2023-2024学年广东省佛山四中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山四中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. xy+2=1B. y2+12y+9=0C. x2=0D. x2+y2=1
2.已知(m−1)x2−2x+1=0是关于x的一元二次方程，则实数m的取值范围是( )
A. m≤2B. m≥2C. m≠1D. m≠2
3.已知2x=3y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )
A. x2=3yB. x2=y3C. xy=23D. x3=y2
4.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )
A. 3.5B. 4C. 7D. 14
5.在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有10个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现摸到黄色球的频率稳定在40%，则布袋中白色球的个数很可能是( )
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
6.一个三角形的三边长都是方程x2−7x+10=0的根，则这个三角形的周长不可能是( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
7.如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线AC为一边作菱形AEFC，AF于BC交于G点，则∠BCE的度数与BE的长分别为( )
A. 30°、2 2−2B. 30°、2 2−1
C. 22.5°、2 2−2D. 22.5°、2 2−1
8.如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是( )
A. 16 2
B. 8 2
C. 8 3
D. 16
9.如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为( )
A. (12)n
B. 5×(12)n+1
C. 5×(12)n
D. 5×(12)n−1
10.如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB=a.得到以下结论：
①BE⊥CF；②AP=a；③CP= 55a
则上述结论正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
11.已知x2=y3=z4，则2x+y+z3x−2y+z= ______．
12.若m，n是一元二次方程x2−5x−2=0的两个实数根，则m2+n2−mn的值是______．
13.若x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，则(x12+x1−2)⋅(x22+x2−2)的值为______．
14.有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为______．
15.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程应为______．
16.如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB=6，BC=8，则PE+PF的值为______．
17.如图，在平面直角坐标系中有矩形ABCD，A(0,0)，C(8,6)，M为边CD上一动点，当△ABM是等腰三角形时，M点的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
解下列方程：
(1)x2−6x=3；
(2)5(x−7)2=4(x−7)．
19.(本小题6分)
如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
(1)求证：AE=AF；
(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．
20.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+6)x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．
(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根；
(2)若n=x1+x2−5，判断动点P(m,n)所形成的函数图象是否经过点A(4,5)，并说明理由．
21.(本小题8分)
小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A，B，C，D，E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A，B两个出入口放入：②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值4元的小兔玩具，否则应付费3元．
(1)请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况；
(2)小美得到小兔玩具的机会有多大？
(3)假设有125人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元．
22.(本小题8分)
我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
23.(本小题8分)
【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容.如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上．
求证：四边形ABEF是正方形.(请完成以下填空)
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵折叠，∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF是矩形(______).
∵折叠，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是正方形(______).
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上．
①求证：四边形ABEF是菱形；
②连结BF，若AE=5，BF=10，求菱形ABEF的面积．
24.(本小题10分)
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．
25.(本小题10分)
如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．

(1)花圃的面积为______米 ​2(用含a的式子表示)；
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽；
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】C
【解析】解：∵(m−1)x2−2x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m−1≠0，
解得，m≠1，
故选：C．
根据一元二次方程的定义列式计算即可得解．
本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．
3.【答案】D
【解析】解：∵2x=3y(y≠0)，
∴x3=y2或xy=32．
故选：D．
由2x=3y(y≠0)，根据比例的性质，即可求得答案．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，判断O是BD的中点，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=12AB．
【解答】
解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，
∵ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∴O是BD的中点，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH=12AB=12×7=3.5．
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用频率估计概率．
根据利用频率估计概率得到摸到黄色球的概率为40%，由此得到摸到白色球的概率=1−40%=60%，然后用60%乘以总球数即可得到白色球的个数．
【解答】
解：根据题意摸到黄色球的概率为40%，
则摸到白色球的概率=1−40%=60%，
所以口袋中白色球的个数=10×60%=6，
即布袋中白色球的个数很可能是6个．
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：(x−2)(x−5)=0，
x−2=0或x−5=0，
所以x1=2，x2=5，
当三角形三边分别为2、2、2时，三角形的周长为6；
当三角形三边分别为5、5、2时，三角形的周长为12；
当三角形三边分别为5、5、5时，三角形的周长为15．
故选：B．
利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=5，再根据三角形三边的关系确定三角形的三边，然后计算出对应的三角形的周长，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
7.【答案】C
【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAC=∠ACB=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴AC=AE，
∴∠ACE=12(180°−∠BAC)=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠BCE=∠ACE−∠ACB=67.5°−45°=22.5°，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AE=AC=2 2，
∴BE=AE−AB=2 2−2．
故选：C．
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠ACB=45°，根据菱形的四条边都相等可得AC=AE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ACE，然后根据∠BCE=∠ACE−∠ACB计算即可得解；再根据正方形的对角线等于边长的 2倍求出AE=AC，然后根据BE=AE−AB计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记两图形的性质并准确识图是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=4，∠ADC=∠C=90°，
∵四边形EDFG为矩形，
∴∠EDF=∠F=90°，
∵∠ADF+∠ADE=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADF=∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
∴ADDE=DFDC，即4DE=DF4，
∴DF=16DE，
∴矩形EDFG的面积为：DE⋅DF=DE⋅16DE=16．
故选：D．
先利用等角的余角证明∠ADF=∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADF∽△CDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可..
