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山东省济宁市兖州区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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（时间:100分钟 满分:100 分）
第Ⅰ卷（共45分）
一、选择题：本大题共 10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，满分共30分.
1. 在，，，中，属于负整数的是（ ）．
A 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的分类，根据负整数是小于0的整数进行判断即可得出答案，解答此时的关键是要明确负整数是小于0的整数．
【详解】解：在，，，中，属于负整数的是，
故选：C．
2. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．
【详解】解：，，，，
∵，
∴从轻重的角度看，最接近标准的是的哪个足球，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了正负数和它们的绝对值．从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．
3. 已知一个单项式的系数是3，次数是2，则这个单项式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查单项式的系数和次数，根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．
【详解】解：的系数是3，次数是3，故A不符合题意；
的系数是2，次数是3，故B不符合题意；
的系数是2，次数是4，故C不符合题意；
的系数是3，次数是2，故D符合题意，
故选：D．
4. 汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A. 点动成线B. 线动成面
C. 面动成体D. 以上答案都正确
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了点、线、面、体，正确理解点、线、面、体的概念是解题的关键．汽车的雨刷实际上是一条线，挡风玻璃可以看作一个面，即可得解．
【详解】解：汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净，应是线动成面．
故选：B．
5. 如图，分别从正面、左面、上面观察圆柱，得到的平面图形分别是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从物体正面、左面和上面看，所得到的图形即可得解．
【详解】解：圆柱体从正面、左面看到的平面图形都是一个长方形，从上面看到的平面图形是一个圆．
故选：A．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、无法合并，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、无法合并，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7. 一副三角板如图摆放，与一定互余的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据互余定义即两个角的和是判定即可．
【详解】A．与不一定互余，
故本选项错误；
B．与互余，
故本选项正确；
C．与不互余，
故本选项错误；
D．与不互余，互补，
故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了互余，熟练掌握互余的性质是解题的关键．
8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案．
【详解】解：设物价是钱，则根据可得：
故选B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
9. 如图是某月的日历，用形如“十”字型框任意框出5 个数．对于这一个月的日历来说，这5个数的和不可能是（ ）
A. 110B. 75C. 70D. 50
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程实际应用，设中间的数为，则另外4个数为，可得这5个数的和为，再分别令这5个数的和为四个选项中的数，然后解方程求出这5个数看是否符合日历的特点即可得到答案．
【详解】解：设中间的数为，则另外4个数为，
∴这5个数的和为，
当时，解得，则另外4个数为15，21，23，29，符合日历的特点，故A不符合题意；
当时，解得，则另外4个数为8，14，16，22，符合日历的特点，故B不符合题意；
当时，解得，则另外4个数为7，13，15，21，符合日历的特点，故C不符合题意；
当时，解得，则另外4个数为3，9，11，17，不符合日历的特点，故D符合题意；
故选；D．
10. 找出以下图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是（ ）个
A. 2024B. 3035C. 3036D. 2023
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可．本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律，解决问题．
【详解】当为偶数时第个图形中黑色正方形的数量为个；
当为奇数时第个图形中黑色正方形的数量为个，.．
当时，黑色正方形个数为（个）,
故选：C．
二、填空题：本题共5道小题，每小题3分，共 15分，请把正确答案填在试卷相应的横线上，要求只写出最后结果.
