动的角速度，直至杆与竖直方向的夹角为37°，已知，，重力加速度为g，则（ ）
A．此时小球的角速度大小为B．此时小球的线速度大小为
C．此过程中杆对小球做的功为D．此过程中杆对小球做的功为
【例3】（2023·黑龙江·校联考一模）如图所示，、两小球分别用长为、的细绳悬挂在同一竖直线上的两点，现使两球在水平面内做圆周运动，且角速度均缓慢增大，当两球刚好运动到相同高度时，、两球运动半径分别为。此时剪断两细绳，两球落在水平地面上同一点。则下列说法正确的是（ ）
A．在角速度缓慢增大的过程中，两绳的拉力均增大
B．A、两球的质量比为
C．剪断细绳瞬间，A球速度为
D．剪断细绳瞬间，两球距地面高度为
【例4】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形始终在竖直平面内，若转动过程中、两绳始终处于拉直状态，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力范围为
B．绳的拉力范围为
C．绳的拉力范围为
D．如果把绳剪断，小球一定会偏离原来位置
类型2 生活中的圆周运动
【例2】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）2021年3月27日，我国花样滑冰运动员陈虹伊，在2021世界花样滑冰锦标赛上以162.79分的总成绩排在女子单人滑第二十一名。如图甲是我国奥运冠军花样滑冰运动员陈虹伊在赛场上的情形，假设在比赛的某段时间她单脚着地，以速度v做匀速圆周运动，如图乙冰鞋与冰面间的夹角为37°，陈虹伊的质量为m，重力加速度为g，sin37°=0.6，cs37°=0.8，不计冰鞋对陈虹伊的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．陈虹伊受重力、冰鞋的支持力、向心力的作用
B．冰鞋对陈虹伊的支持力大小为
C．陈虹伊做匀速圆周运动的半径为
D．陈虹伊做匀速圆周运动的向心加速度大小为
【例2】．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图所示是港珠澳大桥的一段半径为120m的圆弧形弯道。晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍。若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度，则（ ）
A．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为3.0m/s²
B．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6rad/s
C．晴天时汽车以180km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D．下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
【例3】．（2023·全国·二模）在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军。如图所示，A、B、、在同一直线上，为中点，运动员由直线经弯道到达直线，若有如图所示的①②两条路线可选择，其中路线①中的半圆以O为圆心，半径为，路线②是以为圆心，半径为的半圆．若运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向作用力的最大值相等，运动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不变），则下列说法正确的是（ ）
A．在①②两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等
B．沿①②两条路线运动时，运动员的速度大小相等
C．选择路线①，路程最短，运动员所用时间较短
D．选择路线②，路程不是最短，但运动员所用时间较短
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）运球转身是运球中的一种基本方法，是篮球运动中重要进攻技术之一。拉球转身的动作是难点，例如图a所示为运动员为拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图b所示的模型，薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动，假设手掌和球之间的最大静摩擦因数为0.5，篮球质量为600克，直径24厘米，手到转轴的距离为0.5米，则要顺利完成此转身动作，篮球和手至少要有多大的速度（ ）
A．2.28m/sB．2.76m/s
C．3.16m/sD．3.52m/s
题型三 圆周运动中的临界极值问题
类型1 水平面内圆周运动的临界问题
三种临界情况
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【例1】（2023·山东泰安·统考二模）如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链固定于圆环最低点，当圆环以角速度绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小和方向为（ ）
A．沿杆向上B．沿杆向下
C．沿杆向上D．沿杆向下
【例2】.（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图所示，可视为质点、质量为的物块用长为的细绳拴接放在转盘上，细绳的另一端固定在通过转盘轴心的竖直杆上，细绳刚好伸直且与竖直方向的夹角为。已知物块与转盘之间的动摩擦因数为，且，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让整个装置由静止开始缓慢的加速转动起来。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，细绳的拉力不可能为零
B．从开始转动到细绳对物块刚有作用力的过程，转盘对物块所做的功为
C．当转盘的转速为时，物块刚好与转盘分离
D．从开始转动到物块刚好与转盘分离的过程中，转盘对物块所做的功为
【例3】．（2023·湖南永州·统考三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知，，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO＇匀速转动时，A、B之间绳中弹力和B、C之间绳中弹力随的变化关系如图乙所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体A的质量
B．物体C与圆心距离
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为时，A、B即将与圆盘发生滑动
【例4】．（2023·上海宝山·统考二模）如图所示，M能在水平光滑滑杆上滑动，滑杆连架装在离心机上，用绳跨过光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，M离轴距离为r，且恰能作匀速圆周运动。若m增至原来的2倍，保持r不变，为使M仍能作匀速圆周运动，则离心机的角速度要变为原来的（ ）
A．1倍B．倍C．2倍D．4倍
【例5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接，放置在水平转台上， ，，绳长l=1.5m，两滑块与转台的动摩擦因数μ均为0.5（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），转台静止时细绳刚好伸直但没有弹力，转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加速转动（任意一段极短时间内可认为转台做匀速圆周运动），g取。以下分析正确的是（ ）
A．当时，绳子张力等于0.9N
B．当时，A、B开始在转台上滑动
C．当时，A受到摩擦力为0
D．当时，绳子张力为1N
类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例1】（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L的轻绳拉着质量为m的小球保持静止。现在给小球一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
【例2】（2023春·江苏扬州·高三期中）如图所示，在O点用长为L不可伸长的轻绳悬挂一质量为m的小球，O点正下方的P点固定一细钉子，OP距离为d，C点和P点等高。小球处于O点右侧同一水平高度的A点时，绳刚好拉直，将小球从A点由静止释放。不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A点运动B点的过程中，重力的功率逐渐变大
B．绳撞钉子前后，小球的角速度不变
C．d取某个值（不等于0）时，小球运动到C点的速度恰好为零
D．若时，小球不能绕钉子做圆周运动
【例3】（2023春·江苏南京·南京师大附中校考期中）如图所示，粗糙的水平轨道和光滑的竖直圆轨道 ABCD 相切于A点，小滑块P静置在水平轨道上，现对P施加水平向右的恒力F使之由静止向右运动，到A点时撤去F。研究发现：当起点在M点左侧或N点右侧时，P进入圆轨道后不会脱离轨道。设MA与NA的比值为k，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，则 （ ）
A．μ越大，k越大B．μ越大，k越小
C．k=2D．k=
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
【例5】．（2023·广西桂林·统考二模）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
【例6】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，一半径为、内壁光滑的四分之三圆形管道竖直固定在墙角处，点为圆心，点为最低点，A、B两点处为管口，、A两点连线沿竖直方向，、B两点连线沿水平方向。一个质量为的小球从管道的顶部A点水平飞出，恰好又从管口B点射入管内，重力加速度取，则小球从A点飞出时及从B点射入管内经过点时对管壁的压力大小之差为（ ）
A．B．C．D．
【例7】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点、C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功
类型3 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例1】（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，、，下列说法正确的是（ ）
A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为
B．小球离开B点做平抛运动的时间为
C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为
【例2】（2023·福建泉州·模拟预测）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°，g取。则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为
B．小球通过B点时的最小速度为
C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关
D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
【例4】．（2023·河北保定·高三阶段练习）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则（ ）
A．小球通过最高点A时的速度
B．小球通过最高点A时的速度
C．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=0
D．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=mgsin θ
题型四 圆周运动与图像结合问题
类型1 水平面内圆周运动与图像结合问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力与转动角速度的平方的关系如图乙所示，当角速度的平方超过时，物块A、B开始滑动。若图乙中的、及重力加速度均为已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体bB．绳长为2l
C．D．ω = ω2时绳上张力大小为
【例3】（2023·湖南永州·统考三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知，，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO＇匀速转动时，A、B之间绳中弹力和B、C之间绳中弹力随的变化关系如图乙所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体A的质量
B．物体C与圆心距离
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为时，A、B即将与圆盘发生滑动
类型2 竖直面内圆周运动与图像结合
【解题指导】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。
2.对一次函数y＝kx＋b要非常熟练，会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型：①v＞eq \r(gR)时绳子的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①v＞eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg ，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v＜eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力FN＝mg－meq \f(v2,R)，方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。
2.根据物理方程整理成函数关系。
3.将物理方程与一次函数相对应。
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
【例3】（2023·重庆·统考二模）如图1所示，将长为的轻绳一端固定在点的拉力传感器上，另一端与一质量为且可视为质点的小球相连，拉直轻绳使其与竖直方向夹角为。现让小球在同角下由静止开始在竖直面内做圆周运动，记录每个角下小球运动过程中传感器上的最大拉力与最小拉力，并作出它们之间的部分关系图像如题图2所示。忽略一切阻力及轻绳长度变化，重力加速度为，则图2中（ ）
A．图线的斜率与小球质量无关B．的大小与绳长有关
C．的大小可能为D．当时对应的
【例4】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图甲所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一小球。小球在竖直平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力F的大小与小球离最低点的高度h的关系如图所示。重力加速度g取10m/s2，则（ ）
A．圆周半径为1.0 m
B．小球质量为0.5 kg
C．轻绳转至水平时拉力为30 N
D．小球通过最高点时的速度为2 m/s
【例5】（2023秋·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）宇航员在空气稀薄的某星球上用一根不可伸长轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为200g的小钢球，如图甲所示。多次拉起小钢球使绳伸直至不同位置并由静止释放，每次释放后小球均在竖直平面内摆动，拉力传感器分别记录下每次释放小钢球后，小钢球在竖直平面内摆动过程中绳子拉力的最大值和最小值。作出图像，如图乙所示，根据图像判断下列说法正确的是（ ）