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键在于证明△ADF∽△CDE．
9.【答案】C
【解析】解：根据矩形的对角线相等且互相平分，
平行四边形ABC1O1底边AB上的高为12BC，
平行四边形ABC2O2底边AB上的高为12×12BC=(12)2BC，
所以平行四边形ABCnOn底边AB上的高为(12)nBC，
∵S矩形ABCD=AB⋅BC=5，
∴S平行四边形ABCnOn=AB×(12)nBC=5×(12)n．
故选：C．
以AB为底边，平行四边形ABC1O1的高是矩形ABCD的高的12，以此类推每一次作的平行四边形的高是上一次平行四边形的高的12，所以所作平行四边形的面积等于上一次所作平行四边形的面积的12，所以ABCnOn的面积为5×(12)n．
考查了矩形的性质，本题利用矩形对角线相等且互相平分的性质，探索并发现规律是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：在△CDF和△BCE中
CE=DF∠D=∠BCDCD=BC
∴△CDF≌△BCE(SAS)
∴∠CEB=∠CFD
∵∠DCF+∠CFD=90°
∴∠DCF+∠CEB=90°
∴∠EPC=90°
∴①正确；
如图延长CF交BA延长线于点M，
在△CFD和△MFA中
∠D=∠FAMDF=AF∠CFD=∠AFM
∴△CFD≌△MFA(ASA)
∴CD=MA=AB=a，
∵BP⊥CF
∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP=12BM=12×2a=a，
∴②正确；
∵CP⊥BE
∴CP×BE=CE×BC=12a2
∵BE= CE2+BC2= (12a)2+a2= 52a
∴CP=CE×BCBE=12a2 52a= 55a
∴③正确
故选：D．
先证明△CDF≌△BCE，可得到∠CEB=∠CFD，继而证得∠EPC=90°，故①正确；延长CF交BA延长线于点M，再证明△CFD和△MFA，可得CD=MA=AB=a，由BP⊥CF，根据“AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，”即可得：AP=12BM=12×2a=a，故②正确；由勾股定理和面积可得：CP= 55a，故③正确；即可得出结论．
本题考查了正方形性质，直角三角形性质，三角形面积，勾股定理，全等三角形判定和性质等，综合性较强，解题关键是全等三角形判定定理和性质定理的应用．
11.【答案】114
【解析】解：设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，则4k+3k+4k6k−6k+4k=11k4k=114．
故答案为：114．
首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值．
本题主要考查比的性质，设出比值是解题的关键．
12.【答案】31
【解析】解：∵m，n是一元二次方程x2−5x−2=0的两个实数根，
∴m+n=5，mn=−2，
则m2+n2−mn
=m2+n2+2mn−3mn
=(m+n)2−3mn
=52−3×(−2)
=25+6
=31，
故答案为：31．
先根据韦达定理得出m+n=5，mn=−2，再将其代入m2+n2−mn=(m+n)2−3mn计算即可．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．
13.【答案】1
【解析】解：∵x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，
∴x12+x1−1=0，x22+x2−1=0，
∴x12+x1=1，x22+x2=1，
则(x12+x1−2)⋅(x22+x2−2)=(1−2)×(1−2)=1．
故答案为：1．
先根据一元二次方程根的概念得出x12+x1=1，x22+x2=1，再代入代数式计算即可．
本题主要考查一元二次方程根的概念，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+x−1=0的两根时，x12+x1−1=0，x22+x2−1=0．
14.【答案】49
【解析】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次取出的数字之和是奇数的有4种结果，
∴两次取出的数字之和是奇数的概率为49，
故答案为：49．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
15.【答案】200+200(1+x)+200(1+x)2=1000
【解析】解：二月份的营业额为200×(1+x)，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，
为200×(1+x)×(1+x)，则列出的方程是200+200(1+x)+200(1+x)2=1000．
可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×(1+增长率)=三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000，把相应数值代入即可求解．
考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．
16.【答案】245
【解析】解：设AC与BD的交点为O，连接OP，如图所示：
∵矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=48，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，∠ABC=90°，
∴OB=OC=12AC，AC= AB2+BC2=10，
∴S△BOC=14S矩形ABCD=12，OB=OC=5，
∴S△BOC=S△BOP+S△COP=12OB⋅PE+12OC⋅PF=12OB(PE+PF)=12×5×(PE+PF)=12，
∴PE+PF=245，
故答案为：245．
首先连接OP.由矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，可求得OB=OC=5，S△AOD=14S矩形ABCD=12，然后由S△BOC=S△BOP+S△COP=12OB(PE+PF)=12，即可求得答案．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17.【答案】(4,6)，(8−2 7,6)，(2 7,6)
