2024年中考数学压轴题专项练习—费马点

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A．B．C．6D．
2．（2022秋•大冶市期末）如图，是等边三角形外一点，连接，，，已知，，则当线段的长度最小时，
① ；
②的最小值是 ．
3．（2022秋•洪山区校级期中）如图，以等边的一边为底边作等腰，已知，，且，在内有一动点，则的最小值为 ．
4．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，，为的费马点，则 ；若，，，为的费马点，则 ．
5．（2020•荷塘区模拟）在中，若其内部的点满足，则称为的费马点．如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，，则的面积为 ．
6．（2020•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．
7．（2023春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别是轴，轴正半轴上的点，且，是等边三角形，且点在第二象限，为平分线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．
（1）求证：；
（2）若点坐标为；
①当的值最小时，请直接写出点的坐标；
②当的值最小时，求出点的坐标，并说明理由．
8．（2013•路南区一模）已知抛物线的对称轴为，与交于点，与轴负半轴交于点，作平行四边形并将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．
（1）求抛物线的解析式和点、的坐标；
（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分△的周长；
（3）若点为内一点，直接写出的最小值（结果可以不化简）以及直线的解析式．
9．（2012秋•汉阳区期中）（1）阅读证明
①如图1，在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．
②如图2，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆；
第二步：在上取一点，连接，，，．易知 ；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段 的长度即为的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄，，构成了如图4所示的（其中，，均小于，现选取一点打水井，使水井到三村庄，，所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
10．（2012•遵义模拟）如图1，是锐角所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点．
（1）当是边长为4的等边三角形时，费马点到边的距离为 ．
（2）若点是的费马点，，，，则的值为 ．
（3）如图2，在锐角外侧作等边，连接．求证：过的费马点．
11．（2022春•兰溪市校级月考）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】
（1）如图1，在等腰中，，为边上的高，已知上一点满足，，求 ；
【尝试应用】
（2）如图2，等边三角形边长为，为高线上的点，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，连接，请你在此基础上继续探究求出等边三角形的“最近值”；
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，过的中点作垂线交的延长线于点，连接、，已知，，求三角形 “最近值”的平方．
12．（2022春•周村区期末）如图①，为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）如果点为锐角三角形的费马点，且．
①求证：；
②若，，求的长．
（2）已知锐角三角形，分别以、为边向外作正三角形和正三角形，和相交于点，连结，如图②．
①求的度数；
②求证：点为的费马点．
13．（2021•雁塔区校级模拟）【问题情境】
如图1，在中，，，，则的外接圆的半径值为 ．
【问题解决】
如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．
【问题解决】
如图3，正方形是一个边长为的隔离区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动岗哨，到、的张角为，即，点、为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个岗哨的距离和最小，试求的最小值．（保留根号或结果精确到，参考数据，．
14．（2021•山西模拟）阅读下列材料，完成后面相应的任务：
费马，1601年8月17日年1月12日），生于法国南部图卢兹附近的波蒙德罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，（三个内角均小于的三条边的张角都等于，即满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点，后来人们把这个点称为“费马点”．
下面是“费马点”的证明过程：如图2，将绕着点逆时针旋转得到△，使得落在外，则△为等边三角形，，于是，．
任务：（1）材料中，判定△为等边三角形的依据是 ．
（2）请你完成剩余的部分．
（3）如图，为锐角三角形，以为一边作等边，是的外接圆，连接交于点，求证：是的费马点．
15．（2014秋•厦门期中）如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
如图（2），在锐角外侧作等边连接．
求证：过的费马点，且．
16．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点．
（1）如图1，在菱形中，，点是上的类费马点
①为的中点，为的中点，则 ．
②为上一动点，为上一动点，且，则 ．
（2）如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小），①当时， ．
②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值．
17．（2023春•渠县校级期末）如图1，、、是等边三角形中不共线三点，连接、、，三条线段两两分别相交于、、．已知，．
（1）证明：；
（2）如图2，点是上一点，连接，以为边向右作，连接．若，，，证明：．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点与点重合时，若，，请问在内部是否存在点使得到三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．
18．（2017秋•资中县期末）如图①，点为锐角三角形内任意一点，连接、、．以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若的值最小，则称点为的费马点．若点为的费马点，试求此时、、的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以的、为一边向外作等边和等边，连接、，设交点为，则点即为的费马点．试说明这种作法的依据．
19．（2018•温岭市模拟）（1）知识储备
①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．
②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：
如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的长度即为的费马距离．
②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打，错误的打
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ．
②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的
边长．
20．（2018秋•沙坪坝区校级期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过点，与抛物线交于另一点，已知，．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点是轴下方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交抛物线于点，过点作轴于点，为直线上一点，且，点为第四象限内一点，且在直线上方，连接、、，记，，当取得最大值时，求出点的坐标，并求出此时的最小值．
（3）如图2，将点沿直线方向平移13个长度单位到点，过点作轴，交抛物线于点，动点为轴上一点，连接、，再将沿直线翻折为（点、、、在同一平面内），连接、、，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
21．（2018•山西模拟）皮埃尔德费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论．
定义：若一个三角形的最大内角小于，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为，此时该点叫做这个三角形的费马点．例如，如图1，点是的费马点．
请结合阅读材料，解决下列问题：
已知：如图2，锐角．
（1）尺规作图，并标明字母．
①在外，以为一边作等边．
②作的外接圆．
③连接交于点．
（2）求证：（1）中的点是的费马点．22．（2017秋•邗江区期末）背景资料：
在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．
如图①，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时，此时，的值最小．
解决问题：
（1）如图②，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ；
基本运用：
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
如图③，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明；
能力提升：
（3）如图④，在中，，，，点为的费马点，连接，，，求的值．
23．（2013春•安徽月考）如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）如点为锐角的费马点．且，，，求的长．
（2）如图（2），在锐角外侧作等边连接．求证：过的费马点，且．
（3）已知锐角，，分别以三边为边向形外作等边三角形，，，请找出的费马点，并探究与的和，与的和是否相等．
24．（2012•宝坻区二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点在的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；
（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值，以及取得最小值时，线段的长．
25．（2010•鄞州区模拟）如图是所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点．
（1）当是等边三角形时，作尺规法作出费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）
（2）已知：是等腰直角三角形，，．四边形是正方形，在上，在上，是的费马点．求：点到的距离．
（3）已知：锐角，分别以，为边向外作正和正，和相交于点．
①求的度数；
②求证：点为的费马点．
26．（2009•湖州）自选题：若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
（1）若点为锐角的费马点，且，，，则的值为 ；
（2）如图，在锐角外侧作等边连接．求证：过的费马点，且．
27．已知中，，，，是内一点，求的最小值．