A．增大小球质量，图像斜率会变大
B．随着释放高度增加，与的差值变大
C．该星球表面的重力加速度为
D．若该星球半径是地球半径的一半，则其第一宇宙速度约为4km/s
【例6】（2023·广东广州·华南师大附中校联考期中）如图1所示，轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，绳上有一拉力传感器（质量可忽略）。初始时，小球静止在最低点，现给小球一水平向右的初速度使其绕O点在竖直面内做圆周运动，在其轨迹最高点设置一光电门，可测量小球在最高点的速度。多次改变小球初速度，记录小球运动到最高点时的拉力F和对应速度平方并绘制图像如图2所示。下列说法正确的是（ ）
A．重力加速度等于B．轻绳长度等于
C．当时，向心加速度为D．当时，小球所受的拉力等于其重力的两倍
运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
圆锥摆
火车转弯
飞车走壁
汽车在
水平路
面转弯
水平转台
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图
F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
临界特征
F弹＝0
mg＝meq \f(vmin2,R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥eq \r(gR)，F弹＋mg＝meq \f(v2,R)，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心
(2)当0(3)当v＝eq \r(gR)时，F弹＝0
(4)当v>eq \r(gR)时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大
专题09 圆周运动常考模型
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5577" 题型一 圆周运动中的运动学分析 PAGEREF _Tc5577 \h 1
\l "_Tc28547" 题型二 水平面内的圆周运动 PAGEREF _Tc28547 \h 6
\l "_Tc23060" 类型1 圆锥摆模型 PAGEREF _Tc23060 \h 6
\l "_Tc27795" 类型2 生活中的圆周运动 PAGEREF _Tc27795 \h 11
\l "_Tc21042" 题型三 圆周运动中的临界极值问题 PAGEREF _Tc21042 \h 16
\l "_Tc20208" 类型1 水平面内圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc20208 \h 16
\l "_Tc277" 类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc277 \h 22
\l "_Tc7670" 类型3 斜面上圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc7670 \h 32
\l "_Tc26647" 题型四 圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc26647 \h 36
\l "_Tc14168" 类型1 水平面内圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc14168 \h 36
\l "_Tc20690" 类型2 竖直面内圆周运动与图像结合 PAGEREF _Tc20690 \h 41
题型一 圆周运动中的运动学分析
【解题指导】1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
【例1】（2023·浙江·模拟预测）在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为0.6 m。下列说法正确的是（ ）
A．泼水时杯子的旋转方向为顺时针方向
B．P位置飞出的小水珠初速度沿1方向
C．杯子在旋转时的角速度大小为
D．杯子在旋转时的线速度大小约为
【答案】D
【详解】AB．由图乙中做离心运动的轨迹可知，杯子的旋转方向为逆时针方向，P位置飞出的小水珠初速度沿2方向，故AB错误。
C．杯子旋转的角速度为
故C错误。
D．杯子旋转的轨迹半径约为0.6 m，则线速度大小约为
故D正确。
故选D。
【例2】．（2023·陕西汉中·统考二模）某学校门口的车牌自动识别系统如图所示，闸杆水平时距水平地面高为，可绕转轴O在竖直面内匀速转动，自动识别区到的距离为，汽车匀速驶入自动识别区，自动识别系统识别的反应时间为，闸杆转动的角速度为。若汽车可看成高的长方体，闸杆转轴O与汽车左侧面的水平距离为，要使汽车顺利通过闸杆（车头到达闸杆处视为通过闸杆），则汽车匀速行驶的最大允许速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设汽车恰好通过道闸时直杆转过的角度为，则由几何知识得
解得
由题意可知闸杆转动的角速度为
根据角速度的定义
可得直杆转动的时间为
自动识别区ab到汽车以速度匀速通过时间为
汽车匀速行驶的最大允许速度为
故选B。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需的时间为B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为D．P点随圆盘转动的线速度可能为
【答案】D
【详解】A．飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，则有飞镖击中P点所需的时间为
A错误；
B．飞镖击中P点时，P点恰好在最下方，设圆盘半径为r，则有
解得
B错误；
C．飞镖击中P点，则转过的角度应满足
（k＝0，1，2⋯）
解得
（k＝0，1，2⋯）
则有圆盘转动的角速度的最小值为
C错误；
D． P点随圆盘转动的线速度为
（k＝0，1，2⋯）
当k=1时，则有
D正确。
故选D。
【例4】．（2023·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R2，内筒半径R1，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄孔S不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R1、R2、和都不变，则取下列选项中哪个值时可使所有微粒都打在N筒上同一点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】微粒从M到N运动时间
对应N筒转过角度
即如果以v1射出时，转过角度
如果以v2射出时，转过角度
只要θ1、θ2相差2π的整数倍，则落在一处，即当
时，所有微粒都打在N筒上同一点。则
故选B。
题型二 水平面内的圆周运动
【解题指导】1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3．几种典型运动模型
4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
类型1 圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝eq \r(gLtan θsin θ)，ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ)).
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq \f(mg,cs θ)和运动所需向心力也越大．
【例1】（2023春·北京海淀·高三统考阶段练习）游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，实物图和简化后的示意图分别如下面左、右两图所示。已知飞椅用等长的钢绳系着，钢绳上端的悬点分别固定在顶部水平转盘上的内、外两个圆周上。转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每根钢绳（含飞椅及游客）与转轴在同一竖直平面内。图中P、Q两位游客分别悬于内、外两个圆周上，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，P做圆周运动的半径较小。不计钢绳的重力。下列判断正确的是（ ）
A．P、Q两个飞椅的线速度大小相同
B．无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定小于θ2
C．如果两个游客的质量相同，则有θ1等于θ2
D．如果两个游客的质量相同，则他们所受的向心力大小也一定相同
【答案】B
【详解】A．P、Q两个飞椅的角速度相同，半径不同，则线速度大小不同，故A错误；
BC．由
mgtanθ=mω2r
得
tanθ=ω2r
P做圆周运动的半径较小，则无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定小于θ2，故B正确，C错误；
D．向心力
F=mgtanθ
θ1小于θ2，如果两个游客的质量相同，则他们所受的向心力大小不同，故D错误。
故选B。
【例2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图所示，水平机械臂BC固定在竖直转轴CD上，B处固定一与BC垂直的光滑水平转轴，轻杆AB套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，其下端固定质量为m的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大竖直轴转动的角速度，直至杆与竖直方向的夹角为37°，已知，，重力加速度为g，则（ ）
A．此时小球的角速度大小为B．此时小球的线速度大小为
C．此过程中杆对小球做的功为D．此过程中杆对小球做的功为
【答案】C
【详解】AB．当杆与竖直方向成37°时，小球做匀速圆周运动，杆对小球的拉力沿杆方向，合力提供向心力，则有
可得
因为圆周运动半径
根据
可得
选项AB错误；
CD．设此过程中杆对小球做功为W，由动能定理
解得
选项C正确，D错误。
故选C。
【例3】（2023·黑龙江·校联考一模）如图所示，、两小球分别用长为、的细绳悬挂在同一竖直线上的两点，现使两球在水平面内做圆周运动，且角速度均缓慢增大，当两球刚好运动到相同高度时，、两球运动半径分别为。此时剪断两细绳，两球落在水平地面上同一点。则下列说法正确的是（ ）
A．在角速度缓慢增大的过程中，两绳的拉力均增大
B．A、两球的质量比为
C．剪断细绳瞬间，A球速度为
D．剪断细绳瞬间，两球距地面高度为
【答案】ACD
【详解】A．设绳子与竖直方向的夹角为，对球受力分析，竖直方向，根据平衡条件得
角速度缓慢增大的过程中，逐渐增大，逐渐减小，绳的拉力增大，故A正确；
C．当两球刚好运动到相同高度时，对球，由几何关系得
则
由牛顿第二定律得
解得
故C正确；
B．由C得，球的质量直接约去，无法求解两球的质量关系，故B错误；
D．对B球，由几何关系得
则
由牛顿第二定律得
解得
剪断细绳后，小球做平抛运动，设落地时间为，水平方向小球的位移如图
由几何关系和平抛运动规律得：水平方向
竖直方向
联立解得
故D正确。
故选ACD。
【例4】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形始终在竖直平面内，若转动过程中、两绳始终处于拉直状态，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力范围为
B．绳的拉力范围为
C．绳的拉力范围为
D．如果把绳剪断，小球一定会偏离原来位置
【答案】B
【详解】ABC．转动的角速度为零时，绳的拉力最小，绳的拉力最大，这时二者的值相同，设为，则
解得
增大转动的角速度，当绳的拉力刚好为零时，绳的拉力最大，设这时绳的拉力为，则
解得
因此绳的拉力范围，绳的拉力范围。故AC错误，B正确；
D．当绳绳的拉力为零时，如果把绳剪断，小球不会偏离原来位置。故D错误。
故选B。
类型2 生活中的圆周运动
【例2】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）2021年3月27日，我国花样滑冰运动员陈虹伊，在2021世界花样滑冰锦标赛上以162.79分的总成绩排在女子单人滑第二十一名。如图甲是我国奥运冠军花样滑冰运动员陈虹伊在赛场上的情形，假设在比赛的某段时间她单脚着地，以速度v做匀速圆周运动，如图乙冰鞋与冰面间的夹角为37°，陈虹伊的质量为m，重力加速度为g，sin37°=0.6，cs37°=0.8，不计冰鞋对陈虹伊的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．陈虹伊受重力、冰鞋的支持力、向心力的作用
B．冰鞋对陈虹伊的支持力大小为
C．陈虹伊做匀速圆周运动的半径为
D．陈虹伊做匀速圆周运动的向心加速度大小为
【答案】C
【详解】A．陈虹伊此时只受到重力和冰鞋的支持力的作用，A错误；
BCD．陈虹伊受到的力如图所示
x轴方向有
y轴方向有
联立解得
，，
故B、D错误，C正确。
故选C。
【例2】．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图所示是港珠澳大桥的一段半径为120m的圆弧形弯道。晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍。若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度，则（ ）
A．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为3.0m/s²
B．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6rad/s
C．晴天时汽车以180km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D．下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
【答案】D
【详解】AB．汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径为120m，运动速率
向心加速度为
角速度
AB错误；
C．以汽车为研究对象，当路面对轮胎的径向摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时，此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率vm。设汽车的质量为m，在水平方向上根据牛顿第二定律得
在竖直方向有
径向最大静摩擦力变为正压力的0.8倍，即
联立得
解得
所以晴天时，汽车以180km/h的速率不能安全通过此圆弧形弯道，C错误；
D．下雨时，路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，有
解得
所以下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道，D正确。
故选D。
【例3】．（2023·全国·二模）在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军。如图所示，A、B、、在同一直线上，为中点，运动员由直线经弯道到达直线，若有如图所示的①②两条路线可选择，其中路线①中的半圆以O为圆心，半径为，路线②是以为圆心，半径为的半圆．若运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向作用力的最大值相等，运动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不变），则下列说法正确的是（ ）
A．在①②两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等
B．沿①②两条路线运动时，运动员的速度大小相等