【解析】解：当M为顶点时，AB长为底=8，M在DC中点上，
所以M的坐标为(4,6)，
当B为顶点时，AB长为腰=8，M在靠近D处，根据勾股定理可知ME= 82−62=2 7
所以M的坐标为(8−2 7,6)；
当A为顶点时，AB长为腰=8，M在靠近C处，根据勾股定理可知MF= 82−62=2 7
所以M的坐标为(2 7,6)；
综上所述，M的坐标为(4,6)，(8−2 7,6)，(2 7,6)；
故答案为：(4,6)，(8−2 7,6)，(2 7,6)．
分别取三个点作为定点，然后根据勾股定理和等腰三角形的两个腰相等来判断是否存在符合题意的M的坐标．
本题主要考查矩形的性质，关键是根据对等腰三角形性质的掌握和勾股定理的应用．
18.【答案】解：(1)∵x2−6x=3，
∴x2−6x+9=3+9，即(x−3)2=12，
则x−3=±2 3，
∴x=3±2 3；
(2)∵5(x−7)2−4(x−7)=0，
∴(x−7)(5x−39)=0，
则x−7=0或5x−39=0，
解得x=7或x=395．
【解析】(1)利用配方法求解可得；
(2)利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD．
∵S菱形ABCD=BC⋅AE=CD⋅AF，
∴AE=AF．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=10．
∵CE=4，
∴BE=6，
∴AE= AB2−BE2=8，
∴S菱形ABCD=BC⋅AE=10×8=80．
【解析】(1)首先根据菱形的性质得到AB=AD，∠B=∠D，再利用AAS证明△ABE≌△ADF，于是得到AE=AF；
(2)根据菱形的面积公式解答即可．
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四边相等，此题难度不大．
20.【答案】解：(1)∵△=(m+6)2−4(3m+9)=m2+12m+36−12m−36=m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
(2)动点P(m,n)所形成的函数图象经过点A(4,5)；
理由：
∵x1+x2=m+6，n=x1+x2−5，
∴n=m+1，
∵当m=4时，n=5，
∴动点P(m,n)所形成的函数图象经过点A(4,5)．
【解析】(1)先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根即可得出答案．
(2)根据x1+x2=−ba和n=x1+x2−5，表示出n，再把点A(4,5)代入，即可得出答案．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根．
21.【答案】解：(1)画树状图为：
(2)由树状图知，共有10种等可能的结果数，其中从开始进入的出入口离开的结果数为2，
所以小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率=210=15；
(2)125×0.8×3−125×0.2×4=200，
所以估计游戏设计者可赚200元．
【解析】(1)画树状图展示所有10种等可能的结果数；
(2)找出从开始进入的出入口离开的结果数，然后根据概率公式求解；
(2)利用125×3×0.8减去125×0.2×4可估计游戏设计者可赚的钱．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
22.【答案】解：(1)①设每千克茶叶降价x元，则每千克的销售利润为(400−x−240)元，平均每周可售出(200+x10×40)千克，
根据题意得：(400−x−240)(200+x10×40)=41600，
整理得：x2−110x+2400=0，
解得：x1=30，x2=80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元；
②∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克茶叶应降价80元．
又∵400−80400×10=8，
∴该店应按原售价的8折出售；
(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元，
设每千克茶叶降价y元，则每千克的销售利润为(400−y−240)元，平均每周可售出(200+y10×40)千克，
根据题意得：(400−y−240)(200+y10×40)=50000，
整理得：y2−110y+4500=0，
∵Δ=(−110)2−4×1×4500=−5900<0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
【解析】(1)①设每千克茶叶降价x元，则每千克的销售利润为(400−x−240)元，平均每周可售出(200+x10×40)千克，利用总利润=每千克的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
②由要尽可能让利于顾客，可得出每千克茶叶应降价80元，再利用折扣=降价后的价格原售价×10，即可求出结论；
(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，假设该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元，设每千克茶叶降价y元，则每千克的销售利润为(400−y−240)元，平均每周可售出(200+y10×40)千克，利用总利润=每千克的销售利润×每周的销售量，可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=−5900<0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及根的判别式，解题的关键是：(1)①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②根据各数量之间的关系，列式计算；(2)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
