2023-2024学年云南省大理州高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省大理州高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题p：∀x∈R，sinx0，|φ|5+3x”的一个充分不必要条件的是( )
A. x>3B. x0D. x0时，求关于x的不等式f(x)>2的解集．
19.(本小题12分)
(Ⅰ)已知θ∈[0,π2]，若tanθ=512，求 2cs2θ22sin(θ+π4)的值；
(Ⅱ)α+β=π3，求sinα+ 3csβ的最大值．
20.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m2+2m+2)xm．
(Ⅰ)求m的值；
(Ⅱ)若f(2a−7)>f(13−3a)，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs4x+2cs2x−sin4x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求函数|f(x)|的单调递减区间．
22.(本小题12分)
布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹⋅布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点.现新定义：若x0满足f(x0)=−x0，则称x0为f(x)的次不动点．
(Ⅰ)求函数f(x)=|2x+1|的次不动点；
(Ⅱ)若函数g(x)=lg3(9x−a⋅3x−1)在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：命题p：∀x∈R，sinx52或x5+3x，然后结合充分必要条件与集合的包含关系的转化检验各选项即可．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A：终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}，故A错误；
对于B和C：角α为钝角，故α的终边为第二象限角，故B错误，C正确；
对于D：终边在直线y=x上角的集合是{α|α=π4+kπ,k∈Z}，故D正确．
故选：CD．
直接利用象限角和轴线角的定义判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：象限角的定义，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为正实数a，b满足a+b=1，
所以 ab≤a+b2=12，当且仅当a=b=12时取等号，A正确，B错误；
因为 a+ b2≤ a+b2= 22，当且仅当a=b=12时取等号，
所以 a+ b≤ 2，C正确；
1a+2b=a+ba+2a+2bb=3+ba+2ab≥3+2 ba⋅2ab=3+2 2，当且仅当b= 2a，即a= 2−1，b=2− 2时取等号，D正确．
故选：ACD．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x)=a−42x+1，则有f(0)=a−41+1=0，解可得a=2，A错误；
对于B，由于a=2，则f(x)=2−42x+1，f(−x)=2−42−x+1=2−4×2x1+2x，
有f(x)+f(−x)=0，故f(x)为奇函数，B正确；
对于C，由B的结论，f(x)+f(−x)=0，则函数f(x)的图象不关于点(0,1)对称，C错误；
对于D，f(x)=2−42x+1，若f(x+3)≥0，即2−42x+3+1≥0，
变形可得2x+3≥1，解可得x≥−3，即不等式f(x+3)≥0的解集为[−3,+∞)，D正确．
故选：BD．
根据题意，由函数的解析式和f(0)=0分析A，分析函数的奇偶性可得B正确，由奇函数的定义可得C错误，解不等式可得D正确，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，关键求出a的值，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)=0，
则2f(0)=1．
故答案为：1．
由已知结合奇函数的性质f(0)=0即可求解．
本题主要考查了奇函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】23
【解析】解：已知tan(α+π4)=5，
则1+tanα1−tanα=5，
则tanα=23．
故答案为：23．
结合两角和的正切公式求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
15.【答案】5
【解析】解：∵f(x)=x2+bx+c，且f(2)=f(6)=0，
∴4+2b+c=0且36+6b+c=0，
解得b=−8c=12，
∴f(x)=x2−8x+12，
∴f(1)=1−8+12=5．
故答案为：5．
根据已知条件求得b和c，进而得到f(x)的解析式，即可求解结论．
本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】解：因为x，y，z都是正数，
所以x+y≥2 xy，x+z≥2 xz，y+z≥2 yz，
以上三个不等式相乘，可得(x+y)(x+z)(y+z)≥8xyz，
结合(x+y)(x+z)(y+z)=8，可得8≥8xyz，即xyz≤1，当且仅当x=y=z时，等号成立，
所以x=y=z=1时，xyz的最大值为1．
故答案为：1．
根据题意可得x+y≥2 xy，x+z≥2 xz，y+z≥2 yz，三个不等式相乘，化简即得xyz的最大值．
本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，集合A={x∈R|ax2+2x+3=0}={x∈R|2x+3=0}={−32}；
(Ⅱ)若集合A只有2个子集，则集合A中只有一个元素，
当a=0时，A={−32}，符合题意，
当a≠0时，则Δ=4−4a×3=0，
解得a=13，
综上所述，a的值为0或13．
【解析】(Ⅰ)代入a=0求出方程的解，进而可得集合A；
(Ⅱ)分a=0和a≠0两种情况，结合Δ求解即可．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
18.【答案】解：函数f(x)=alg2x+1．
(Ⅰ)若函数f(x)的图象过点(2,3)，
则alg22+1=a+1=3，
解得a=2；
(Ⅱ)∵当a>0时，f(x)=alg2x+1>2，
∴lg2x>1a，
∴lg2x>lg221a．
∵y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，
∴x>21a，
∴关于x的不等式f(x)>2的解集为(21a,+∞)．
【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的图象过点(2,3)，得alg22+1=a+1=3，由此能求出a=2；
(Ⅱ)推导出lg2x>lg221a.再由y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，能求出关于x的不等式f(x)>2的解集．
本题考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)已知θ∈[0,π2]，
又tanθ=512，
则sinθcsθ=512sin2θ+cs2θ=1sinθ≥0,csθ≥0，
则sinθ=513csθ=1213，
则 2cs2θ22sin(θ+π4)= 2×csθ+122× 22(sinθ+csθ)=2534；
(Ⅱ)已知α+β=π3，
则sinα+ 3csβ=sin(π3−β)+ 3csβ=3 32csβ−12sinβ= 7cs(β+φ)，其中tanφ= 39，
则sinα+ 3csβ∈[− 7, 7]，
即sinα+ 3csβ的最大值为 7．
【解析】(Ⅰ)由同角三角函数的关系，结合二倍角公式及两角和与差的三角函数求解；
(Ⅱ)由两角和与差的三角函数，结合三角函数最值的求法求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，m2+2m+2=1，
解得m=−1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f(x)=x−1=1x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
且f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，
当2a−7