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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样优秀课时训练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样优秀课时训练，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.高二年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.则下列论述错误的是( )
A. 抽若各层按比例分配取样本量为100的样本，可以用49100×170.2+51100×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值
B. 若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，可以用30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm)来估计总体均值
C. 若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总样本的均值为30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm)
D. 如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，无法计算出总样本的均值和方差
2.我市某中学有高中生1500人，初中生3500人，为了解学生对学校食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从初中生中抽取35人，则n为
( )
A. 200B. 150C. 100D. 50
3.某学校数学、物理、化学老师的人数分别为12，8，8，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查，应从数学教师中抽取人数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
4.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2;女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2.下列结论中正确的是
( )
A. 样本中男生的层权为25B. 每个女生被抽到的概率均为25
C. 所有样本的均值为166cmD. 所有样本的方差为22.2cm2
5.下列抽样实验中，适合用抽签法的是( )
A. 从某工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
B. 从某工厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
C. 从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D. 从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
6.①学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分．现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．就这三件事，合适的抽样方法为
( )
A. 分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B. 系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C. 分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D. 系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
7.某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则n=．( )
A. 18B. 21C. 24D. 27
8.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )
A. 9B. 18C. 27D. 36
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2.下列说法中正确的是
( )
A. 男生样本容量为30B. 每个女生被抽入到样本的概率均为25
C. 所有样本的均值为166cmD. 所有样本的方差为46.2cm2
10.某中学高一年级有20个班，每班50人;高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.为了解该中学高一、高二年级学生的视力情况，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有
( )
A. 该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
B. 应该采用分层随机抽样
C. 高一、高二年级应分别抽取100人和135人
D. 乙被抽到的可能性比甲大
11.为了了解我市15000名学生的视力情况，抽查了解1000名学生的视力进行统计分析，下列四个判断正确的是
( )
A. 15000名学生是总体B. 样本容量是1000
C. 每名学生是总体的一个样本D. 1000名学生的视力是总体的一个样本
12.下列命题中是真命题的有( )
A. 有A，B，C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
B. 一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的 85%分位数为5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某公司生产三种型号汽车，A型汽车200辆、B型汽车400辆、C型汽车1400辆．为检验该公司的产品质量，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取B型汽车 辆．
14.某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为 ．
15.下列四个命题
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；
②从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本，现采用系统抽样的方法应先剔除8人，则每个个体被抽到的概率均为120；
③从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数x的估计值为ma+nb+pcm+n+p；
