人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第一课时教案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第一课时教案设计，共9页。
课题：等差数列的概念
课型：
课时教学目标
（1）经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养.
（2）能用递推公式an−an−1=dn=2，3，⋯描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径.
教学重点和难点
（1）教学重点：等差数列的概念.
（2）教学难点：通过运算发现等差规律以及等差规律的符号化表达.
教学资源和教学方法
教学过程
教学环节
环节一
环节二
环节三
环节四
师生活动
设计意图
教师个人二次备课
环节五
创设情境，感知概念
引导语 在前面的学习中，我们已经了解了数列的定义、表示方法，与学习函数的定义、表示方法一样，这节课我们就来探讨一下一类特殊的数列.
问题情境 请观察下面几个情境中的数列.
情境1 北京天坛圜丘坛（见教科书第12页图片）的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，由内到外各圈的石板数依次为：
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
情境2 S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是：
38，40，42，44，46，48. ②
情境3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：
25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. ③
情境4 某人向银行贷款α万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始每月应还本金b=a12n万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为：
ar，ar−br，ar−2br，ar−3br，… ④
问题1 对于情境1中的数列，你能通过运算发现其中的取值规律吗？
师生活动 教师课件展示情境，学生独立思考后展开讨论，教师引导学生调整运算结构、发现运算规律.对于数列①我们发现：
18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，
换一种写法就是18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.
如果用an来表示数列①，则有a2−a1=9，a3−a2=9，…，a9−a8=9，这表明数列①具有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数.
教师指出：上面的抽象过程需要注意体会.我们先从运算的角度观察一列数，发现其中的规律是“从第2个数开始，后一个数是前一个数加9”；再把它改写为“后一个数与前一个数之差为9”，这样改写，使运算结果是一个常数，从而使规律更加突出；接着引入符号作出一般化的表示；最后用文字语言概括规律，得到“从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数”，这个表述中，“从第2项起”这个限定是大家容易忽视的。
追问 你能仿照数列①的运算规律，写出情境2和情境3中数列的一般规律吗？
师生活动 学生独立思考、展示.发现数列②满足a2−a1=2，a3−a2=2，…，a6−a5=2，数列③满足b2−b1=−0.6，b3−b2=−0.6，…，b5−b4=−0.6，引发思考：“常数”的取值具有不变性且可正可负可为零，“常数”的符号影响数列的单调性.此时，教师带领学生回顾数列单调性的定义，做好回顾与巩固.
借助北京天坛圜丘坛的建造“秘密”设疑激趣，引出本节课的研究对象，启发学生通过运算规律抓住等差数列的等差特征.通过运算方式的改变，学生独立寻找运算共性，经历等差的发现过程，尝试使用文字语言和符号语言描述等差数列，另外，从生活实例中抽象出等差数列，直接突出重点，尝试突破难点，因为直观上排列好的一列数与等差数列的数学定义之间存在一定的距离，需要学生具备较高的数学抽象、数学表达能力，这种体验对后续研究数列在生活中的应用有重要的价值.
借助数列①的研究方式类比研究数列②③，从文字语言和符号语言两个维度理解运算规律，学生在思维中逐渐形成一般的递推关系，另外，写出一般规律的过程有助于学生深刻理解“常数”，感悟“常数”的作用.
环节六
探寻规律，生成概念
问题2 若数列an满足a1=9，a2=18，a3=27，…，你能写出该数列第n项与第n−1项的关系吗？
师生活动 学生独立思考，主动展示：an−an−1=9，部分学生开始质疑正整数n的取值范围.对于通过数列的局部特征去归纳该数列的递推公式，这种符号语言能否精确表达要义，学生的思维开始碰撞，展开讨论，并在递推公式的协助下，口头表达等差数列的定义.
追问 你能结合数列①②③运算规律的共性，用自己的语言描述等差数列的定义吗？
师生活动 学生主动交流，逐步规范表述.数列①②③有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，具备这种恒定的等差性的数列就是等差数列.教师严谨描述：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，公差通常用字母d来表示.例如：数列①中d=9，数列②中d=2,数列③中d=−0.6.
在发现“等差”特征后，通过递推公式让学生试着表达等差数列的定义.学生在思维碰撞中，逐步完备定义的表述，促使学生有意识地去琢磨定义中的关键词，加深对定义内涵的理解.
让学生经历抽象概念的过程，在探讨质疑中逐步完备等差数列的概念，教师再做规范强调，引领学生紧扣概念内涵，并用示例加深理解.通过系列化的教学活动设疑激趣，探究追问，逐步形成“事实→概念”的基本研究路径，让学生在自主探究、合作学习、质疑补充等多种学习方式中建构概念、感悟思想方法、积累数学活动经验.
环节七
追问辨析，完备概念
问题3 你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗？
师生活动 学生根据探究和概念给出an−an−1=dn∈N∗,n≥2或an+1−an=dn∈N∗，然后思考：为什么要强调n≥2？

追问1 情境4中的数列是等差数列吗？若是，请指出它的公差.
师生活动 教师引导学生根据利息计算方法列举每月利息，再尝试使用等差数列的定义判定an−an−1=−br，找出公差d=−br.
追问2 你能列举生活中的等差数列现象吗？试着说出它的公差。
师生活动 学生自由交流，探讨分享，教师利用网络搜索相关图片，帮助学生理解.
问题4 根据以往经验，在定义了一个对象后，要研究一下有哪些特殊情况.对于等差数列，你觉得有哪些特殊情况？
师生活动 学生独立思考、作答，教师引导进行讨论，得出：可以从要素的特殊化展开思考.从公差来看，特殊的是d=0；从项数看，最特殊的是由3个数组成的等差数列.
追问1 若三个数a，A，b成等差数列，你能得到a，A，b的关系吗？请将这个关系推广到等差数列{an}中，写出其一般规律.
师生活动 学生列出等式，教师指出其重要性和一般性.教师指出：结合A所在的位置，称A为α和b的等差中项，等差中项是一个常用概念.由A−a=b−A得到关系2A=a+b，进而类推，一个等差数列任意连续三项其实都具备这种关系.∀n∈N∗，n≥2，都有2an=an−1+an+1（或∀n∈N∗，都有2an+1=an+an+2是数列{an}为等差数列的充要条件.
追问2 若四个数成等差数列，它们之间又有什么关系？
师生活动 学生仿照等差中项的研究方式，先独立思考再交流探讨.学生列出：a2−a1=a3−a2=a4−a3，发现四个数的关系为a1+a3=2a2，a2+a4=2a3，a1+a4=a2+a3，进而发现等差数列的项与项的关系.
让学生过定义中的关键词理解等差数列定义的内涵.关键词一“从第2项起”是后续条件，有两层内涵：一是因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作差比较；二是确保该数列中任何一项与前一项的差都是同一个常数.关键词二“每一项与它的前一项的差”也有两层内涵：一是指出作差比较的顺序；二是强调作差比较的两项必须相邻.同时，等差数列的符号描述为判定一个数列是否为等差数列提供了基本依据和方法，也是第2课时中推导等差数列通项公式的起点，是理解概念内涵的关键.
不断引用生活实例，让学生感受到等差数列在生活中有着广泛的应用.情境4从等差数列定义入手，加强概念、取值规律和应用的研究，深化学生对公差的理解，发展学生数学建模素养.
让学生体会数学概念来源于生活，回归于生活.学生在列举不同等差数列背景时，已经开始主动应用等差数列的定义进行判定.教师可适时引出常数列(d=0)、单调递增等差数列(d>0)、单调递减等差数列(d