高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性说课ppt课件

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性说课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了习题54，问题与探究等内容，欢迎下载使用。
5 . 4 函数的奇偶性
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，有倒影的山水景色·····
● 怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性?
实际上，对于函数f(x)＝x2定义域 R 内任意一个x，都有f(－x)＝x3＝f(x). 这时我们称函数 f(x)＝x2为偶函数.
(2) 本质：奇偶性是函数对称性的表示方法.(3) 应用： 奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有 f(－x) ＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说 f(x)是奇(偶)函数.
具有奇偶性的函数，其定义域有何特点?
提示：定义域关于原点对称.
判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1) f(x)＝x2－1；
解：函数 f(x)＝x2－1的定义域是 R . 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R， 且 f(－x)＝(－x)2－1＝ x2－1＝f(x)， 所以函数 f(x)＝－1是偶函数.
(2) f(x)＝2x；
解：函数 f(x)＝2x 的定义域是 R . 因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R， 且 f(－x)＝ 2(－x) ＝－2x＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝2x 是奇函数.
(3) f(x) ＝2∣x∣；
解：函数 f(x)＝2∣x∣的定义域是 R . 因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R， 且 f(－x)＝ 2∣－x∣＝2∣x∣＝f(x)， 所以函数 f(x)＝2∣x∣ 是偶函数.
(4) f(x)＝(x－1)2.
解：函数 f(x)＝(x－1)2 的定义域是 R . 因为f(1) ＝ 0，f(－1)＝4， ， 所以 f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1). 因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数 f(x)＝(x－1)2 既不是奇函数，也不是偶函数.
判断函数 f(x)＝x3＋5 是否具有奇偶性.
解 函数 f(x)的定义域为 R. 因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R， 且f(－x) ＝(－x)3＋5(－x) ＝－ (x3＋5x)＝－ f(x)， 所以函数 y＝f(x) 为奇函数.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 对于函数 y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数. (　　) (2) 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.(　　) (3) 奇函数的图象一定过 (0，0).(　　)
2. 下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
解析：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.
2.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x) 在R上一定(　　 ) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
解析：F(－x) ＝f(－x) －f(x) ＝－ [f(x)－f(－x)] ＝－F(x)， 符合奇函数的定义.
3. 如图，给出奇函数 y＝f(x) 的局部图象，则 f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A.1 B.0 C. －2 D.2
{x∣－3＜x＜0或x＞3}
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0) 上是增函数，所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以f(3) ＝f(－3) ＝0. 当x＞0时，f(x)＜0，解得x＞3； 当x＜0时，f(x)＞0，解得－3＜x＜0.
探 究
具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点?
练 习
2. 函数 f(x) ＝ x2＋2x 的图象是否关于某条直线对称? 它是否为偶函数?
解 f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， 由二次函数的性质可知，函数 f(x)＝x2＋2x 的图象关于直线 x＝－1 对称， ∵偶函数的图象关于 y 轴对称 ∴函数 f(x)＝x2＋2x 不是偶函数.
3. 已知函数 f(x) 在 y 轴右边的图象如图所示. (1)若f(x)是偶函数，试画出函数f(x)在y轴左边的图象；
(2)若 f(x)是奇函数，试画出函数 f(x) 在 y 轴左边的图象.
4. 对于定义在 R 上的函数 f(x)，下列判断是否正确? (1) 若 f(x) 是偶函数，则 f(－2)＝f(2)；
解 若 f(x) 是偶函数，则对任意实数x都有 f(－x)＝f(x)， 所以，f(－2)＝f(2)成立，该判断正确；
(2) 若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x) 是偶函数；
解 若 f(－2)＝f(2)， 但是不一定有对任意实数x都有f(－x)＝f(x)成立， 不满足偶函数的定义，该判断错误；
(3) 若 f(－2)≠f(2)，则函数 f(x)不是偶函数；
解 若 f(－2)≠f(2)， 则对任意实数 x 都有 f(－x)＝f(x) 不成立， 根据偶函数的定义可知，f(x)不是偶函数该判断正确；
(4) 若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)不是奇函数.
解 若取 f(x)＝x3－4x， 满足 f(－2)＝f(2)， 但 f(x)是奇函数，该判断错误.
5. 证明函数 f(x)＝x3－x 在 R 上是奇函数.
证明：∵f(x)＝x3－x，定义域为R， ∴f(－x)＝(－x)3－ (－x) ＝－x3＋x ＝－(x3－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝x3－x在R上是奇函数.
6. 判断下列函数的奇偶性：
(3) f(x)＝ 2∣x∣－3.
解 ∵ f(x)＝2∣x∣－3 的定义域为R， 其定义域关于原点对称， 又∵ f(－x)＝2∣－x∣－3＝2∣x∣－3＝f(x)， ∴ f(x)＝2∣x∣－3 为偶函数.
(1) f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣是 R 上的偶函数；
解 ∵ f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣的定义域为R， ∴ f(－x) ＝∣－x＋3∣＋∣－x－3∣ ＝∣x－3∣＋∣x＋3∣＝f(x)， ∴函数 f(x) 为偶函数；
(2) g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣是 R 上的奇函数；
解 ∵g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣的定义域为R， ∴g(－x) ＝∣－x＋3∣－∣－x－3∣ ＝∣x－3∣－∣x＋3∣＝－g(x). ∴ 函数g(x)为奇函数.
1. 下列函数哪些是奇函数?哪些是偶函数?哪些既不是奇 函数也不是偶函数?
(1) f(x)＝2x2－7；(2) f(x)＝x3＋5x；(3) f(x)＝5x－3.