④某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是007．
其中真命题的个数是_________．
16.某单位对全体职工的某项指标进行调查.现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4;女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中进行问卷调查，如果要在所有问卷中抽出120份用于评估．
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，若采用简单随机抽样，则应如何操作？
18.(本小题12分)
在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有800名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从800名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将800名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为000−799．
(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以第2行的第18列的数字9为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
(2)求出(1)中抽取的样本编号对应的数的极差与中位数；
(3)若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计800名考生的选做题得分的平均数与方差．
19.(本小题12分)
①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90∼119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”.上述两件事，合适的抽样方法分别为( )
A. 分层抽样，简单随机抽样B. 简单随机抽样，分层抽样
C. 简单随机抽样，简单随机抽样D. 分层抽样，分层抽样
20.(本小题12分)
某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01∼80的80名观众中随机抽取10人进行答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分．
(1)若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两个数字，求抽取的第6名观众的编号;
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643
8426349164 8442175331 5724550688 7704744767
(2)某期节目的10名答题选手中，有6人选科技类题目，4人选文艺类题目，其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53;选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了分层抽样，样本均值的计算，属于中档题．
利用分层抽样判断A正确；利用抽取的男生、女生的样本容量以及总样本的均值公式判断CD正确，B错误．
【解答】
解：因为高二年级有男生490人，女生510人，若各层按比例分配取样本量为100的样本，可以用49100×170.2+51100×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值，故A正确；
若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总样本的均值为30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm)，故C正确，B错误；
如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，无法确定男生、女生的人数，无法计算出总样本的均值和方差，故D正确．
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】由分层抽样概念可得答案．
解：因初中生抽取35人，则高中生抽取 1500×353500=15 人，则一共抽取50人．
故选：D
3.【答案】B
【解析】【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案．
解：依题意，应从数学教师中抽取人数为 7×1212+8+8=3 人．
故选：B
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了概率的运算，方差，均值等知识，属于中档题．
由概率的运算，方差，均值公式可分析各选项可得答案．
【解答】
解：男生层权为300500=35，故选项A错误；
每个学生入样的概率均为50500=110，故选项B错误；
记男生样本为y1,y2,⋯,y30，均值为y，方差为s男2；
女生样本为z1,z2,⋯,z20，均值为z，方差为s女2；
所有样本均值为x，方差为s2，则
x=i=130yi+j=120zj50=30y+20z50=35y+25z=166 cm,
s2=150[i=130(yi−x)2+j=120(zj−x)2]
=150[i=130(yi−y+y−x)2+j=120(zj−z+z−x)2]
=150[i=130(yi−y)2+30(y−x)2+2i=130(yi−y)(y−x)
+j=120(zj−z)2+20(z−x)2+2j=120(zj−z)(z−x)]
=35s男2+35(y−x)2+25s女2+25(z−x)2
=46.2cm2
故选项C正确，选项D错误．
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查收集数据的方法，考查系统抽样，分层抽样，简单随机抽样的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样．
【解答】
解：总体和样本容量都不大，采用抽签法．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：①是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差异，故用系统抽样，
②是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用分层抽样，
③是六名运动员选跑道，用简单随机抽样，
故选D．