C．选择路线①，路程最短，运动员所用时间较短
D．选择路线②，路程不是最短，但运动员所用时间较短
【答案】D
【详解】A．因为运动过程中运动员以不打滑的最大速率通过弯道，最大径向作用力提供向心力，有
Fmax=ma
所以在①②两条圆弧路线上运动时的向心加速度大小相同，故A错误；
B．根据牛顿第二定律，有
解得
因为路线①的半径小，所以路线①上运动员的速度小，故B错误；
CD．路线①的路程为
路线②的路程为
根据
和
可知选择路线②所用时间短，故C错误，D正确。
故选D。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）运球转身是运球中的一种基本方法，是篮球运动中重要进攻技术之一。拉球转身的动作是难点，例如图a所示为运动员为拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图b所示的模型，薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动，假设手掌和球之间的最大静摩擦因数为0.5，篮球质量为600克，直径24厘米，手到转轴的距离为0.5米，则要顺利完成此转身动作，篮球和手至少要有多大的速度（ ）
A．2.28m/sB．2.76m/s
C．3.16m/sD．3.52m/s
【答案】B
【详解】竖直方向上
水平方向上
解得
故选B。
题型三 圆周运动中的临界极值问题
类型1 水平面内圆周运动的临界问题
三种临界情况
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【例1】（2023·山东泰安·统考二模）如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链固定于圆环最低点，当圆环以角速度绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小和方向为（ ）
A．沿杆向上B．沿杆向下
C．沿杆向上D．沿杆向下
【答案】B
【详解】设轻杆与竖直直径夹角为，由几何关系可得
解得
则小球作圆周运动的半径为
作圆周运动所需向心力为
小球有向上运动的趋势，设杆对小球有沿杆向下的拉力F1，环对小球有指向圆心的支持力F2，有平衡条件可知
解得
故选B。
【例2】.（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图所示，可视为质点、质量为的物块用长为的细绳拴接放在转盘上，细绳的另一端固定在通过转盘轴心的竖直杆上，细绳刚好伸直且与竖直方向的夹角为。已知物块与转盘之间的动摩擦因数为，且，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让整个装置由静止开始缓慢的加速转动起来。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，细绳的拉力不可能为零
B．从开始转动到细绳对物块刚有作用力的过程，转盘对物块所做的功为
C．当转盘的转速为时，物块刚好与转盘分离
D．从开始转动到物块刚好与转盘分离的过程中，转盘对物块所做的功为
【答案】B
【详解】AB．转盘刚开始转动，细绳未硼紧，此时静摩摖力提供向心力，当转动到某一角速度吋，静摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律有
此时物块线速度大小为
从开始运动到细绳中将要出现拉力过程中，设转盘对物块做的功为，对物块由动能定理，可得
联立解得
故A错误、B正确；
C．当转盘对物块支持力恰好为零时，竖直方向
水平方向
联立解得
此时转盘的转速大小为
故C错误；
D．此时物块的线速度大小为
从开始运动到转盘对物块的支持力刚好为零过程上，设转盘对物块做的功为，对物块由动能定理，可得
联立解得
故D错误。
故选B。
【例3】．（2023·湖南永州·统考三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知，，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO＇匀速转动时，A、B之间绳中弹力和B、C之间绳中弹力随的变化关系如图乙所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体A的质量
B．物体C与圆心距离
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为时，A、B即将与圆盘发生滑动
【答案】D
【详解】A．根据题中条件无法求出A的质量，A错误；
B．由图乙可知，B、C绳中先出现弹力，根据
当时
当时
代入数据解得
B错误；
C．当角速度为1rad/s时
由图可知
B、C间绳的拉力均为1N，对B只有摩擦力提供向心力，有
选项C错误；
D．根据题图可得
A、B即将与圆盘发生滑动时，满足
代入、可得
解得
D正确。
故选D。
【例4】．（2023·上海宝山·统考二模）如图所示，M能在水平光滑滑杆上滑动，滑杆连架装在离心机上，用绳跨过光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，M离轴距离为r，且恰能作匀速圆周运动。若m增至原来的2倍，保持r不变，为使M仍能作匀速圆周运动，则离心机的角速度要变为原来的（ ）
A．1倍B．倍C．2倍D．4倍
【答案】B
【详解】当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，质量为m的物体处于静止状态，根据牛顿第二定律，有
若m增至原来的2倍，保持r不变，M仍能作匀速圆周运动，同理有
联立解得
故选B。
【例5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接，放置在水平转台上， ，，绳长l=1.5m，两滑块与转台的动摩擦因数μ均为0.5（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），转台静止时细绳刚好伸直但没有弹力，转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加速转动（任意一段极短时间内可认为转台做匀速圆周运动），g取。以下分析正确的是（ ）
A．当时，绳子张力等于0.9N
B．当时，A、B开始在转台上滑动
C．当时，A受到摩擦力为0
D．当时，绳子张力为1N
【答案】C
【详解】A．当绳子刚好出现张力时，则对B分析可知
解得
当时，绳子张力等于0，选项A错误；
C．当时，绳子张力等于0，此时A受到摩擦力为0，选项C正确；
BD．当A、B刚要在转台上滑动时，则对B
对A
解得
当时，A、B开始在转台上滑动，当时，绳子张力为
选项BD错误。
故选C。
类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例1】（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L的轻绳拉着质量为m的小球保持静止。现在给小球一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
【答案】D
【详解】A．小球在竖直面内做完整的圆周运动，若小球恰好能通过最高点，则有重力提供向心力，可得
解得
可知小球能通过最高点的最小速度是，因此小球在最高点的速度不可以等于0，A错误；
B．若小球恰好能通过最高点，设小球获得的初速度大小为v＇，则在最低点时由动能定理，则有
解得
由以上计算可知，是小球获得的初速度大小的最小值，有可能比这个速度要大，B错误；
C．小球在竖直面内做完整的变速圆周运动，由以上分析可知，小球在最高点和最低点处合力指向圆心，C错误；
D．设小球在最高点时的速度为v0，在最低点时的速度为，由动能定理可得
小球在最高点时，由牛顿第二定律可得
小球在最低点时，由牛顿第二定律可得
联立以上各式解得
D正确。
故选D。
【例2】（2023春·江苏扬州·高三期中）如图所示，在O点用长为L不可伸长的轻绳悬挂一质量为m的小球，O点正下方的P点固定一细钉子，OP距离为d，C点和P点等高。小球处于O点右侧同一水平高度的A点时，绳刚好拉直，将小球从A点由静止释放。不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A点运动B点的过程中，重力的功率逐渐变大
B．绳撞钉子前后，小球的角速度不变
C．d取某个值（不等于0）时，小球运动到C点的速度恰好为零
D．若时，小球不能绕钉子做圆周运动
【答案】D
【详解】A．小球在A点时速度为零，重力的功率为零，小球在B点时速度沿水平方向，重力的功率也为零，又因为小球从A点运动B点的过程中，速度大小和方向是连续变化的，不存在突变过程，所以该过程中重力的功率先增大后减小，故A错误；
B．撞钉子前后的一小段时间内，由于小球在水平方向加速度为零，所以线速度大小不变，但小球做圆周运动的半径突然变小，则根据可知小球的角速度变大，故B错误；
C．小球运动过程中绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以无论d在0＜d＜L范围内取何值，即C点低于O点高于B点时，小球运动到C点的速度都不可能为零，故C错误；
D．若时，设小球运动到C点时的速度大小为vC，根据机械能守恒定律有
解得
若要使小球能绕钉子做圆周运动，其到最高点的最小速度vm应满足
即
小球由C点向O点运动过程中克服重力做功，速度减小，所以不可能以vm通过O点，即不能绕钉子做圆周运动，故D正确。
故选D。
【例3】（2023春·江苏南京·南京师大附中校考期中）如图所示，粗糙的水平轨道和光滑的竖直圆轨道 ABCD 相切于A点，小滑块P静置在水平轨道上，现对P施加水平向右的恒力F使之由静止向右运动，到A点时撤去F。研究发现：当起点在M点左侧或N点右侧时，P进入圆轨道后不会脱离轨道。设MA与NA的比值为k，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，则 （ ）
A．μ越大，k越大B．μ越大，k越小
C．k=2D．k=
【答案】D
【详解】根据题意知，滑块从M点开始运动时，恰好能够到最高点，有
在最高点时，重力提供向心力
滑块从N点开始运动时，刚好能够运动到B点，有
联立上式得
k的取值与μ无关，故选D。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，小球在A点没有脱离轨道，则小球对圆轨道的压力不为零，由牛顿第二定律有
解得
故A错误；
B．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，设此时小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律有
解得
故B错误；
C．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，小球的加速度为，即小球经过B点时速度变化率大小为，故C正确；
D．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，速度方向为斜向下，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，小球落地时，水平方向速度不为零，则小球落在C点时的速度方向不可能竖直向下，故D错误。
故选C。
【例5】．（2023·广西桂林·统考二模）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
【答案】BC
【详解】A．设滑块P恰能通过最高点D，则有
解得
则滑块P从B点到D点，根据动能定理有
解得滑块在B点的动能为
所以滑块不能到达半圆轨道最高点D，故A错误；
B．滑块经过B点时的速度大小为vB，根据功能关系可得
在B点根据牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知对半圆轨道的压力大小为9N，故B正确；
CD．滑块在C点的重力势能为
则滑块可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，此时的速度大小为v
根据功能关系可得
根据牛顿第二定律可得
联立解得
，
滑块离开轨道后做斜上抛运动
根据功能关系可得
解得滑块P能到达的最大高度为
故C正确，D错误。
故选BC。
【例6】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，一半径为、内壁光滑的四分之三圆形管道竖直固定在墙角处，点为圆心，点为最低点，A、B两点处为管口，、A两点连线沿竖直方向，、B两点连线沿水平方向。一个质量为的小球从管道的顶部A点水平飞出，恰好又从管口B点射入管内，重力加速度取，则小球从A点飞出时及从B点射入管内经过点时对管壁的压力大小之差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】小球从A点做平抛运动到点，则有
，
解得
在A点若小球对上、下管壁均无压力，则
解得
因为
所以管壁对小球有向上的支持力，则
解得
由牛顿第三定律可知小球对管壁的压力
小球到点时竖直方向的速度
在点与管壁碰撞，水平速度减为零，从点到点的过程由机械能守恒定律得
在点对小球由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律可知小球对管壁的压力
则小球从A点飞出时及从点射入管内经过点时对管壁的压力大小之差为
故选B。
【例7】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点、C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功
【答案】D
【详解】A．小球经过A点时，合外力提供向心力，则当小球速度较小时
则所受杆的作用力竖直向上；当小球速度较大时
则所受杆的作用力竖直向下；当小球速度
则杆对小球无作用力。故A错误；
B．合外力提供向心力，小球受重力和杆给的作用力，则小球所受杆的作用力为右上方。故B错误；
C．A点和C点处重力与速度方向垂直，则小球重力的功率为0，B点处重力与速度共线，故重力功率不为0，则从A点到C点的过程，小球重力的功率先增大再减小。故C错误；
D．A到C的过程中，重力做正功，根据动能定理可知
故杆对小球的作用力做负功。故D正确。
故选D。
类型3 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例1】（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，、，下列说法正确的是（ ）
A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为
B．小球离开B点做平抛运动的时间为
C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为
【答案】BCD
【详解】A．小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面的分力提供向心力，则有
解得
A错误；
B．小球离开B点做平抛运动，竖直方向上有
解得
B正确；
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，根据上述有
，
小球的落地点与P点间的距离为
解得
D正确；
C．小球在B点的加速度大小为2g，则在B点有
小球由A运动到B过程有
小球在A点有
解得
C正确。
故选BCD。
【例2】（2023·福建泉州·模拟预测）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°，g取。则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】当小物体转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度为ω1，由牛顿第二定律得：
代入数据解得：
当小物体转到圆盘的最高点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时，角速度为ω2，同理
虽然，但小物体从最高点向最低点转动过程中，摩擦力和重力无法提供出满足向心力出来，所以要保证小物体与圆盘始终保持相对静止，圆盘的角速度应取其通过最低点的最大角速度，故D错误，ABC正确。
故选ABC。
【例3】．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为