11. 2023 年 12月 28日，济宁大安机场正式通航，大安机场将成为我市对外开放的新窗口、高质量发展的新平台，预测近期（2025年）旅客吞吐量目标为260万人次．数据260万用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据260万用科学记数法表示为．
故答案为：．
12. 如图，正方体的平面展开图，每个正方形中都标注了一个汉字．反向思考，正方体中，标注“锦”的面的对面标注的汉字是________．
【答案】祝
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面展开图的特征即可求解，掌握正方体表面展开图形的“相间、端是对面”是解题的关键．
【详解】解：根据正方体表面展开图形的“相间、端是对面”可知，
“锦”与“祝”相对，
故答案为：祝．
13. 如图所示的网格是正方形网格，________．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角度大小的比较，解题的关键是熟练掌握网格特点，得出，．
【详解】解：根据网格特点可知，，，
∴．
故答案为：．
14. 已知关于x的一元一次方程 的解为 2023，那么关于y的一元一次方程 的解为__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据关于的一元一次方程的解为2023得出关于的一元一次方程中，再求出即可．
【详解】解：关于的一元一次方程的解为2023，
关于的一元一次方程中，
解得：，
即关于的一元一次方程的解是．
故答案为：．
15. 2023年双11期间，百意商场为感谢新老顾客，决定对某商品实行优惠政策：购买该商品，另外赠送礼品一份.经过与该商品的供应商协调，供应商同意将该商品供货价格降低6%，同时免费为顾客提供礼品；而该商品的商场零售价保持不变．这样一来，该商品的单位利润率由原来的提高到，则的值是__________（精确到个位）
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了销售问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用．设原来的进价为元，则现在的进价为元，则原来的售价为元，现在的售价为，根据两次的售价相等建立方程求出其解得．
【详解】解：原来的进价为元，则现在的进价为元，由题意，得
，
解得：．
故答案为：10．
第Ⅱ卷 （共55分）
三、解答题：本大题共7 道题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤.
16. 计算:
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化简符号，再加减运算即可；
（2）先乘方再去绝对值最后加减运算即可．
【小问1详解】
解：；
；
【小问2详解】
解：
．
17. 解方程:
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
【小问2详解】
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18. 如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且．
（1）请用圆规在图中确定D点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）比较线段大小： （填“>”、“=”或“<”）；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）=
（3）
【解析】
【分析】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键．
（1）以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求；
（2）由线段得出，即可得出结论；
（3）由已知求出，得出，即可得出的长．
【小问1详解】
解：如图所示，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求，
；
【小问2详解】
解：，
，
；
故答案为：；
【小问3详解】
解：，，
，
，
．
19. 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。仿照下面的解题方法，完成下面问题：
如果代数式的值为-4，那么代数式：的值是多少? 爱动脑筋的爱国同学这样来解:原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得 ．
【简单应用】
（1）已知 ，则 ；
（2）已知，求的值；
【拓展提高】
（3）已知 ，求代数式 的值．
【答案】（1）4；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则及整体代入的思想方法是解决本题的关键．
（1）（2）先变形要求值的代数式，再整体代入；
（3）先把已知中两个等式相加，再整体代入求值．
【详解】解：（1），
．
故答案为：4；
（2）
，
当， 时，
原式
；
（3）①，②，
①②，得．
．
20. 【实践操作】三角尺中的数学问题.
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，．
①若，则 °；
若，则 °；
②猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点重合在一起，，直接写出与之间的数量关系．
【答案】20. ①145，49；②，理由见解析
21.
【解析】
【分析】本题考查了余角和补角，熟练运用角之间的关系是解题的关键．
（1）①已知，根据角的和差即可求出和的度数；
②根据前两个小问的结论猜想与之间的数量关系，结合前两个小问的解题思路即可得出证明；
（2）根据（1）的解题思路确定与之间的数量关系并证明．
【小问1详解】
解：①，，
，
，
，，
，
，
故答案为：145，49；
②猜想：，理由如下：
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
，
，
，
，
．
21. 第31届世界大学生夏季运动会于 2023 年 7 月 28 日在成都举行．为了吸引顾客，两家经销商都销售带有“蓉宝”吉祥物标志的纪念品，他们以相同价格出售，各自推出了不同的优惠方案：甲经销商规定累计购买纪念品超出 200元后，超出部分按原价八折优惠；乙经销商规定累计购买纪念品超出100元后，超出部分按原价八五折优惠．若顾客累计购买纪念品元．
（1）当为何值时，顾客在两家经销商购纪念品所付的费用一样?