分析三个事件的特点，①是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差异，故用系统抽样，②是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用分层抽样，③是六名运动员选跑道，用简单随机抽样．
本题考查收集数据的方法，本题解题的关键是看清各个抽样的特点，从总体数的多少和样本容量的多少两个方面和总体中的个体有没有差异．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分层随机抽样，属于较易题．
由题意可求得分层随机抽样的抽样比为15，进而可求解．
【解答】
解：从60台甲品牌空调中抽取了12台，
所以分层随机抽样的抽样比为1260=15．
所以n=(60+45+30)×15=27．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题是一个分层随机抽样问题，属于中档题．
根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的可能性，再乘以老年职工的个数，得到结果．
【解答】
解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，
∵x+2x+160=430，
∴x=90，
即由比例可得该单位老年职工共有90人，
∵在抽取的样本中有青年职工32人，
∴每个个体被抽到的可能性是32160=15，
用分层随机抽样的比例分配应抽取15×90=18人．
故选：B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了概率的运算，方差，均值等知识，
由概率的运算，方差，均值公式可分析各选项可得答案．
【解答】
解：男生样本量为300×50500=30，故选项A正确；
每个学生入样的概率均为50500=110，故选项B错误；
记男生样本为y1,y2,⋯,y30，均值为y，方差为s男2；
女生样本为z1,z2,⋯,z20，均值为z，方差为s女2；
所有样本均值为x，方差为s2，则
x=i=130yi+j=120zj50=30y+20z50=35y+25z=166 cm,
s2=150[i=130(yi−x)2+j=120(zj−x)2]
=150[i=130(yi−y+y−x)2+j=120(zj−z+z−x)2]
=150[i=130(yi−y)2+30(y−x)2+2i=130(yi−y)(y−x)
+j=120(zj−z)2+20(z−x)2+2j=120(zj−z)(z−x)]
=35s男2+35(y−x)2+25s女2+25(z−x)2
=46.2cm2
故选项C正确，选项D正确．
故本题选ACD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了分层抽样，为中档题．
由分层抽样概念对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】
解：A.该问题中的总体是高一、高二年级全体学生的视力情况，故A正确；
B.从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，应该采用分层抽样法，故B正确；
C.抽样比为 235 20×50+30×45 = 110 ，
∴高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故C正确；
D.甲、乙被抽到的可能性都是110，故D不正确．
故选：ABC．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了总体、样本、样本容量的概念，属于基础题．
根据总体、样本、样本容量的概念，直接判断即可．
【解答】
解：根据题意得，
15000名学生的视力情况是总体，故A错误；
样本容量是1000，故B正确；
每名学生的视力是总体的一个个体，故C错误；
1000名学生的视力是总体的一个样本，故D正确．
故选BD．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了分层抽样，众数、中位数、平均数，方差，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意对各选项依次分析求解即可得．
【解答】
解：A.样本容量为9÷36=18，故A错误，
B.数据1、2、3、3、4、5的平均数为161+2+3+3+4+5=3，众数、中位数都是3，故B正确；
C.甲组数据的方差为5，乙组数据的平均数为5+6+9+10+55=7，
方差为155−72+6−72+9−72+10−72+5−72=4+1+4+9+45=4.4
所以乙的方差小于甲的方差，所以乙稳定，故C错误；
D.将数据按从小到大顺序排列，则1，2，2，2，3，3，3，4，5，6一共10个数，
10×85%=8.5，8.5不是整数，
则第9项5是第85百分位数，故D正确；
故选BD．
13.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样，属于基础题．
求出抽样比，利用分层随机抽样方法得出结果．
【解答】
解：∵抽样比为 100200+400+1400=120 ，
∴应抽取B型汽车 400×120=20 辆．
故答案为：20．
14.【答案】52
【解析】【分析】
本题考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用分层抽样的性质直接求解．
【解答】
解：由分层抽样的性质得：
女生应该抽取：100×1000−4801000=52(人)．
故答案为52．
15.【答案】3
【解析】【分析】本题考查分层抽样，系统抽样，属于基础题型，逐项判断即可；
【解答】解：对于①，由于样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度，故①正确；
对于②，根据系统抽样为等概率抽样可得每个个体被抽到的概率均为1002008=25502，故②错误；
对于③，从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数x的估计值为ma+nb+pcm+n+p，故③正确；
对于④，某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查，则样本间隔为800÷50=16，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503.设在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是x，则有503=16×31+x，解得x=7，所以在第1小组中抽到的学生编号是007，故④正确．
综上①③④为真命题．
16.【答案】3.56
【解析】【分析】
本题考查平均数和方差的基本知识，处理对数据分析的基本思路，属于中档题．
解本题时，明确平均数和方差的基本概念，即可解决．
【解答】
解：设男职工指标分别为x1，x2，x3，⋯⋯x20，女职工指标分别为x21，x22，x23，x24，x25，