B．小球通过B点时的最小速度为
C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关
D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
【答案】ACD
【详解】A．小球在A点受到重力、斜面的支持力以及杆的拉力，由向心力公式可得
可得
故A正确；
B．杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点B时的最小速度为零，故B错误；
C．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故C正确；
D．经分析可知小球经过B点脱落后在斜面上作类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，在沿斜面方向做初速度为零的匀加速度直线运动。沿斜面方向根据牛顿第二定律
由位移公式可知
水平方向
故D正确。
故选ACD。
【例4】．（2023·河北保定·高三阶段练习）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则（ ）
A．小球通过最高点A时的速度
B．小球通过最高点A时的速度
C．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=0
D．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=mgsin θ
【答案】AC
【详解】小球在斜面上做圆周运动的等效重力为
恰好通过最高点A时，只有等效重力提供向心力，故此时有
解得
故选AC。
题型四 圆周运动与图像结合问题
类型1 水平面内圆周运动与图像结合问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力与转动角速度的平方的关系如图乙所示，当角速度的平方超过时，物块A、B开始滑动。若图乙中的、及重力加速度均为已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】BD
【详解】由题图乙可知，当转盘角速度的二次方为时，A、B间的细绳开始出现拉力，可知此时B达到最大静摩擦力，故有
当转盘角速度的二次方为时，A达到最大静摩擦力，对A有
对B有
联立以上三式解得
故选BD。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体bB．绳长为2l
C．D．ω = ω2时绳上张力大小为
【答案】ABD
【详解】A．根据图像刚开始为过原点的直线，可得开始时有
f = mω2r
则刚开始时绳子无拉力，摩擦力提供各自的向心力为
，
因为，所以有
则图线（1）对应物体b，A正确；
B．当时，对物体ab有
，，
可得
解得
所以绳子长度为
B正确；
CD．当时，对b有
得
当时，设此时绳子拉力为，对物体ab有
，
联立解得
，
C错误，D正确。
故选ABD。
【例3】（2023·湖南永州·统考三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知，，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO＇匀速转动时，A、B之间绳中弹力和B、C之间绳中弹力随的变化关系如图乙所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体A的质量
B．物体C与圆心距离
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为时，A、B即将与圆盘发生滑动
【答案】D
【详解】A．根据题中条件无法求出A的质量，A错误；
B．由图乙可知，B、C绳中先出现弹力，根据
当时
当时
代入数据解得
B错误；
C．当角速度为1rad/s时
由图可知
B、C间绳的拉力均为1N，对B只有摩擦力提供向心力，有
选项C错误；
D．根据题图可得
A、B即将与圆盘发生滑动时，满足
代入、可得
解得
D正确。
故选D。
类型2 竖直面内圆周运动与图像结合
【解题指导】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。
2.对一次函数y＝kx＋b要非常熟练，会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型：①v＞eq \r(gR)时绳子的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①v＞eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg ，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v＜eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力FN＝mg－meq \f(v2,R)，方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。
2.根据物理方程整理成函数关系。
3.将物理方程与一次函数相对应。
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【答案】D
【详解】A．小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律有
可得
可知图线斜率为
可得轻质绳长为
故A错误；
B．由图像可知纵轴上截距的绝对值为
则有
故B错误；
C．由图像可知
故当时，有
故C错误；
D．从最高点到最低点，由机械能守恒有
在最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律有
联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差为
故D正确。
故选D。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
【答案】ABD
【详解】AB．从A到B，根据动能定理可得
在B点，根据牛顿第二定律得
联立解得
结合题图乙可知
，
故AB错误，AB满足题意要求；
D．恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得
从最低点到最高点，根据动能定理可得
解得
故D错误，满足题意要求；
C．从最高点做平抛运动，则有
，
且
联立解得
当
解得
取最大值，可得
故C正确，不满足题意要求。
故选ABD。
【例3】（2023·重庆·统考二模）如图1所示，将长为的轻绳一端固定在点的拉力传感器上，另一端与一质量为且可视为质点的小球相连，拉直轻绳使其与竖直方向夹角为。现让小球在同角下由静止开始在竖直面内做圆周运动，记录每个角下小球运动过程中传感器上的最大拉力与最小拉力，并作出它们之间的部分关系图像如题图2所示。忽略一切阻力及轻绳长度变化，重力加速度为，则图2中（ ）
A．图线的斜率与小球质量无关B．的大小与绳长有关
C．的大小可能为D．当时对应的
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球由静止开始在竖直面内做圆周运动，故
小球在最高点时，轻绳上拉力最小，得
在最低点时，轻绳上拉力最大，得
由机械能守恒定律有
联立解得
可知图2中图线的斜率恒为
k=－2
与小球质量无关，故A正确；
B．当时，有
可知a的大小与绳长无关，故B错误；
C．由
可知，当时，最大值为，可知
故C错误；
D．由
可知，当
有
又因为
故对应的
故D正确。
故选AD。
【例4】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图甲所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一小球。小球在竖直平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力F的大小与小球离最低点的高度h的关系如图所示。重力加速度g取10m/s2，则（ ）
A．圆周半径为1.0 m
B．小球质量为0.5 kg
C．轻绳转至水平时拉力为30 N
D．小球通过最高点时的速度为2 m/s
【答案】B
【详解】A．由题图乙可知，当h＝0时，绳的拉力为F2＝41 N，当h＝1.0 m时绳的拉力为F1＝11 N，可知小球做圆周运动的半径
A错误；
BD．设小球通过最高点时的速度为v1，通过最低点时的速度为v2，由机械能守恒定律可得
在最高点，根据牛顿第二定律可知
在最低点，根据牛顿第二定律可知
联立解得
m＝0.5 kg
v1＝4 m/s
B正确，D错误；
C．设轻绳转至水平时小球的速度为v，从最高点到水平时，由机械能守恒定律可得
解得
由牛顿第二定律可知，轻绳转至水平时拉力
C错误。
故选B。
【例5】（2023秋·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）宇航员在空气稀薄的某星球上用一根不可伸长轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为200g的小钢球，如图甲所示。多次拉起小钢球使绳伸直至不同位置并由静止释放，每次释放后小球均在竖直平面内摆动，拉力传感器分别记录下每次释放小钢球后，小钢球在竖直平面内摆动过程中绳子拉力的最大值和最小值。作出图像，如图乙所示，根据图像判断下列说法正确的是（ ）
A．增大小球质量，图像斜率会变大
B．随着释放高度增加，与的差值变大
C．该星球表面的重力加速度为
D．若该星球半径是地球半径的一半，则其第一宇宙速度约为4km/s
【答案】BD
【详解】AB．设刚释放时绳与竖直方向的夹角为，此时绳上拉力最小为
球摆到最低点时绳上拉力最大，设绳长为L，球到最低点时速度为v，由机械能守恒有
据向心力公式有
联立解得
可见图像的斜率为定值-2与m无关
由题意知，释放高度增加增大减小，则增大，选项A错误，B正确；
CD．由
对照图像可见
解得
约为地球表面的重力加速度一半，该星球第一宇宙速度
若该星球半径是地球半径的一半，则其第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度7.9km/s的一半，即约为4km/s，C错误，D正确。
故选BD。
【例6】（2023·广东广州·华南师大附中校联考期中）如图1所示，轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，绳上有一拉力传感器（质量可忽略）。初始时，小球静止在最低点，现给小球一水平向右的初速度使其绕O点在竖直面内做圆周运动，在其轨迹最高点设置一光电门，可测量小球在最高点的速度。多次改变小球初速度，记录小球运动到最高点时的拉力F和对应速度平方并绘制图像如图2所示。下列说法正确的是（ ）
A．重力加速度等于B．轻绳长度等于
C．当时，向心加速度为D．当时，小球所受的拉力等于其重力的两倍
【答案】BC
【详解】A．在最高点，由牛顿第二定律可知
所以
结合图像可知
解得
A错误；
B．由上述分析可知
解得
B正确；
C．由几何知识可得，图2中的直线表达式为
当时
由牛顿第二定律可知，此时向心加速度为
C正确；
D．由上述分析，当时
D错误。
故选BC。
运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
圆锥摆
火车转弯
飞车走壁
汽车在
水平路
面转弯
水平转台
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图
F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
临界特征
F弹＝0
mg＝meq \f(vmin2,R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥eq \r(gR)，F弹＋mg＝meq \f(v2,R)，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心
(2)当0(3)当v＝eq \r(gR)时，F弹＝0
(4)当v>eq \r(gR)时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5577" 题型一 圆周运动中的运动学分析 PAGEREF _Tc5577 \h 1
\l "_Tc28547" 题型二 水平面内的圆周运动 PAGEREF _Tc28547 \h 6
\l "_Tc23060" 类型1 圆锥摆模型 PAGEREF _Tc23060 \h 6
\l "_Tc27795" 类型2 生活中的圆周运动 PAGEREF _Tc27795 \h 11
\l "_Tc21042" 题型三 圆周运动中的临界极值问题 PAGEREF _Tc21042 \h 16
\l "_Tc20208" 类型1 水平面内圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc20208 \h 16
\l "_Tc277" 类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc277 \h 22
\l "_Tc7670" 类型3 斜面上圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc7670 \h 32
\l "_Tc26647" 题型四 圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc26647 \h 36
\l "_Tc14168" 类型1 水平面内圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc14168 \h 36
\l "_Tc20690" 类型2 竖直面内圆周运动与图像结合 PAGEREF _Tc20690 \h 41
题型一 圆周运动中的运动学分析
【解题指导】1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
【例1】（2023·浙江·模拟预测）在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为0.6 m。下列说法正确的是（ ）
A．泼水时杯子的旋转方向为顺时针方向
B．P位置飞出的小水珠初速度沿1方向
C．杯子在旋转时的角速度大小为
D．杯子在旋转时的线速度大小约为
【例2】．（2023·陕西汉中·统考二模）某学校门口的车牌自动识别系统如图所示，闸杆水平时距水平地面高为，可绕转轴O在竖直面内匀速转动，自动识别区到的距离为，汽车匀速驶入自动识别区，自动识别系统识别的反应时间为，闸杆转动的角速度为。若汽车可看成高的长方体，闸杆转轴O与汽车左侧面的水平距离为，要使汽车顺利通过闸杆（车头到达闸杆处视为通过闸杆），则汽车匀速行驶的最大允许速度为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需的时间为B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为D．P点随圆盘转动的线速度可能为
【例4】．（2023·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R2，内筒半径R1，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄孔S不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R1、R2、和都不变，则取下列选项中哪个值时可使所有微粒都打在N筒上同一点（ ）
A．B．
C．D．
题型二 水平面内的圆周运动
【解题指导】1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3．几种典型运动模型
4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
类型1 圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝eq \r(gLtan θsin θ)，ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ)).
