福建省四校2024届高三下学期返校联考数学试卷(含答案)

这是一份福建省四校2024届高三下学期返校联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数是纯虚数,则实数( )
A.B.C.D.
3．在中,D是线段BC上一点,满足,M是线段AD的中点,设,则( )
A.B.C.D.
4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为22,且当训练迭代轮数为22时,学习率衰减为0.45,则学习率衰减到0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为( )
（参考数据：）
A.11B.22C.227D.481
5．已知椭圆的左右焦点为,,P为椭圆C上一点,,则的面积为( )
A.B.1C.3D.
6．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a,b,c成等差数列,则( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的左右顶点为A,B,点P,Q均在C上,且关于x轴对称.若直线AP,BQ的斜率之积为,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知正数a,b,c满足,e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知A,B是直线与函数图象的两个相邻交点,若,则的值可能是( )
A.2B.4C.8D.10
10．在正方体中,,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点,则( )
A.存在唯一点P,使得
B.存在唯一点P,使得直线与平面ABCD所成的角取到最小值
C.若,则三棱锥外接球的表面积为
D.若异面直线与所成的角为,则动点P的轨迹是抛物线的一部分
11．学校食堂每天中午都会提供A,B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种）,经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率也是,如此反复.记某同学第n天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为.一个月（30天）后,记甲乙丙三位同学选择B套餐的人数为X,则下列说法中正确的是( )
A.B.数列是等比数列
C.D.
三、填空题
12．已知圆,直线,圆上恰好有两个点到直线l的距离等于1.则符合条件的实数b可以为_______________.（只需写出一个满足条件的实数即可）
13．梯形ABCD中,,,,分别以AB,BC,AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为________________.
14．若过点可以作曲线的两条切线,则实数a的取值范围为_______________.
四、解答题
15．如图为一块直四棱柱木料,其底面ABCD满足：,.
（1）要经过平面内的一点P和棱将木料锯开,在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图,并写出作图说明,无需证明）
（2）若,,当点P在点C处时,求直线AP与平面所成角的正弦值.
16．如图,在数轴上,一个质点在外力的作用下,从原点O出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,质点到达位置的数字记为X.
（1）若该质点共移动2次,位于原点O的概率.
（2）若该质点共移动6次,求该质点到达数字X的分布列和数学期望.
17．有个正数,排成n行n列的数表：
,
其中表示位于第i行,第j列的数.数表中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等.已知,,.
（1）求公比.
（2）求.
18．已知抛物线经过点.
（1）求抛物线C的方程及其准线方程.
（2）设O为原点,直线与抛物线C交于M,N（异于P）两点,过点M垂直于x轴的直线交直线OP于点T,点H满足.证明：直线HN过定点.
19．已知函数,.
（1）证明：对任意的,都有.
（2）若关于x的方程有两个不等实根,,证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：由,得或,
所以或,
由,得,
所以,
所以.
2．答案：C
解析：,
则,
有.
3．答案：B
解析：因为D是线段BC上一点,满足,
所以,
又M是线段AD的中点,所以,
所以,
所以,,
故.
4．答案：D
解析：由于,所以,
依题意,则,
由得,,
,
,
所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.
5．答案：A
解析：P为短轴上的顶点.
6．答案：A
解析：因为,所以.
又因为a,b,c成等差数列,则.
根据正弦定理可得：,即,
展开得：,
进一步得：,
因为,可得,
又易知A为锐角,所以,则,故A正确.
7．答案：C
解析：设,
则,,,.
8．答案：B
解析：由题设,则,且,,则,
令且,故,
令,则在上递增,故,
所以在上递增,故,
所以在上递增,故,
即在上恒成立,故,A错,
B对；对于ac,的大小关系,令且,
而,
显然在上函数符号有正有负,故,的大小在上不确定,
即ac,的大小在上不确定,所以C、D错.
9．答案：AD
解析：设函数的最小正周期为T,则或者,
即或,解得或,
10．答案：BCD
解析：对于A选项：正方形中,有,
正方体中有平面,平面,,
又,,平面,平面,
只要平面,就有,P在线段AB上,有无数个点,A选项错误；
对于B选项：平面ABCD,直线与平面ABCD所成的角为,,取到最小值时,PD最大,此时点P与点B重合,B选项正确；
对于C选项：若,则P为DB中点,为等腰直角三角形,外接圆半径为,
三棱锥外接球的球心到平面PBC的距离为,则外接球的半径为,
所以三棱锥外接球的表面积为,C选项正确；
对于D选项：以D为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,
则有,,
有,
化简得,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点,所以P的轨迹是抛物线的一部分,D选项正确.
11．答案：ABD
解析：由于每人每次只能选择A,B两种套餐中的一种,所以,所以A正确,
依题意,,则,
又时,,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,
所以,,
当时,,所以,,.
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：如下图所示：
由题意可知,四边形ABCD是直角梯形,且AB为直角腰,,.
①若以AB为轴旋转一周,则形成的几何体为圆台,且圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为1,
几何体的体积为；
②若以BC为轴旋转一周,则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的几何体,且圆柱、圆锥的底面半径均为1,高均为1,几何体的体积为；
③若以AD为轴旋转一周,则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何体,
圆柱的底面半径为1,高为2,圆锥的底面半径与高均为1,
几何体的体积为.
因为,因此,分别以AB,BC,AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为.
14．答案：
解析：曲线有渐近线,且与x轴交于点.
结合图像可知,点应位于A与渐近线之间,
故有,解得：.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）过点P作直线,分别交CD,于E,F,连接BE,.
（2）以,AB,AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则,,,,,
,,
设平面的法向量为,则,
取.
设直线AP与平面所成角为,,
所以直线AP与平面所成角的正弦值为.
16．答案：（1）
（2）0
解析：（1）质点移动2次,可能结果共有种,
若质点位于原点O,则质点需要向左、右各移动一次,共有种,
故质点位于原点O的概率.
（2）质点每次移动向左或向右,设事件A为“向右”,则为“向左”.
故,
设Y表示6次移动中向左移动的次数,则,质点到达的数字,
所以,
,
,
,
,
,
,
所以X的分布列为：
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）第4行公差为,.
由已知：,所以.又每个数都是正数,所以.
（2）因为,所以是首项为,公差为的等差数列.故.
因为每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,所以.
故,设的前n项和为,
①,
②,
①-②得
.
所以.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由已知,,所以.
抛物线,准线方程为.
（2）由,消去x,得.
设,,则,,且,,
直线OP方程为：.所以.
又,则T为MH中点,所以.
所以.
令,则.
又.
所以直线HN过定点O.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）令,.
则,.
又当时,,所以在上单调递增.
所以当时,,当时,.
所以.故对任意的,都有.
（2）,当时,单调递减,
当时,单调递增.
又,,,所以.
设函数的图象与直线的交点的横坐标分别为和.
不妨设,,则,所以.
又方程可化为,其两根为和,
所以.
所以.
故.
当时,,函数图像在直线的下方.
当时,令,
则.
所以在上递减,在上递增.
又.所以当时,.
故,函数图像在直线的下方.
直线与直线的交点横坐标分别为,与直线交点的横坐标为,
则,.
所以.
综上,.
X
-6
-4
-2
0
2
4
6
P