则本次调查的总样本的平均数是
x=125×(x1+x2+x3+⋯⋯+x25)=125×(20×7+5×8)=7.2，
本次调查的总样本的方差是
s2=125×[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋯+(x23−x)2+(x24−x)2+(x25−x)2]
=125×[(x1−7+7−7.2)2+(x2−7+7−7.2)2
+(x3−7+7−7.2)2+⋯+(x20−7+7−7.2)2
+(x21−8+8−7.2)2+(x22−8+8−7.2)2+⋯+(x25−8+8−7.2)2]
=125×[(x1−7)2+(x2−7)2+(x3−7)2+⋯+(x20−7)2
+(x21−8)2+(x22−8)2+⋯+(x25−8)2+20×(7−7.2)2+5×(8−7.2)2]
=125×[20×4+5×1+20×(7−7.2)2+5×(8−7.2)2]
=3.56．
17.【答案】解：(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层随机抽样的方法进行抽样．
因为样本容量为120，总体容量为500+3000+4000=7500，
则抽样比为1207 500=2125，
所以500×2125=8，3000×2125=48，4000×2125=64，
故在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64．
分层随机抽样的步骤：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；
②根据抽样比确定每层抽取问卷的数目，在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
(2)简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法，
如果用抽签法，要做3000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，
步骤是：第一步，将3000份问卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000；
第二步，用随机数工具产生1～3 000范围内的随机数；
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的问卷进入样本；
第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量．
【解析】本题主要考查分层随机抽样，简单随机抽样，属于中档题．
(1)样本容量为120，总体容量为7500，得出在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64，结合分层随机抽样的步骤解答即可；
(2)简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法，如果用抽签法，要做3000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，结合随机数法的步骤解答即可．
18.【答案】解：(1)根据题意，读出的编号依次是：
964(超界)，617，162，991(超界)，506，512，916(超界)，935(超界)，805(超界)，770，951(超界)，512(重复)，687，858(超界)，554，876(超界)，647，547，332，故抽取的样本编号为617，162，506，512，770，687，554，647，547，332．
(2)将(1)中有效的编号从小到大排列，得162，332，506，512，547，554，617，647，687，770，所以(1)中抽取的样本编号对应的数的极差为770−162=608，中位数为547+5542=550.5．
(3)记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8；
2个B题目成绩分别为y1，y2，
由题意可知i=18xi=8×7=56，i=18(xi−7)2=8×4=32，i=12yi=16，i=12(yi−8)2=2×1=2，
故样本平均数为x=18+2×(i=18xi+i=12yi)=110×(56+16)=7.2，
样本方差为
s2=18+2×[i=18(xi−7.2)2+i=12(yi−7.2)2]
=110×{i=18[(xi−7)−0.2]2+i=12[(yi−8)+0.8]2}
=110×[i=18(xi−7)2−0.4×i=18(xi−7)+8×0.22+i=12(yi−8)2+1.6×i=12(yi−8)+2×0.82]
=110×(32−0+0.32+2+0+1.28)=3.56．
所以估计该校800名考生的选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．
【解析】本题考查随机数表法抽样、分层抽样及用样本估计总体，属中档题．
(1)根据随机数表法，依次读出样本编号即可；
(2)将(1)中有效的编号从小到大排列，即可得到其极差和中位数；
(3)记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，x3，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2.由题意通过平均数和方差公式计算，并估计该校800名学生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．
19.【答案】A
【解析】【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特征和使用条件即可作出判断．
解：①由于学生的成绩是差异比较大的几部分，应用分层抽样．②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．
故选：A
20.【答案】(1)根据题意，读取的编号依次是20，96(超界)，43，84(超界)，26，34，91(超界)，64，84(超界)，42，17，⋯，所以抽取的第6名观众的编号为42．
(2)记选择科技类题目的6人的得分分别为x1，x2，⋯，x6，选择文艺类题目的4人的得分分别为y1，y2，y3，y4，
由题意知，x1+x2+⋯+x6=6×7=42，(x1−7)2+(x2−7)2+⋯+(x6−7)2=6×53=10，
y1+y2+y3+y4=4×8=32，(y1−8)2+(y2−8)2+(y3−8)2+ (y4−8)2=4×52=10，
所以这10名答题选手得分的平均数为x1+x2+⋯+x6+y1+y2+y3+y410= 42+3210=7.4，
方差为110×[(x1−7.4)2+(x2−7.4)2+⋯+(x6−7.4)2+ (y1−7.4)2+(y2−7.4)2+(y3−7.4)2+(y4−7.4)2]
=110× {i=16[(xi−7)−0.4]2+i=14[(yi−8)+0.6]2}