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq \f(mg,cs θ)和运动所需向心力也越大．
【例1】（2023春·北京海淀·高三统考阶段练习）游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，实物图和简化后的示意图分别如下面左、右两图所示。已知飞椅用等长的钢绳系着，钢绳上端的悬点分别固定在顶部水平转盘上的内、外两个圆周上。转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每根钢绳（含飞椅及游客）与转轴在同一竖直平面内。图中P、Q两位游客分别悬于内、外两个圆周上，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，P做圆周运动的半径较小。不计钢绳的重力。下列判断正确的是（ ）
A．P、Q两个飞椅的线速度大小相同
B．无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定小于θ2
C．如果两个游客的质量相同，则有θ1等于θ2
D．如果两个游客的质量相同，则他们所受的向心力大小也一定相同
【例2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图所示，水平机械臂BC固定在竖直转轴CD上，B处固定一与BC垂直的光滑水平转轴，轻杆AB套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，其下端固定质量为m的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大竖直轴转动的角速度，直至杆与竖直方向的夹角为37°，已知，，重力加速度为g，则（ ）
A．此时小球的角速度大小为B．此时小球的线速度大小为
C．此过程中杆对小球做的功为D．此过程中杆对小球做的功为
【例3】（2023·黑龙江·校联考一模）如图所示，、两小球分别用长为、的细绳悬挂在同一竖直线上的两点，现使两球在水平面内做圆周运动，且角速度均缓慢增大，当两球刚好运动到相同高度时，、两球运动半径分别为。此时剪断两细绳，两球落在水平地面上同一点。则下列说法正确的是（ ）
A．在角速度缓慢增大的过程中，两绳的拉力均增大
B．A、两球的质量比为
C．剪断细绳瞬间，A球速度为
D．剪断细绳瞬间，两球距地面高度为
【例4】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形始终在竖直平面内，若转动过程中、两绳始终处于拉直状态，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力范围为
B．绳的拉力范围为
C．绳的拉力范围为
D．如果把绳剪断，小球一定会偏离原来位置
类型2 生活中的圆周运动
【例2】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）2021年3月27日，我国花样滑冰运动员陈虹伊，在2021世界花样滑冰锦标赛上以162.79分的总成绩排在女子单人滑第二十一名。如图甲是我国奥运冠军花样滑冰运动员陈虹伊在赛场上的情形，假设在比赛的某段时间她单脚着地，以速度v做匀速圆周运动，如图乙冰鞋与冰面间的夹角为37°，陈虹伊的质量为m，重力加速度为g，sin37°=0.6，cs37°=0.8，不计冰鞋对陈虹伊的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．陈虹伊受重力、冰鞋的支持力、向心力的作用
B．冰鞋对陈虹伊的支持力大小为
C．陈虹伊做匀速圆周运动的半径为
D．陈虹伊做匀速圆周运动的向心加速度大小为
【例2】．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图所示是港珠澳大桥的一段半径为120m的圆弧形弯道。晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍。若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度，则（ ）
A．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为3.0m/s²
B．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6rad/s
C．晴天时汽车以180km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D．下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
【例3】．（2023·全国·二模）在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军。如图所示，A、B、、在同一直线上，为中点，运动员由直线经弯道到达直线，若有如图所示的①②两条路线可选择，其中路线①中的半圆以O为圆心，半径为，路线②是以为圆心，半径为的半圆．若运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向作用力的最大值相等，运动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不变），则下列说法正确的是（ ）
A．在①②两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等
B．沿①②两条路线运动时，运动员的速度大小相等
C．选择路线①，路程最短，运动员所用时间较短
D．选择路线②，路程不是最短，但运动员所用时间较短
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）运球转身是运球中的一种基本方法，是篮球运动中重要进攻技术之一。拉球转身的动作是难点，例如图a所示为运动员为拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图b所示的模型，薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动，假设手掌和球之间的最大静摩擦因数为0.5，篮球质量为600克，直径24厘米，手到转轴的距离为0.5米，则要顺利完成此转身动作，篮球和手至少要有多大的速度（ ）
A．2.28m/sB．2.76m/s
C．3.16m/sD．3.52m/s
题型三 圆周运动中的临界极值问题
类型1 水平面内圆周运动的临界问题
三种临界情况
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【例1】（2023·山东泰安·统考二模）如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链固定于圆环最低点，当圆环以角速度绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小和方向为（ ）
A．沿杆向上B．沿杆向下
C．沿杆向上D．沿杆向下
【例2】.（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图所示，可视为质点、质量为的物块用长为的细绳拴接放在转盘上，细绳的另一端固定在通过转盘轴心的竖直杆上，细绳刚好伸直且与竖直方向的夹角为。已知物块与转盘之间的动摩擦因数为，且，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让整个装置由静止开始缓慢的加速转动起来。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，细绳的拉力不可能为零
B．从开始转动到细绳对物块刚有作用力的过程，转盘对物块所做的功为
C．当转盘的转速为时，物块刚好与转盘分离
D．从开始转动到物块刚好与转盘分离的过程中，转盘对物块所做的功为
【例3】．（2023·湖南永州·统考三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知，，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO＇匀速转动时，A、B之间绳中弹力和B、C之间绳中弹力随的变化关系如图乙所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体A的质量
B．物体C与圆心距离
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为时，A、B即将与圆盘发生滑动
【例4】．（2023·上海宝山·统考二模）如图所示，M能在水平光滑滑杆上滑动，滑杆连架装在离心机上，用绳跨过光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，M离轴距离为r，且恰能作匀速圆周运动。若m增至原来的2倍，保持r不变，为使M仍能作匀速圆周运动，则离心机的角速度要变为原来的（ ）
A．1倍B．倍C．2倍D．4倍
【例5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接，放置在水平转台上， ，，绳长l=1.5m，两滑块与转台的动摩擦因数μ均为0.5（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），转台静止时细绳刚好伸直但没有弹力，转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加速转动（任意一段极短时间内可认为转台做匀速圆周运动），g取。以下分析正确的是（ ）
A．当时，绳子张力等于0.9N
B．当时，A、B开始在转台上滑动
C．当时，A受到摩擦力为0
D．当时，绳子张力为1N
类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例1】（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L的轻绳拉着质量为m的小球保持静止。现在给小球一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
【例2】（2023春·江苏扬州·高三期中）如图所示，在O点用长为L不可伸长的轻绳悬挂一质量为m的小球，O点正下方的P点固定一细钉子，OP距离为d，C点和P点等高。小球处于O点右侧同一水平高度的A点时，绳刚好拉直，将小球从A点由静止释放。不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A点运动B点的过程中，重力的功率逐渐变大
B．绳撞钉子前后，小球的角速度不变
C．d取某个值（不等于0）时，小球运动到C点的速度恰好为零
D．若时，小球不能绕钉子做圆周运动
【例3】（2023春·江苏南京·南京师大附中校考期中）如图所示，粗糙的水平轨道和光滑的竖直圆轨道 ABCD 相切于A点，小滑块P静置在水平轨道上，现对P施加水平向右的恒力F使之由静止向右运动，到A点时撤去F。研究发现：当起点在M点左侧或N点右侧时，P进入圆轨道后不会脱离轨道。设MA与NA的比值为k，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，则 （ ）
A．μ越大，k越大B．μ越大，k越小
C．k=2D．k=
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
【例5】．（2023·广西桂林·统考二模）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
【例6】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，一半径为、内壁光滑的四分之三圆形管道竖直固定在墙角处，点为圆心，点为最低点，A、B两点处为管口，、A两点连线沿竖直方向，、B两点连线沿水平方向。一个质量为的小球从管道的顶部A点水平飞出，恰好又从管口B点射入管内，重力加速度取，则小球从A点飞出时及从B点射入管内经过点时对管壁的压力大小之差为（ ）
A．B．C．D．
【例7】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点、C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功
类型3 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例1】（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，、，下列说法正确的是（ ）
A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为
B．小球离开B点做平抛运动的时间为
C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为
【例2】（2023·福建泉州·模拟预测）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°，g取。则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为
B．小球通过B点时的最小速度为
C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关
D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
【例4】．（2023·河北保定·高三阶段练习）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则（ ）
A．小球通过最高点A时的速度
B．小球通过最高点A时的速度
C．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=0
D．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=mgsin θ
题型四 圆周运动与图像结合问题
类型1 水平面内圆周运动与图像结合问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力与转动角速度的平方的关系如图乙所示，当角速度的平方超过时，物块A、B开始滑动。若图乙中的、及重力加速度均为已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体bB．绳长为2l
C．D．ω = ω2时绳上张力大小为
【例3】（2023·湖南永州·统考三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知，，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO＇匀速转动时，A、B之间绳中弹力和B、C之间绳中弹力随的变化关系如图乙所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体A的质量
B．物体C与圆心距离
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为时，A、B即将与圆盘发生滑动
类型2 竖直面内圆周运动与图像结合
【解题指导】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。
2.对一次函数y＝kx＋b要非常熟练，会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型：①v＞eq \r(gR)时绳子的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①v＞eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg ，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v＜eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力FN＝mg－meq \f(v2,R)，方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。