（2）有顾客准备购买 600元的纪念品，你认为应该去哪家经销商? 请说明理由．
【答案】（1）当为500时，顾客在两家超市购物付款的费用一样多；
（2）当时，选择甲超市购买更优惠，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
（1）根据优惠政策分别求出在两家超市应付的费用，再根据在两家经销商购纪念品所付的费用一样列方程求解即可；
（2）根据（1）中的代数式分别计算两种方案的价格然后作比较即可．
【小问1详解】
解：甲超市：元，
乙超市：元，
由题意知：，
解得．
故当为500时，顾客在两家超市购物付款的费用一样多；
【小问2详解】
解：选择甲超市购买更优惠，理由如下：
当时，
甲超市：（元，
乙超市：（元．
当时，选择甲超市购买更优惠．
22. 数学迷聪聪最近读到这样一个问题：将三个已经排好顺序数： ，称为数列． 计算 将这三个数的最小值称为数列 的谷值． 聪聪进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以计算其相应的谷值，如数列-1，2，3的谷值为 数列 3，-1，2的谷值为1；…经过研究，聪聪发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，谷值的最小值为 ，根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列 2 的谷值为 ；
（2）若数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，求的值；
（3）将这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的谷值的最小值为1，请直接写出的值为
【答案】（1）2 （2）
（3）1或或．
【解析】
【分析】本题考查新定义，绝对值，解一元一次方程，绝对值方程，理解新定义是解题的关键．
（1）直接根据新定义求解即可；
（2）先根据新定义求出两数列绝对值，再根据数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，列方程求解即可；
（3）数列为m，3，3或3，m，3或3，3，m，根据这些数列的谷值的最小值为1，列绝对值方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
又∵，
∴数列 2 的谷值为2；
故答案为：2；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴数列的谷值为1，
∵，，，
∵数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，
∴数列1， ，2的谷值为，
∴
解得：；
【小问3详解】
解：若数列为m，3，3时， ，，，
若数列为3，m，3时，，，，
若数列为3，3，m时，，，，
∵这些数列的谷值的最小值为1，
∴或或
解得：或或，
当时，数列为，3，3的谷值为0，故不符合题意去，
∴的值为1或或．
故答案为：1或−1或−9．
（时间:100分钟 满分:100 分）
第Ⅰ卷（共45分）
一、选择题：本大题共 10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，满分共30分.
1. 在，，，中，属于负整数的是（ ）．
A 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的分类，根据负整数是小于0的整数进行判断即可得出答案，解答此时的关键是要明确负整数是小于0的整数．
【详解】解：在，，，中，属于负整数的是，
故选：C．
2. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．
【详解】解：，，，，
∵，
∴从轻重的角度看，最接近标准的是的哪个足球，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了正负数和它们的绝对值．从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．
3. 已知一个单项式的系数是3，次数是2，则这个单项式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查单项式的系数和次数，根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．
【详解】解：的系数是3，次数是3，故A不符合题意；
的系数是2，次数是3，故B不符合题意；
的系数是2，次数是4，故C不符合题意；
的系数是3，次数是2，故D符合题意，
故选：D．
4. 汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A. 点动成线B. 线动成面
C. 面动成体D. 以上答案都正确
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了点、线、面、体，正确理解点、线、面、体的概念是解题的关键．汽车的雨刷实际上是一条线，挡风玻璃可以看作一个面，即可得解．
【详解】解：汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净，应是线动成面．
故选：B．
5. 如图，分别从正面、左面、上面观察圆柱，得到的平面图形分别是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从物体正面、左面和上面看，所得到的图形即可得解．
【详解】解：圆柱体从正面、左面看到的平面图形都是一个长方形，从上面看到的平面图形是一个圆．
故选：A．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、无法合并，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、无法合并，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7. 一副三角板如图摆放，与一定互余的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据互余定义即两个角的和是判定即可．
【详解】A．与不一定互余，
故本选项错误；
B．与互余，
故本选项正确；
C．与不互余，
故本选项错误；
D．与不互余，互补，
故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了互余，熟练掌握互余的性质是解题的关键．
8. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设物价是x钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案．
【详解】解：设物价是钱，则根据可得：
故选B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
9. 如图是某月的日历，用形如“十”字型框任意框出5 个数．对于这一个月的日历来说，这5个数的和不可能是（ ）
A. 110B. 75C. 70D. 50
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程实际应用，设中间的数为，则另外4个数为，可得这5个数的和为，再分别令这5个数的和为四个选项中的数，然后解方程求出这5个数看是否符合日历的特点即可得到答案．
【详解】解：设中间的数为，则另外4个数为，
∴这5个数的和为，
当时，解得，则另外4个数为15，21，23，29，符合日历的特点，故A不符合题意；
当时，解得，则另外4个数为8，14，16，22，符合日历的特点，故B不符合题意；
当时，解得，则另外4个数为7，13，15，21，符合日历的特点，故C不符合题意；
当时，解得，则另外4个数为3，9，11，17，不符合日历的特点，故D符合题意；
故选；D．
10. 找出以下图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是（ ）个
A. 2024B. 3035C. 3036D. 2023
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可．本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律，解决问题．
【详解】当为偶数时第个图形中黑色正方形的数量为个；
当为奇数时第个图形中黑色正方形的数量为个，.．
当时，黑色正方形个数为（个）,
故选：C．
二、填空题：本题共5道小题，每小题3分，共 15分，请把正确答案填在试卷相应的横线上，要求只写出最后结果.