=110×[i=16(xi−7)2−0.8×i=16(xi−7)+6×0.42+i=14(yi−8)2+1.2×i=14(yi−8)+4×0.62]
= 110×(10−0+0.96+10+0+1.44)=2.24．
【解析】略
1.高二年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.则下列论述错误的是( )
A. 抽若各层按比例分配取样本量为100的样本，可以用49100×170.2+51100×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值
B. 若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，可以用30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm)来估计总体均值
C. 若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总样本的均值为30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm)
D. 如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，无法计算出总样本的均值和方差
2.我市某中学有高中生1500人，初中生3500人，为了解学生对学校食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从初中生中抽取35人，则n为
( )
A. 200B. 150C. 100D. 50
3.某学校数学、物理、化学老师的人数分别为12，8，8，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查，应从数学教师中抽取人数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
4.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2;女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2.下列结论中正确的是
( )
A. 样本中男生的层权为25B. 每个女生被抽到的概率均为25
C. 所有样本的均值为166cmD. 所有样本的方差为22.2cm2
5.下列抽样实验中，适合用抽签法的是( )
A. 从某工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
B. 从某工厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
C. 从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D. 从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
6.①学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分．现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．就这三件事，合适的抽样方法为
( )
A. 分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B. 系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C. 分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D. 系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
7.某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则n=．( )
A. 18B. 21C. 24D. 27
8.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )
A. 9B. 18C. 27D. 36
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2.下列说法中正确的是
( )
A. 男生样本容量为30B. 每个女生被抽入到样本的概率均为25
C. 所有样本的均值为166cmD. 所有样本的方差为46.2cm2
10.某中学高一年级有20个班，每班50人;高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.为了解该中学高一、高二年级学生的视力情况，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有
( )
A. 该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
B. 应该采用分层随机抽样
C. 高一、高二年级应分别抽取100人和135人
D. 乙被抽到的可能性比甲大
11.为了了解我市15000名学生的视力情况，抽查了解1000名学生的视力进行统计分析，下列四个判断正确的是
( )
A. 15000名学生是总体B. 样本容量是1000
C. 每名学生是总体的一个样本D. 1000名学生的视力是总体的一个样本
12.下列命题中是真命题的有( )
A. 有A，B，C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
B. 一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的 85%分位数为5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某公司生产三种型号汽车，A型汽车200辆、B型汽车400辆、C型汽车1400辆．为检验该公司的产品质量，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取B型汽车 辆．
14.某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为 ．
15.下列四个命题
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；
②从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本，现采用系统抽样的方法应先剔除8人，则每个个体被抽到的概率均为120；
③从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数x的估计值为ma+nb+pcm+n+p；
④某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是007．
其中真命题的个数是_________．