2.根据物理方程整理成函数关系。
3.将物理方程与一次函数相对应。
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
【例3】（2023·重庆·统考二模）如图1所示，将长为的轻绳一端固定在点的拉力传感器上，另一端与一质量为且可视为质点的小球相连，拉直轻绳使其与竖直方向夹角为。现让小球在同角下由静止开始在竖直面内做圆周运动，记录每个角下小球运动过程中传感器上的最大拉力与最小拉力，并作出它们之间的部分关系图像如题图2所示。忽略一切阻力及轻绳长度变化，重力加速度为，则图2中（ ）
A．图线的斜率与小球质量无关B．的大小与绳长有关
C．的大小可能为D．当时对应的
【例4】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图甲所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一小球。小球在竖直平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力F的大小与小球离最低点的高度h的关系如图所示。重力加速度g取10m/s2，则（ ）
A．圆周半径为1.0 m
B．小球质量为0.5 kg
C．轻绳转至水平时拉力为30 N
D．小球通过最高点时的速度为2 m/s
【例5】（2023秋·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）宇航员在空气稀薄的某星球上用一根不可伸长轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为200g的小钢球，如图甲所示。多次拉起小钢球使绳伸直至不同位置并由静止释放，每次释放后小球均在竖直平面内摆动，拉力传感器分别记录下每次释放小钢球后，小钢球在竖直平面内摆动过程中绳子拉力的最大值和最小值。作出图像，如图乙所示，根据图像判断下列说法正确的是（ ）
A．增大小球质量，图像斜率会变大
B．随着释放高度增加，与的差值变大
C．该星球表面的重力加速度为
D．若该星球半径是地球半径的一半，则其第一宇宙速度约为4km/s
【例6】（2023·广东广州·华南师大附中校联考期中）如图1所示，轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，绳上有一拉力传感器（质量可忽略）。初始时，小球静止在最低点，现给小球一水平向右的初速度使其绕O点在竖直面内做圆周运动，在其轨迹最高点设置一光电门，可测量小球在最高点的速度。多次改变小球初速度，记录小球运动到最高点时的拉力F和对应速度平方并绘制图像如图2所示。下列说法正确的是（ ）
A．重力加速度等于B．轻绳长度等于
C．当时，向心加速度为D．当时，小球所受的拉力等于其重力的两倍
运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
圆锥摆
火车转弯
飞车走壁
汽车在
水平路
面转弯
水平转台
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图
F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
临界特征
F弹＝0
mg＝meq \f(vmin2,R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥eq \r(gR)，F弹＋mg＝meq \f(v2,R)，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v
(2)当0
(4)当v>eq \r(gR)时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大
专题09 圆周运动常考模型
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5577" 题型一 圆周运动中的运动学分析 PAGEREF _Tc5577 \h 1
\l "_Tc28547" 题型二 水平面内的圆周运动 PAGEREF _Tc28547 \h 6
\l "_Tc23060" 类型1 圆锥摆模型 PAGEREF _Tc23060 \h 6
\l "_Tc27795" 类型2 生活中的圆周运动 PAGEREF _Tc27795 \h 11
\l "_Tc21042" 题型三 圆周运动中的临界极值问题 PAGEREF _Tc21042 \h 16
\l "_Tc20208" 类型1 水平面内圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc20208 \h 16
\l "_Tc277" 类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc277 \h 22
\l "_Tc7670" 类型3 斜面上圆周运动的临界问题 PAGEREF _Tc7670 \h 32
\l "_Tc26647" 题型四 圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc26647 \h 36
\l "_Tc14168" 类型1 水平面内圆周运动与图像结合问题 PAGEREF _Tc14168 \h 36
\l "_Tc20690" 类型2 竖直面内圆周运动与图像结合 PAGEREF _Tc20690 \h 41
题型一 圆周运动中的运动学分析
【解题指导】1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
【例1】（2023·浙江·模拟预测）在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为0.6 m。下列说法正确的是（ ）
A．泼水时杯子的旋转方向为顺时针方向
B．P位置飞出的小水珠初速度沿1方向
C．杯子在旋转时的角速度大小为
D．杯子在旋转时的线速度大小约为
【答案】D
【详解】AB．由图乙中做离心运动的轨迹可知，杯子的旋转方向为逆时针方向，P位置飞出的小水珠初速度沿2方向，故AB错误。
C．杯子旋转的角速度为
故C错误。
D．杯子旋转的轨迹半径约为0.6 m，则线速度大小约为
故D正确。
故选D。
【例2】．（2023·陕西汉中·统考二模）某学校门口的车牌自动识别系统如图所示，闸杆水平时距水平地面高为，可绕转轴O在竖直面内匀速转动，自动识别区到的距离为，汽车匀速驶入自动识别区，自动识别系统识别的反应时间为，闸杆转动的角速度为。若汽车可看成高的长方体，闸杆转轴O与汽车左侧面的水平距离为，要使汽车顺利通过闸杆（车头到达闸杆处视为通过闸杆），则汽车匀速行驶的最大允许速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设汽车恰好通过道闸时直杆转过的角度为，则由几何知识得
解得
由题意可知闸杆转动的角速度为
根据角速度的定义
可得直杆转动的时间为
自动识别区ab到汽车以速度匀速通过时间为
汽车匀速行驶的最大允许速度为
故选B。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（ ）
A．飞镖击中P点所需的时间为B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为D．P点随圆盘转动的线速度可能为
【答案】D
【详解】A．飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，则有飞镖击中P点所需的时间为
A错误；
B．飞镖击中P点时，P点恰好在最下方，设圆盘半径为r，则有
解得
B错误；
C．飞镖击中P点，则转过的角度应满足
（k＝0，1，2⋯）
解得
（k＝0，1，2⋯）
则有圆盘转动的角速度的最小值为
C错误；
D． P点随圆盘转动的线速度为
（k＝0，1，2⋯）
当k=1时，则有
D正确。
故选D。
【例4】．（2023·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R2，内筒半径R1，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄孔S不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R1、R2、和都不变，则取下列选项中哪个值时可使所有微粒都打在N筒上同一点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】微粒从M到N运动时间
对应N筒转过角度
即如果以v1射出时，转过角度
如果以v2射出时，转过角度
只要θ1、θ2相差2π的整数倍，则落在一处，即当
时，所有微粒都打在N筒上同一点。则
故选B。
题型二 水平面内的圆周运动
【解题指导】1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
3．几种典型运动模型
4方法技巧：求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
类型1 圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝meq \f(v2,r)＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝eq \r(gLtan θsin θ)，ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ)).
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝eq \f(mg,cs θ)和运动所需向心力也越大．
【例1】（2023春·北京海淀·高三统考阶段练习）游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，实物图和简化后的示意图分别如下面左、右两图所示。已知飞椅用等长的钢绳系着，钢绳上端的悬点分别固定在顶部水平转盘上的内、外两个圆周上。转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每根钢绳（含飞椅及游客）与转轴在同一竖直平面内。图中P、Q两位游客分别悬于内、外两个圆周上，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，P做圆周运动的半径较小。不计钢绳的重力。下列判断正确的是（ ）
A．P、Q两个飞椅的线速度大小相同
B．无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定小于θ2
C．如果两个游客的质量相同，则有θ1等于θ2
D．如果两个游客的质量相同，则他们所受的向心力大小也一定相同
【答案】B
【详解】A．P、Q两个飞椅的角速度相同，半径不同，则线速度大小不同，故A错误；
BC．由
mgtanθ=mω2r
得
tanθ=ω2r
P做圆周运动的半径较小，则无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定小于θ2，故B正确，C错误；
D．向心力
F=mgtanθ
θ1小于θ2，如果两个游客的质量相同，则他们所受的向心力大小不同，故D错误。
故选B。
【例2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图所示，水平机械臂BC固定在竖直转轴CD上，B处固定一与BC垂直的光滑水平转轴，轻杆AB套在转轴上。轻杆可在竖直面内转动，其下端固定质量为m的小球，轻杆和机械臂的长度均为L，开始小球静止，缓慢增大竖直轴转动的角速度，直至杆与竖直方向的夹角为37°，已知，，重力加速度为g，则（ ）
A．此时小球的角速度大小为B．此时小球的线速度大小为
C．此过程中杆对小球做的功为D．此过程中杆对小球做的功为
【答案】C
【详解】AB．当杆与竖直方向成37°时，小球做匀速圆周运动，杆对小球的拉力沿杆方向，合力提供向心力，则有
可得
因为圆周运动半径
根据
可得
选项AB错误；
CD．设此过程中杆对小球做功为W，由动能定理
解得
选项C正确，D错误。
故选C。
【例3】（2023·黑龙江·校联考一模）如图所示，、两小球分别用长为、的细绳悬挂在同一竖直线上的两点，现使两球在水平面内做圆周运动，且角速度均缓慢增大，当两球刚好运动到相同高度时，、两球运动半径分别为。此时剪断两细绳，两球落在水平地面上同一点。则下列说法正确的是（ ）
A．在角速度缓慢增大的过程中，两绳的拉力均增大
B．A、两球的质量比为
C．剪断细绳瞬间，A球速度为
D．剪断细绳瞬间，两球距地面高度为
【答案】ACD
【详解】A．设绳子与竖直方向的夹角为，对球受力分析，竖直方向，根据平衡条件得
角速度缓慢增大的过程中，逐渐增大，逐渐减小，绳的拉力增大，故A正确；
C．当两球刚好运动到相同高度时，对球，由几何关系得
则
由牛顿第二定律得
解得
故C正确；
B．由C得，球的质量直接约去，无法求解两球的质量关系，故B错误；
D．对B球，由几何关系得
则
由牛顿第二定律得
解得
剪断细绳后，小球做平抛运动，设落地时间为，水平方向小球的位移如图
由几何关系和平抛运动规律得：水平方向
竖直方向
联立解得
故D正确。
故选ACD。
【例4】（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形始终在竖直平面内，若转动过程中、两绳始终处于拉直状态，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力范围为
B．绳的拉力范围为
C．绳的拉力范围为
D．如果把绳剪断，小球一定会偏离原来位置
【答案】B
【详解】ABC．转动的角速度为零时，绳的拉力最小，绳的拉力最大，这时二者的值相同，设为，则
解得
增大转动的角速度，当绳的拉力刚好为零时，绳的拉力最大，设这时绳的拉力为，则
解得
因此绳的拉力范围，绳的拉力范围。故AC错误，B正确；
D．当绳绳的拉力为零时，如果把绳剪断，小球不会偏离原来位置。故D错误。
故选B。
类型2 生活中的圆周运动
【例2】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）2021年3月27日，我国花样滑冰运动员陈虹伊，在2021世界花样滑冰锦标赛上以162.79分的总成绩排在女子单人滑第二十一名。如图甲是我国奥运冠军花样滑冰运动员陈虹伊在赛场上的情形，假设在比赛的某段时间她单脚着地，以速度v做匀速圆周运动，如图乙冰鞋与冰面间的夹角为37°，陈虹伊的质量为m，重力加速度为g，sin37°=0.6，cs37°=0.8，不计冰鞋对陈虹伊的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．陈虹伊受重力、冰鞋的支持力、向心力的作用
B．冰鞋对陈虹伊的支持力大小为
C．陈虹伊做匀速圆周运动的半径为
D．陈虹伊做匀速圆周运动的向心加速度大小为
【答案】C
【详解】A．陈虹伊此时只受到重力和冰鞋的支持力的作用，A错误；
BCD．陈虹伊受到的力如图所示
x轴方向有
y轴方向有
联立解得
，，
故B、D错误，C正确。
故选C。
【例2】．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图所示是港珠澳大桥的一段半径为120m的圆弧形弯道。晴天时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍。若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度，则（ ）
A．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为3.0m/s²
B．汽车以72km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6rad/s
C．晴天时汽车以180km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D．下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