23.【答案】有三个角是直角的四边形为矩形 有一组邻边相等的矩形是正方形
【解析】(1)【问题解决】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF是矩形(有三个角是直角的四边形为矩形)，
由折叠的性质得：AB=AF，
∴四边形ABEF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，
故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)【问题拓展】
①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
由折叠的性质得：AF=AB，∠BAE=∠FAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AF=AB，
∴平行四边形ABEF是菱形；
②解：如图2，∵四边形ABEF是菱形，AE=5，BF=10，
∴S菱形ABEF=12AE⋅BF=12×5×10=25．
(1)【问题解决】由矩形的性质得∠BAD=∠B=90°，再由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，则四边形ABEF是矩形，然后由AB=AF，即可得出结论；
(2)【问题拓展】①由平行四边形的性质得AD//BC，则∠FAE=∠BEA，再证AB=BE，则AF=BE，得四边形ABEF是平行四边形，然后由AF=AB即可得出结论；②由菱形面积公式得S菱形ABEF=12AE⋅BF，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)AE=EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF=BF=BE=CE，
∴∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AFE=∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP=90°，
∴∠AEB+∠PEC=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠PEC=∠BAE，
在△AFE和△ECP中
∠AFE=∠ECP AF=EC∠FAE=∠CEP
∴△AFE≌△ECP(ASA)，
∴AE=EP；
(2)在AB上取AF=EC，连接EF，
由(1)同理可得∠CEP=∠FAE，
∵AF=EC，AE=EP，
在△FAE和△CEP中
AF=EC∠FAE=∠CEPAE=EP
∴△FAE≌△CEP(SAS)，
∴∠ECP=∠AFE，
∵AF=EC，AB=BC，
∴BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∴∠ECP=135°，
∴∠DCP=45°，
(3)作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由(2)知，∠DCP=45°，
∴∠CDG=45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB=4，
∴BG=8，
由勾股定理得AG=4 5，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG=4+4 5．
【解析】(1)取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC=∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE=EP；
(2)在AB上取AF=EC，连接EF，由(1)同理可得∠CEP=∠FAE，则△FAE≌△CEP(SAS)，再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；
(3)作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)4a2−200a+2400；
(2)当通道所占面积是整个长方形空地面积的38，即花圃所占面积是整个长方形空地面积的58，则
4a2−200a+2400=60×40×58，
解方程得：a1=5，a2=45(不符合题意，舍去)
即此时通道宽为5米；
(3)当a=10时，花圃面积为(60−2×10)×(40−2×10)=800(平方米)
即此时花圃面积最少为800(平方米)．
根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，
将点(1200,48000)，(800,48000)，(1200,62000)代入，则有
1200m=48000，解得：m=40
∴y1=40x且有800k+b=480001200k+b=62000，
解得：k=35b=20000，
∴y2=35x+20000．
∵花圃面积为：(40−2a)(60−2a)=4a2−200a+2400，
∴通道面积为：2400−(4a2−200a+2400)=−4a2+200a
∴35(4a2−200a+2400)+20000+40(−4a2+200a)=105920
解得a1=2，a2=48(舍去)．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
【解析】【分析】
(1)用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
(2)根据通道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可；
(3)根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据修建的通道和花圃的总造价为105920元列出关于a的方程，通过解方程求得a的值．
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
【解答】
解：(1)由图可知，花圃的面积为(40−2a)(60−2a)=4a2−200a+2400．
故答案是：4a2−200a+2400；
(2)见答案．
(3)见答案．