16.某单位对全体职工的某项指标进行调查.现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4;女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中进行问卷调查，如果要在所有问卷中抽出120份用于评估．
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，若采用简单随机抽样，则应如何操作？
18.(本小题12分)
在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有800名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从800名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将800名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为000−799．
(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以第2行的第18列的数字9为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
(2)求出(1)中抽取的样本编号对应的数的极差与中位数；
(3)若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计800名考生的选做题得分的平均数与方差．
19.(本小题12分)
①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90∼119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”.上述两件事，合适的抽样方法分别为( )
A. 分层抽样，简单随机抽样B. 简单随机抽样，分层抽样
C. 简单随机抽样，简单随机抽样D. 分层抽样，分层抽样
20.(本小题12分)
某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01∼80的80名观众中随机抽取10人进行答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分．
(1)若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两个数字，求抽取的第6名观众的编号;
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643
8426349164 8442175331 5724550688 7704744767
(2)某期节目的10名答题选手中，有6人选科技类题目，4人选文艺类题目，其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53;选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了分层抽样，样本均值的计算，属于中档题．
利用分层抽样判断A正确；利用抽取的男生、女生的样本容量以及总样本的均值公式判断CD正确，B错误．
【解答】
解：因为高二年级有男生490人，女生510人，若各层按比例分配取样本量为100的样本，可以用49100×170.2+51100×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值，故A正确；
若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总样本的均值为30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm)，故C正确，B错误；
如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，无法确定男生、女生的人数，无法计算出总样本的均值和方差，故D正确．
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】由分层抽样概念可得答案．
解：因初中生抽取35人，则高中生抽取 1500×353500=15 人，则一共抽取50人．
故选：D
3.【答案】B
【解析】【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案．
解：依题意，应从数学教师中抽取人数为 7×1212+8+8=3 人．
故选：B
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了概率的运算，方差，均值等知识，属于中档题．
由概率的运算，方差，均值公式可分析各选项可得答案．
【解答】
解：男生层权为300500=35，故选项A错误；
每个学生入样的概率均为50500=110，故选项B错误；
记男生样本为y1,y2,⋯,y30，均值为y，方差为s男2；
女生样本为z1,z2,⋯,z20，均值为z，方差为s女2；
所有样本均值为x，方差为s2，则
x=i=130yi+j=120zj50=30y+20z50=35y+25z=166 cm,
s2=150[i=130(yi−x)2+j=120(zj−x)2]
=150[i=130(yi−y+y−x)2+j=120(zj−z+z−x)2]
=150[i=130(yi−y)2+30(y−x)2+2i=130(yi−y)(y−x)
+j=120(zj−z)2+20(z−x)2+2j=120(zj−z)(z−x)]
=35s男2+35(y−x)2+25s女2+25(z−x)2
=46.2cm2
故选项C正确，选项D错误．
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查收集数据的方法，考查系统抽样，分层抽样，简单随机抽样的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样．
【解答】
解：总体和样本容量都不大，采用抽签法．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：①是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差异，故用系统抽样，
②是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用分层抽样，
③是六名运动员选跑道，用简单随机抽样，
故选D．
分析三个事件的特点，①是从较多的一个总体中抽取样本，且总体之间没有差异，故用系统抽样，②是从不同分数的总体中抽取样本，总体之间的差异比较大，故用分层抽样，③是六名运动员选跑道，用简单随机抽样．
本题考查收集数据的方法，本题解题的关键是看清各个抽样的特点，从总体数的多少和样本容量的多少两个方面和总体中的个体有没有差异．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分层随机抽样，属于较易题．