11. 2023 年 12月 28日，济宁大安机场正式通航，大安机场将成为我市对外开放的新窗口、高质量发展的新平台，预测近期（2025年）旅客吞吐量目标为260万人次．数据260万用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据260万用科学记数法表示为．
故答案为：．
12. 如图，正方体的平面展开图，每个正方形中都标注了一个汉字．反向思考，正方体中，标注“锦”的面的对面标注的汉字是________．
【答案】祝
【解析】
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面展开图的特征即可求解，掌握正方体表面展开图形的“相间、端是对面”是解题的关键．
【详解】解：根据正方体表面展开图形的“相间、端是对面”可知，
“锦”与“祝”相对，
故答案为：祝．
13. 如图所示的网格是正方形网格，________．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角度大小的比较，解题的关键是熟练掌握网格特点，得出，．
【详解】解：根据网格特点可知，，，
∴．
故答案为：．
14. 已知关于x的一元一次方程 的解为 2023，那么关于y的一元一次方程 的解为__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据关于的一元一次方程的解为2023得出关于的一元一次方程中，再求出即可．
【详解】解：关于的一元一次方程的解为2023，
关于的一元一次方程中，
解得：，
即关于的一元一次方程的解是．
故答案为：．
15. 2023年双11期间，百意商场为感谢新老顾客，决定对某商品实行优惠政策：购买该商品，另外赠送礼品一份.经过与该商品的供应商协调，供应商同意将该商品供货价格降低6%，同时免费为顾客提供礼品；而该商品的商场零售价保持不变．这样一来，该商品的单位利润率由原来的提高到，则的值是__________（精确到个位）
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了销售问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用．设原来的进价为元，则现在的进价为元，则原来的售价为元，现在的售价为，根据两次的售价相等建立方程求出其解得．
【详解】解：原来的进价为元，则现在的进价为元，由题意，得
，
解得：．
故答案为：10．
第Ⅱ卷 （共55分）
三、解答题：本大题共7 道题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤.
16. 计算:
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化简符号，再加减运算即可；
（2）先乘方再去绝对值最后加减运算即可．
【小问1详解】
解：；
；
【小问2详解】
解：
．
17. 解方程:
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
【小问2详解】
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18. 如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且．
（1）请用圆规在图中确定D点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）比较线段大小： （填“>”、“=”或“<”）；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）=
（3）
【解析】
【分析】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键．
（1）以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求；
（2）由线段得出，即可得出结论；
（3）由已知求出，得出，即可得出的长．
【小问1详解】
解：如图所示，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求，
；
【小问2详解】
解：，
，
；
故答案为：；
【小问3详解】
解：，，
，
，
．
19. 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。仿照下面的解题方法，完成下面问题：
如果代数式的值为-4，那么代数式：的值是多少? 爱动脑筋的爱国同学这样来解:原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得 ．
【简单应用】
（1）已知 ，则 ；
（2）已知，求的值；
【拓展提高】
（3）已知 ，求代数式 的值．
【答案】（1）4；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则及整体代入的思想方法是解决本题的关键．
（1）（2）先变形要求值的代数式，再整体代入；
（3）先把已知中两个等式相加，再整体代入求值．
【详解】解：（1），
．
故答案为：4；
（2）
，
当， 时，
原式
；
（3）①，②，
①②，得．
．
20. 【实践操作】三角尺中的数学问题.