【答案】D
【详解】AB．汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径为120m，运动速率
向心加速度为
角速度
AB错误；
C．以汽车为研究对象，当路面对轮胎的径向摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时，此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率vm。设汽车的质量为m，在水平方向上根据牛顿第二定律得
在竖直方向有
径向最大静摩擦力变为正压力的0.8倍，即
联立得
解得
所以晴天时，汽车以180km/h的速率不能安全通过此圆弧形弯道，C错误；
D．下雨时，路面对轮胎的径向最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，有
解得
所以下雨时汽车以70km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道，D正确。
故选D。
【例3】．（2023·全国·二模）在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军。如图所示，A、B、、在同一直线上，为中点，运动员由直线经弯道到达直线，若有如图所示的①②两条路线可选择，其中路线①中的半圆以O为圆心，半径为，路线②是以为圆心，半径为的半圆．若运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向作用力的最大值相等，运动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不变），则下列说法正确的是（ ）
A．在①②两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等
B．沿①②两条路线运动时，运动员的速度大小相等
C．选择路线①，路程最短，运动员所用时间较短
D．选择路线②，路程不是最短，但运动员所用时间较短
【答案】D
【详解】A．因为运动过程中运动员以不打滑的最大速率通过弯道，最大径向作用力提供向心力，有
Fmax=ma
所以在①②两条圆弧路线上运动时的向心加速度大小相同，故A错误；
B．根据牛顿第二定律，有
解得
因为路线①的半径小，所以路线①上运动员的速度小，故B错误；
CD．路线①的路程为
路线②的路程为
根据
和
可知选择路线②所用时间短，故C错误，D正确。
故选D。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）运球转身是运球中的一种基本方法，是篮球运动中重要进攻技术之一。拉球转身的动作是难点，例如图a所示为运动员为拉球转身的一瞬间，由于篮球规则规定手掌不能上翻，我们将此过程理想化为如图b所示的模型，薄长方体代表手掌，转身时球紧贴竖立的手掌，绕着转轴（中枢脚所在直线）做圆周运动，假设手掌和球之间的最大静摩擦因数为0.5，篮球质量为600克，直径24厘米，手到转轴的距离为0.5米，则要顺利完成此转身动作，篮球和手至少要有多大的速度（ ）
A．2.28m/sB．2.76m/s
C．3.16m/sD．3.52m/s
【答案】B
【详解】竖直方向上
水平方向上
解得
故选B。
题型三 圆周运动中的临界极值问题
类型1 水平面内圆周运动的临界问题
三种临界情况
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【例1】（2023·山东泰安·统考二模）如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链固定于圆环最低点，当圆环以角速度绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小和方向为（ ）
A．沿杆向上B．沿杆向下
C．沿杆向上D．沿杆向下
【答案】B
【详解】设轻杆与竖直直径夹角为，由几何关系可得
解得
则小球作圆周运动的半径为
作圆周运动所需向心力为
小球有向上运动的趋势，设杆对小球有沿杆向下的拉力F1，环对小球有指向圆心的支持力F2，有平衡条件可知
解得
故选B。
【例2】.（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）如图所示，可视为质点、质量为的物块用长为的细绳拴接放在转盘上，细绳的另一端固定在通过转盘轴心的竖直杆上，细绳刚好伸直且与竖直方向的夹角为。已知物块与转盘之间的动摩擦因数为，且，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让整个装置由静止开始缓慢的加速转动起来。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，细绳的拉力不可能为零
B．从开始转动到细绳对物块刚有作用力的过程，转盘对物块所做的功为
C．当转盘的转速为时，物块刚好与转盘分离
D．从开始转动到物块刚好与转盘分离的过程中，转盘对物块所做的功为
【答案】B
【详解】AB．转盘刚开始转动，细绳未硼紧，此时静摩摖力提供向心力，当转动到某一角速度吋，静摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律有
此时物块线速度大小为
从开始运动到细绳中将要出现拉力过程中，设转盘对物块做的功为，对物块由动能定理，可得
联立解得
故A错误、B正确；
C．当转盘对物块支持力恰好为零时，竖直方向
水平方向
联立解得
此时转盘的转速大小为
故C错误；
D．此时物块的线速度大小为
从开始运动到转盘对物块的支持力刚好为零过程上，设转盘对物块做的功为，对物块由动能定理，可得
联立解得
故D错误。
故选B。
【例3】．（2023·湖南永州·统考三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知，，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO＇匀速转动时，A、B之间绳中弹力和B、C之间绳中弹力随的变化关系如图乙所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体A的质量
B．物体C与圆心距离
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为时，A、B即将与圆盘发生滑动
【答案】D
【详解】A．根据题中条件无法求出A的质量，A错误；
B．由图乙可知，B、C绳中先出现弹力，根据
当时
当时
代入数据解得
B错误；
C．当角速度为1rad/s时
由图可知
B、C间绳的拉力均为1N，对B只有摩擦力提供向心力，有
选项C错误；
D．根据题图可得
A、B即将与圆盘发生滑动时，满足
代入、可得
解得
D正确。
故选D。
【例4】．（2023·上海宝山·统考二模）如图所示，M能在水平光滑滑杆上滑动，滑杆连架装在离心机上，用绳跨过光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，M离轴距离为r，且恰能作匀速圆周运动。若m增至原来的2倍，保持r不变，为使M仍能作匀速圆周运动，则离心机的角速度要变为原来的（ ）
A．1倍B．倍C．2倍D．4倍
【答案】B
【详解】当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，质量为m的物体处于静止状态，根据牛顿第二定律，有
若m增至原来的2倍，保持r不变，M仍能作匀速圆周运动，同理有
联立解得
故选B。
【例5】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接，放置在水平转台上， ，，绳长l=1.5m，两滑块与转台的动摩擦因数μ均为0.5（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），转台静止时细绳刚好伸直但没有弹力，转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加速转动（任意一段极短时间内可认为转台做匀速圆周运动），g取。以下分析正确的是（ ）
A．当时，绳子张力等于0.9N
B．当时，A、B开始在转台上滑动
C．当时，A受到摩擦力为0
D．当时，绳子张力为1N
【答案】C
【详解】A．当绳子刚好出现张力时，则对B分析可知
解得
当时，绳子张力等于0，选项A错误；
C．当时，绳子张力等于0，此时A受到摩擦力为0，选项C正确；
BD．当A、B刚要在转台上滑动时，则对B
对A
解得
当时，A、B开始在转台上滑动，当时，绳子张力为
选项BD错误。
故选C。
类型2 竖直面内的圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例1】（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L的轻绳拉着质量为m的小球保持静止。现在给小球一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
【答案】D
【详解】A．小球在竖直面内做完整的圆周运动，若小球恰好能通过最高点，则有重力提供向心力，可得
解得
可知小球能通过最高点的最小速度是，因此小球在最高点的速度不可以等于0，A错误；
B．若小球恰好能通过最高点，设小球获得的初速度大小为v＇，则在最低点时由动能定理，则有
解得
由以上计算可知，是小球获得的初速度大小的最小值，有可能比这个速度要大，B错误；
C．小球在竖直面内做完整的变速圆周运动，由以上分析可知，小球在最高点和最低点处合力指向圆心，C错误；
D．设小球在最高点时的速度为v0，在最低点时的速度为，由动能定理可得
小球在最高点时，由牛顿第二定律可得
小球在最低点时，由牛顿第二定律可得
联立以上各式解得
D正确。
故选D。
【例2】（2023春·江苏扬州·高三期中）如图所示，在O点用长为L不可伸长的轻绳悬挂一质量为m的小球，O点正下方的P点固定一细钉子，OP距离为d，C点和P点等高。小球处于O点右侧同一水平高度的A点时，绳刚好拉直，将小球从A点由静止释放。不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A点运动B点的过程中，重力的功率逐渐变大
B．绳撞钉子前后，小球的角速度不变
C．d取某个值（不等于0）时，小球运动到C点的速度恰好为零
D．若时，小球不能绕钉子做圆周运动
【答案】D
【详解】A．小球在A点时速度为零，重力的功率为零，小球在B点时速度沿水平方向，重力的功率也为零，又因为小球从A点运动B点的过程中，速度大小和方向是连续变化的，不存在突变过程，所以该过程中重力的功率先增大后减小，故A错误；
B．撞钉子前后的一小段时间内，由于小球在水平方向加速度为零，所以线速度大小不变，但小球做圆周运动的半径突然变小，则根据可知小球的角速度变大，故B错误；
C．小球运动过程中绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以无论d在0＜d＜L范围内取何值，即C点低于O点高于B点时，小球运动到C点的速度都不可能为零，故C错误；
D．若时，设小球运动到C点时的速度大小为vC，根据机械能守恒定律有
解得
若要使小球能绕钉子做圆周运动，其到最高点的最小速度vm应满足
即
小球由C点向O点运动过程中克服重力做功，速度减小，所以不可能以vm通过O点，即不能绕钉子做圆周运动，故D正确。
故选D。
【例3】（2023春·江苏南京·南京师大附中校考期中）如图所示，粗糙的水平轨道和光滑的竖直圆轨道 ABCD 相切于A点，小滑块P静置在水平轨道上，现对P施加水平向右的恒力F使之由静止向右运动，到A点时撤去F。研究发现：当起点在M点左侧或N点右侧时，P进入圆轨道后不会脱离轨道。设MA与NA的比值为k，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，则 （ ）
A．μ越大，k越大B．μ越大，k越小
C．k=2D．k=
【答案】D
【详解】根据题意知，滑块从M点开始运动时，恰好能够到最高点，有
在最高点时，重力提供向心力
滑块从N点开始运动时，刚好能够运动到B点，有
联立上式得
k的取值与μ无关，故选D。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）在竖直平面内光滑圆轨道的外侧，有一小球（可视为质点）以某一水平速度从最高点A出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，圆轨道半径为，重力加速度为，不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
A．小球从A点出发的速度大小
B．小球经过B点时的速度大小
C．小球经过B点时速度变化率大小为
D．小球落在C点时的速度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，小球在A点没有脱离轨道，则小球对圆轨道的压力不为零，由牛顿第二定律有
解得
故A错误；
B．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，设此时小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律有
解得
故B错误；
C．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，则小球对圆轨道的压力为零，只受重力作用，小球的加速度为，即小球经过B点时速度变化率大小为，故C正确；
D．根据题意可知，小球在B点脱离轨道，速度方向为斜向下，只受重力作用，水平方向做匀速直线运动，小球落地时，水平方向速度不为零，则小球落在C点时的速度方向不可能竖直向下，故D错误。
故选C。
【例5】．（2023·广西桂林·统考二模）如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
【答案】BC
【详解】A．设滑块P恰能通过最高点D，则有
解得
则滑块P从B点到D点，根据动能定理有
解得滑块在B点的动能为
所以滑块不能到达半圆轨道最高点D，故A错误；
B．滑块经过B点时的速度大小为vB，根据功能关系可得
在B点根据牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知对半圆轨道的压力大小为9N，故B正确；
CD．滑块在C点的重力势能为
则滑块可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，此时的速度大小为v
根据功能关系可得
根据牛顿第二定律可得
联立解得
，
滑块离开轨道后做斜上抛运动
根据功能关系可得
解得滑块P能到达的最大高度为
故C正确，D错误。
故选BC。
【例6】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，一半径为、内壁光滑的四分之三圆形管道竖直固定在墙角处，点为圆心，点为最低点，A、B两点处为管口，、A两点连线沿竖直方向，、B两点连线沿水平方向。一个质量为的小球从管道的顶部A点水平飞出，恰好又从管口B点射入管内，重力加速度取，则小球从A点飞出时及从B点射入管内经过点时对管壁的压力大小之差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】小球从A点做平抛运动到点，则有
，
解得
在A点若小球对上、下管壁均无压力，则
解得
因为
所以管壁对小球有向上的支持力，则
解得
由牛顿第三定律可知小球对管壁的压力
小球到点时竖直方向的速度
在点与管壁碰撞，水平速度减为零，从点到点的过程由机械能守恒定律得
在点对小球由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律可知小球对管壁的压力
则小球从A点飞出时及从点射入管内经过点时对管壁的压力大小之差为
故选B。
【例7】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，轻杆的一端固定在通过O点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点、C点为最低点，B点与O点等高，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B点时，所受杆的作用力沿着BO方向