由题意可求得分层随机抽样的抽样比为15，进而可求解．
【解答】
解：从60台甲品牌空调中抽取了12台，
所以分层随机抽样的抽样比为1260=15．
所以n=(60+45+30)×15=27．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题是一个分层随机抽样问题，属于中档题．
根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的可能性，再乘以老年职工的个数，得到结果．
【解答】
解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，
∵x+2x+160=430，
∴x=90，
即由比例可得该单位老年职工共有90人，
∵在抽取的样本中有青年职工32人，
∴每个个体被抽到的可能性是32160=15，
用分层随机抽样的比例分配应抽取15×90=18人．
故选：B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了概率的运算，方差，均值等知识，
由概率的运算，方差，均值公式可分析各选项可得答案．
【解答】
解：男生样本量为300×50500=30，故选项A正确；
每个学生入样的概率均为50500=110，故选项B错误；
记男生样本为y1,y2,⋯,y30，均值为y，方差为s男2；
女生样本为z1,z2,⋯,z20，均值为z，方差为s女2；
所有样本均值为x，方差为s2，则
x=i=130yi+j=120zj50=30y+20z50=35y+25z=166 cm,
s2=150[i=130(yi−x)2+j=120(zj−x)2]
=150[i=130(yi−y+y−x)2+j=120(zj−z+z−x)2]
=150[i=130(yi−y)2+30(y−x)2+2i=130(yi−y)(y−x)
+j=120(zj−z)2+20(z−x)2+2j=120(zj−z)(z−x)]
=35s男2+35(y−x)2+25s女2+25(z−x)2
=46.2cm2
故选项C正确，选项D正确．
故本题选ACD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了分层抽样，为中档题．
由分层抽样概念对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】
解：A.该问题中的总体是高一、高二年级全体学生的视力情况，故A正确；
B.从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，应该采用分层抽样法，故B正确；
C.抽样比为 235 20×50+30×45 = 110 ，
∴高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故C正确；
D.甲、乙被抽到的可能性都是110，故D不正确．
故选：ABC．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了总体、样本、样本容量的概念，属于基础题．
根据总体、样本、样本容量的概念，直接判断即可．
【解答】
解：根据题意得，
15000名学生的视力情况是总体，故A错误；
样本容量是1000，故B正确；
每名学生的视力是总体的一个个体，故C错误；
1000名学生的视力是总体的一个样本，故D正确．
故选BD．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了分层抽样，众数、中位数、平均数，方差，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据题意对各选项依次分析求解即可得．
【解答】
解：A.样本容量为9÷36=18，故A错误，
B.数据1、2、3、3、4、5的平均数为161+2+3+3+4+5=3，众数、中位数都是3，故B正确；
C.甲组数据的方差为5，乙组数据的平均数为5+6+9+10+55=7，
方差为155−72+6−72+9−72+10−72+5−72=4+1+4+9+45=4.4
所以乙的方差小于甲的方差，所以乙稳定，故C错误；
D.将数据按从小到大顺序排列，则1，2，2，2，3，3，3，4，5，6一共10个数，
10×85%=8.5，8.5不是整数，
则第9项5是第85百分位数，故D正确；
故选BD．
13.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样，属于基础题．
求出抽样比，利用分层随机抽样方法得出结果．
【解答】
解：∵抽样比为 100200+400+1400=120 ，
∴应抽取B型汽车 400×120=20 辆．
故答案为：20．
14.【答案】52
【解析】【分析】
本题考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用分层抽样的性质直接求解．
【解答】
解：由分层抽样的性质得：
女生应该抽取：100×1000−4801000=52(人)．
故答案为52．
15.【答案】3
【解析】【分析】本题考查分层抽样，系统抽样，属于基础题型，逐项判断即可；
【解答】解：对于①，由于样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度，故①正确；
对于②，根据系统抽样为等概率抽样可得每个个体被抽到的概率均为1002008=25502，故②错误；
对于③，从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数x的估计值为ma+nb+pcm+n+p，故③正确；
对于④，某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查，则样本间隔为800÷50=16，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503.设在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是x，则有503=16×31+x，解得x=7，所以在第1小组中抽到的学生编号是007，故④正确．
综上①③④为真命题．
16.【答案】3.56
【解析】【分析】
本题考查平均数和方差的基本知识，处理对数据分析的基本思路，属于中档题．
解本题时，明确平均数和方差的基本概念，即可解决．
【解答】
解：设男职工指标分别为x1，x2，x3，⋯⋯x20，女职工指标分别为x21，x22，x23，x24，x25，
则本次调查的总样本的平均数是
x=125×(x1+x2+x3+⋯⋯+x25)=125×(20×7+5×8)=7.2，
本次调查的总样本的方差是
s2=125×[(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2+⋯+(x23−x)2+(x24−x)2+(x25−x)2]