（1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，．
①若，则 °；
若，则 °；
②猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点重合在一起，，直接写出与之间的数量关系．
【答案】20. ①145，49；②，理由见解析
21.
【解析】
【分析】本题考查了余角和补角，熟练运用角之间的关系是解题的关键．
（1）①已知，根据角的和差即可求出和的度数；
②根据前两个小问的结论猜想与之间的数量关系，结合前两个小问的解题思路即可得出证明；
（2）根据（1）的解题思路确定与之间的数量关系并证明．
【小问1详解】
解：①，，
，
，
，，
，
，
故答案为：145，49；
②猜想：，理由如下：
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
，
，
，
，
．
21. 第31届世界大学生夏季运动会于 2023 年 7 月 28 日在成都举行．为了吸引顾客，两家经销商都销售带有“蓉宝”吉祥物标志的纪念品，他们以相同价格出售，各自推出了不同的优惠方案：甲经销商规定累计购买纪念品超出 200元后，超出部分按原价八折优惠；乙经销商规定累计购买纪念品超出100元后，超出部分按原价八五折优惠．若顾客累计购买纪念品元．
（1）当为何值时，顾客在两家经销商购纪念品所付的费用一样?
（2）有顾客准备购买 600元的纪念品，你认为应该去哪家经销商? 请说明理由．
【答案】（1）当为500时，顾客在两家超市购物付款的费用一样多；
（2）当时，选择甲超市购买更优惠，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
（1）根据优惠政策分别求出在两家超市应付的费用，再根据在两家经销商购纪念品所付的费用一样列方程求解即可；
（2）根据（1）中的代数式分别计算两种方案的价格然后作比较即可．
【小问1详解】
解：甲超市：元，
乙超市：元，
由题意知：，
解得．
故当为500时，顾客在两家超市购物付款的费用一样多；
【小问2详解】
解：选择甲超市购买更优惠，理由如下：
当时，
甲超市：（元，
乙超市：（元．
当时，选择甲超市购买更优惠．
22. 数学迷聪聪最近读到这样一个问题：将三个已经排好顺序数： ，称为数列． 计算 将这三个数的最小值称为数列 的谷值． 聪聪进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以计算其相应的谷值，如数列-1，2，3的谷值为 数列 3，-1，2的谷值为1；…经过研究，聪聪发现，对于“2，，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，谷值的最小值为 ，根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列 2 的谷值为 ；
（2）若数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，求的值；
（3）将这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，若这些数列的谷值的最小值为1，请直接写出的值为
【答案】（1）2 （2）
（3）1或或．
【解析】
【分析】本题考查新定义，绝对值，解一元一次方程，绝对值方程，理解新定义是解题的关键．
（1）直接根据新定义求解即可；
（2）先根据新定义求出两数列绝对值，再根据数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，列方程求解即可；
（3）数列为m，3，3或3，m，3或3，3，m，根据这些数列的谷值的最小值为1，列绝对值方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
又∵，
∴数列 2 的谷值为2；
故答案为：2；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴数列的谷值为1，
∵，，，
∵数列 的谷值比数列 1， ，2 的谷值大，
∴数列1， ，2的谷值为，
∴
解得：；
【小问3详解】
解：若数列为m，3，3时， ，，，
若数列为3，m，3时，，，，
若数列为3，3，m时，，，，
∵这些数列的谷值的最小值为1，
∴或或
解得：或或，
当时，数列为，3，3的谷值为0，故不符合题意去，
∴的值为1或或．
故答案为：1或−1或−9．
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