C．从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A点到C点的过程，杆对小球的作用力做负功
【答案】D
【详解】A．小球经过A点时，合外力提供向心力，则当小球速度较小时
则所受杆的作用力竖直向上；当小球速度较大时
则所受杆的作用力竖直向下；当小球速度
则杆对小球无作用力。故A错误；
B．合外力提供向心力，小球受重力和杆给的作用力，则小球所受杆的作用力为右上方。故B错误；
C．A点和C点处重力与速度方向垂直，则小球重力的功率为0，B点处重力与速度共线，故重力功率不为0，则从A点到C点的过程，小球重力的功率先增大再减小。故C错误；
D．A到C的过程中，重力做正功，根据动能定理可知
故杆对小球的作用力做负功。故D正确。
故选D。
类型3 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例1】（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，、，下列说法正确的是（ ）
A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为
B．小球离开B点做平抛运动的时间为
C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为
【答案】BCD
【详解】A．小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面的分力提供向心力，则有
解得
A错误；
B．小球离开B点做平抛运动，竖直方向上有
解得
B正确；
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，根据上述有
，
小球的落地点与P点间的距离为
解得
D正确；
C．小球在B点的加速度大小为2g，则在B点有
小球由A运动到B过程有
小球在A点有
解得
C正确。
故选BCD。
【例2】（2023·福建泉州·模拟预测）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°，g取。则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】当小物体转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度为ω1，由牛顿第二定律得：
代入数据解得：
当小物体转到圆盘的最高点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时，角速度为ω2，同理
虽然，但小物体从最高点向最低点转动过程中，摩擦力和重力无法提供出满足向心力出来，所以要保证小物体与圆盘始终保持相对静止，圆盘的角速度应取其通过最低点的最大角速度，故D错误，ABC正确。
故选ABC。
【例3】．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）如图所示，在倾角为的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻杆一端可绕斜面上的O点自由转动，另一端连着一质量为m的小球（视为质点）。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻杆与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过A点时所受轻杆的作用力大小为
B．小球通过B点时的最小速度为
C．小球通过A点时斜面对小球的支持力与小球的速度无关
D．若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻杆，则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
【答案】ACD
【详解】A．小球在A点受到重力、斜面的支持力以及杆的拉力，由向心力公式可得
可得
故A正确；
B．杆可以为小球提供支持力，所以小球经过最高点B时的最小速度为零，故B错误；
C．斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分量，与小球的速度无关，故C正确；
D．经分析可知小球经过B点脱落后在斜面上作类平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，在沿斜面方向做初速度为零的匀加速度直线运动。沿斜面方向根据牛顿第二定律
由位移公式可知
水平方向
故D正确。
故选ACD。
【例4】．（2023·河北保定·高三阶段练习）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则（ ）
A．小球通过最高点A时的速度
B．小球通过最高点A时的速度
C．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=0
D．小球通过最高点A时，细线对小球的拉力T=mgsin θ
【答案】AC
【详解】小球在斜面上做圆周运动的等效重力为
恰好通过最高点A时，只有等效重力提供向心力，故此时有
解得
故选AC。
题型四 圆周运动与图像结合问题
类型1 水平面内圆周运动与图像结合问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力与转动角速度的平方的关系如图乙所示，当角速度的平方超过时，物块A、B开始滑动。若图乙中的、及重力加速度均为已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】BD
【详解】由题图乙可知，当转盘角速度的二次方为时，A、B间的细绳开始出现拉力，可知此时B达到最大静摩擦力，故有
当转盘角速度的二次方为时，A达到最大静摩擦力，对A有
对B有
联立以上三式解得
故选BD。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2= 3f1，下列判断正确的是（ ）
A．图线（1）对应物体bB．绳长为2l
C．D．ω = ω2时绳上张力大小为
【答案】ABD
【详解】A．根据图像刚开始为过原点的直线，可得开始时有
f = mω2r
则刚开始时绳子无拉力，摩擦力提供各自的向心力为
，
因为，所以有
则图线（1）对应物体b，A正确；
B．当时，对物体ab有
，，
可得
解得
所以绳子长度为
B正确；
CD．当时，对b有
得
当时，设此时绳子拉力为，对物体ab有
，
联立解得
，
C错误，D正确。
故选ABD。
【例3】（2023·湖南永州·统考三模）如图甲所示，三个物体A、B和C放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接A、B和B、C．物块A、B、C与圆心距离分别为rA、rB和rC，已知，，物块A、B、C与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度ω绕轴OO＇匀速转动时，A、B之间绳中弹力和B、C之间绳中弹力随的变化关系如图乙所示，取，下列说法正确的是（ ）
A．物体A的质量
B．物体C与圆心距离
C．当角速度为1rad/s时，圆盘对B的静摩擦力大小为0.5N
D．当角速度为时，A、B即将与圆盘发生滑动
【答案】D
【详解】A．根据题中条件无法求出A的质量，A错误；
B．由图乙可知，B、C绳中先出现弹力，根据
当时
当时
代入数据解得
B错误；
C．当角速度为1rad/s时
由图可知
B、C间绳的拉力均为1N，对B只有摩擦力提供向心力，有
选项C错误；
D．根据题图可得
A、B即将与圆盘发生滑动时，满足
代入、可得
解得
D正确。
故选D。
类型2 竖直面内圆周运动与图像结合
【解题指导】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。
2.对一次函数y＝kx＋b要非常熟练，会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型：①v＞eq \r(gR)时绳子的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①v＞eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力F＝meq \f(v2,R)－mg ，方向竖直向下
②v＝eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。
③v＜eq \r(gR)时轻杆对物体的弹力FN＝mg－meq \f(v2,R)，方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。
2.根据物理方程整理成函数关系。
3.将物理方程与一次函数相对应。
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示，则（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【答案】D
【详解】A．小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律有
可得
可知图线斜率为
可得轻质绳长为
故A错误；
B．由图像可知纵轴上截距的绝对值为
则有
故B错误；
C．由图像可知
故当时，有
故C错误；
D．从最高点到最低点，由机械能守恒有
在最低点对小球受力分析，由牛顿第二定律有
联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差为
故D正确。
故选D。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法不正确的是（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
【答案】ABD
【详解】AB．从A到B，根据动能定理可得
在B点，根据牛顿第二定律得
联立解得
结合题图乙可知
，
故AB错误，AB满足题意要求；
D．恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得
从最低点到最高点，根据动能定理可得
解得
故D错误，满足题意要求；
C．从最高点做平抛运动，则有
，
且
联立解得
当
解得
取最大值，可得
故C正确，不满足题意要求。
故选ABD。
【例3】（2023·重庆·统考二模）如图1所示，将长为的轻绳一端固定在点的拉力传感器上，另一端与一质量为且可视为质点的小球相连，拉直轻绳使其与竖直方向夹角为。现让小球在同角下由静止开始在竖直面内做圆周运动，记录每个角下小球运动过程中传感器上的最大拉力与最小拉力，并作出它们之间的部分关系图像如题图2所示。忽略一切阻力及轻绳长度变化，重力加速度为，则图2中（ ）
A．图线的斜率与小球质量无关B．的大小与绳长有关
C．的大小可能为D．当时对应的
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球由静止开始在竖直面内做圆周运动，故
小球在最高点时，轻绳上拉力最小，得
在最低点时，轻绳上拉力最大，得
由机械能守恒定律有
联立解得
可知图2中图线的斜率恒为
k=－2
与小球质量无关，故A正确；
B．当时，有
可知a的大小与绳长无关，故B错误；
C．由
可知，当时，最大值为，可知
故C错误；
D．由
可知，当
有
又因为
故对应的
故D正确。
故选AD。
【例4】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图甲所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一小球。小球在竖直平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力F的大小与小球离最低点的高度h的关系如图所示。重力加速度g取10m/s2，则（ ）
A．圆周半径为1.0 m
B．小球质量为0.5 kg
C．轻绳转至水平时拉力为30 N
D．小球通过最高点时的速度为2 m/s
【答案】B
【详解】A．由题图乙可知，当h＝0时，绳的拉力为F2＝41 N，当h＝1.0 m时绳的拉力为F1＝11 N，可知小球做圆周运动的半径
A错误；
BD．设小球通过最高点时的速度为v1，通过最低点时的速度为v2，由机械能守恒定律可得
在最高点，根据牛顿第二定律可知
在最低点，根据牛顿第二定律可知
联立解得
m＝0.5 kg
v1＝4 m/s
B正确，D错误；
C．设轻绳转至水平时小球的速度为v，从最高点到水平时，由机械能守恒定律可得
解得
由牛顿第二定律可知，轻绳转至水平时拉力
C错误。
故选B。
【例5】（2023秋·安徽芜湖·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）宇航员在空气稀薄的某星球上用一根不可伸长轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接质量为200g的小钢球，如图甲所示。多次拉起小钢球使绳伸直至不同位置并由静止释放，每次释放后小球均在竖直平面内摆动，拉力传感器分别记录下每次释放小钢球后，小钢球在竖直平面内摆动过程中绳子拉力的最大值和最小值。作出图像，如图乙所示，根据图像判断下列说法正确的是（ ）
A．增大小球质量，图像斜率会变大
B．随着释放高度增加，与的差值变大
C．该星球表面的重力加速度为
D．若该星球半径是地球半径的一半，则其第一宇宙速度约为4km/s
【答案】BD
【详解】AB．设刚释放时绳与竖直方向的夹角为，此时绳上拉力最小为
球摆到最低点时绳上拉力最大，设绳长为L，球到最低点时速度为v，由机械能守恒有
据向心力公式有
联立解得
可见图像的斜率为定值-2与m无关
由题意知，释放高度增加增大减小，则增大，选项A错误，B正确；
CD．由
对照图像可见
解得
约为地球表面的重力加速度一半，该星球第一宇宙速度
若该星球半径是地球半径的一半，则其第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度7.9km/s的一半，即约为4km/s，C错误，D正确。
故选BD。
【例6】（2023·广东广州·华南师大附中校联考期中）如图1所示，轻绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，绳上有一拉力传感器（质量可忽略）。初始时，小球静止在最低点，现给小球一水平向右的初速度使其绕O点在竖直面内做圆周运动，在其轨迹最高点设置一光电门，可测量小球在最高点的速度。多次改变小球初速度，记录小球运动到最高点时的拉力F和对应速度平方并绘制图像如图2所示。下列说法正确的是（ ）
A．重力加速度等于B．轻绳长度等于
C．当时，向心加速度为D．当时，小球所受的拉力等于其重力的两倍
【答案】BC
【详解】A．在最高点，由牛顿第二定律可知
所以
结合图像可知
解得
A错误；
B．由上述分析可知
解得
B正确；
C．由几何知识可得，图2中的直线表达式为
当时
由牛顿第二定律可知，此时向心加速度为
C正确；
D．由上述分析，当时
D错误。
故选BC。
运动模型
向心力的来源图示
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
圆锥摆
火车转弯
飞车走壁
汽车在
水平路
面转弯
水平转台
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图
F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
临界特征
F弹＝0
mg＝meq \f(vmin2,R)
即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥eq \r(gR)，F弹＋mg＝meq \f(v2,R)，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v
(2)当0
(4)当v>eq \r(gR)时，mg＋F弹＝meq \f(v2,R)，F弹指向圆心并随v的增大而增大
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