=125×[(x1−7+7−7.2)2+(x2−7+7−7.2)2
+(x3−7+7−7.2)2+⋯+(x20−7+7−7.2)2
+(x21−8+8−7.2)2+(x22−8+8−7.2)2+⋯+(x25−8+8−7.2)2]
=125×[(x1−7)2+(x2−7)2+(x3−7)2+⋯+(x20−7)2
+(x21−8)2+(x22−8)2+⋯+(x25−8)2+20×(7−7.2)2+5×(8−7.2)2]
=125×[20×4+5×1+20×(7−7.2)2+5×(8−7.2)2]
=3.56．
17.【答案】解：(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层随机抽样的方法进行抽样．
因为样本容量为120，总体容量为500+3000+4000=7500，
则抽样比为1207 500=2125，
所以500×2125=8，3000×2125=48，4000×2125=64，
故在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64．
分层随机抽样的步骤：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；
②根据抽样比确定每层抽取问卷的数目，在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
(2)简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法，
如果用抽签法，要做3000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，
步骤是：第一步，将3000份问卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000；
第二步，用随机数工具产生1～3 000范围内的随机数；
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的问卷进入样本；
第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量．
【解析】本题主要考查分层随机抽样，简单随机抽样，属于中档题．
(1)样本容量为120，总体容量为7500，得出在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64，结合分层随机抽样的步骤解答即可；
(2)简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法，如果用抽签法，要做3000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，结合随机数法的步骤解答即可．
18.【答案】解：(1)根据题意，读出的编号依次是：
964(超界)，617，162，991(超界)，506，512，916(超界)，935(超界)，805(超界)，770，951(超界)，512(重复)，687，858(超界)，554，876(超界)，647，547，332，故抽取的样本编号为617，162，506，512，770，687，554，647，547，332．
(2)将(1)中有效的编号从小到大排列，得162，332，506，512，547，554，617，647，687，770，所以(1)中抽取的样本编号对应的数的极差为770−162=608，中位数为547+5542=550.5．
(3)记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8；
2个B题目成绩分别为y1，y2，
由题意可知i=18xi=8×7=56，i=18(xi−7)2=8×4=32，i=12yi=16，i=12(yi−8)2=2×1=2，
故样本平均数为x=18+2×(i=18xi+i=12yi)=110×(56+16)=7.2，
样本方差为
s2=18+2×[i=18(xi−7.2)2+i=12(yi−7.2)2]
=110×{i=18[(xi−7)−0.2]2+i=12[(yi−8)+0.8]2}
=110×[i=18(xi−7)2−0.4×i=18(xi−7)+8×0.22+i=12(yi−8)2+1.6×i=12(yi−8)+2×0.82]
=110×(32−0+0.32+2+0+1.28)=3.56．
所以估计该校800名考生的选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．
【解析】本题考查随机数表法抽样、分层抽样及用样本估计总体，属中档题．
(1)根据随机数表法，依次读出样本编号即可；
(2)将(1)中有效的编号从小到大排列，即可得到其极差和中位数；
(3)记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，x3，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2.由题意通过平均数和方差公式计算，并估计该校800名学生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．
19.【答案】A
【解析】【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特征和使用条件即可作出判断．
解：①由于学生的成绩是差异比较大的几部分，应用分层抽样．②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．
故选：A
20.【答案】(1)根据题意，读取的编号依次是20，96(超界)，43，84(超界)，26，34，91(超界)，64，84(超界)，42，17，⋯，所以抽取的第6名观众的编号为42．
(2)记选择科技类题目的6人的得分分别为x1，x2，⋯，x6，选择文艺类题目的4人的得分分别为y1，y2，y3，y4，
由题意知，x1+x2+⋯+x6=6×7=42，(x1−7)2+(x2−7)2+⋯+(x6−7)2=6×53=10，
y1+y2+y3+y4=4×8=32，(y1−8)2+(y2−8)2+(y3−8)2+ (y4−8)2=4×52=10，
所以这10名答题选手得分的平均数为x1+x2+⋯+x6+y1+y2+y3+y410= 42+3210=7.4，
方差为110×[(x1−7.4)2+(x2−7.4)2+⋯+(x6−7.4)2+ (y1−7.4)2+(y2−7.4)2+(y3−7.4)2+(y4−7.4)2]
=110× {i=16[(xi−7)−0.4]2+i=14[(yi−8)+0.6]2}
=110×[i=16(xi−7)2−0.8×i=16(xi−7)+6×0.42+i=14(yi−8)2+1.2×i=14(yi−8)+4×0.62]
= 110×(10−0+0.96+10+0+1.44)=2.24．
【解析】略
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