(1) f(x)＝2x2－7；
解 f(x)＝2x2－7的定义域为(－∞，＋∞)， 定义域关于原点对称， ∵f(－x)＝2(－x)2－7＝2x－7＝f(x)， ∴函数 f(x)＝2x2－7 是偶函数.
(2) f(x)＝x3＋5x；
解 f(x)＝x3＋5x 的定义域为(－∞，＋∞)， 定义域关于原点对称， ∵f(－x)＝(－x)5＋5(－x) ＝－x3－5x＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝x3＋5x 是奇函数.
(3) f(x)＝5x－3.
解 f(x)＝5x－3 的定义域为(－∞，＋∞)， f(－x)＝5·(－x)－3＝－5x－3， －f(x) ＝－5x＋3， ∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴f(x)＝5x－3既不是奇函数也不是偶函数.
2. 已知函数 f(x)＝x2－2∣x∣－1，试判断函数 f(x) 的奇 偶性，并画出函数的图象.
解 函数 f(x)＝ x2－2∣x∣－1的定义域为R， 关于原点对称， ∵ f(－x)＝(－x)2－2∣x∣－1＝x2－2∣x∣－1＝f(x)， ∴函数 f(x)＝x2－2∣x∣－1 是偶函数函数.
4. 证明函数 g(x)＝∣x∣＋x2 的图象关于 y 轴对称.
解 由题意，g(x)＝∣x∣＋x2 的定义域为R， 关于原点对称， 且g(－x)＝∣－x∣＋(－x)2＝∣x∣＋(x)2＝g(x)， ∴g(x)＝∣x∣＋x2为偶函数，图象关于y轴对称.
5. 设 m 为实数，函数f(x)＝x2＋mx＋1是函数，求m的值.
解 ∵函数f(x)的定义域是R关于原点对称， 又∵f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝(－x)2－mx＋1＝x2＋mx＋1＝f(x)恒成立， ∴2mx＝0 恒成立， ∵x∈R， ∴m＝0.
6. 已知函数 f(x)＝ax3－bx＋1，a，b∈R，且f(－2)＝－1， 求 f(2) 的值.
解 ∵ f(x)＝ax3－bx＋1， ∴ f(－2)＝a(－2)3－b(－2)＋1 ＝－8a＋2b＋1＝－1， 解得：8a－2b＝2. ∴f(2)＝a·23－2b＋1 ＝ 8a－2b＋1＝2＋1＝3.
7. 已知函数 y ＝ f(x) 是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时， f(x) ＝ 1，求函数 y ＝ f(x) 的表达式.
解 设 x＜0，则－x＞0，f(－x)＝1. 而函数 y＝f(x) 是R上奇函数 则 f(－x)＝－f(x)＝1即 f(x)＝－1 ∴当x＜0时，f(x)＝－1.
8. 已知函数 f(x) 的定义域为R. (1) 求证：函数 g(x)＝f(x)＋f(－x)为R上的偶函数；
解 ∵函数 f(x) 的定域为R， ∴函数 g(x)＝f(x)＋f(－x) 的定义域为R， 即函数 g(x) 的定义域关于原点对称， 又∵g(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x) ＋f(x)＝g(x)， ∴函数 g(x)＝f(x)＋f(－x)是在R上的偶数；
(2) 求证：函数 h(x)＝f(x)－f(－x)为 R 上的函数；
解 ∵数 f(x) 的定域为R， ∴函数 h(x)＝f(x)－f(－x)的定义域为R， 即函数 h(x) 的定义域关于原点对称， 又∵h(－x)＝f(－x) －f[－(－x)] ＝f(－x)－f(x)＝－h(x)， ∴ 函数h(x)＝f(－x)－f(x)是在R上的奇数；
(3) 试判断：定义在 R 上的函数 f(x) 能否表示为一个函数 和一个偶函数的和.
9. 设a为给定实数，函数 f(x) 的定义域为 A. (1) 若对于任意 x∈A，都有 f(a－x)－f(a＋x)＝0，问： 此函数的图象一定具有怎样的对称性?说明理由.
解 对于任意的 x∈A，都有 f(a－x) －f(a＋x)＝0， 则函数 y＝f(x)图象关于直线 x＝a对称.
理由如下： 设函数 y＝f(x)图象上任意一点P(x0，y0)，则y0＝f(x0)， 且P关于直线 x＝a 的对称点为P′(2a－x0，y0)， 由f(a－x)＝f(a＋x)，用x－a取代上式中的x， 得f(2a－x)＝f(x)则，f(2a－x0)＝f(x0)＝y0， 故P′(2a－x0，y0) 在函数 y＝f(x) 的图象上， 所以函数 y＝f(x) 的图象关于直线 x＝a 对称.
(2) 若对于任意 x∈A，都有 f(a－x)＋f(a＋x)＝0，问： 此数的图象一定具有怎样的对称性?说明理由.
解 对于任意的 x∈A， 都有f(a－x)＋f(a＋x)＝0， 则函数 y＝f(x)图象关于点 (a，0) 对称.
理由如下： 设函数 y＝f(x) 图象上任意一点 P1(x1，y1)，则y1＝f(x1). 且P1关于点 (a，0) 的对称点为P1′(2a－x1，－y1)， 由f(a－x)＋f(a＋x)＝0，用x－a取代上式中的x， 得f(2a－x)＝－f(x)，则f(2a－x1)＝－f(x1)＝－y1， 故P′(2a－x1，－1) 在函数 y＝f(x) 图象上， ∴函数 y＝f(x) 图象关于点(a，0)对称.
我们已经知道，函数是建立在两个非空数集之间的一种对应关系：对于集合 A中的每一个实数 x ，在集合 B中都有唯一的实数 y 和它对应. 是否存在两个普通集合之间的类似的对应关系呢?
例如，坐标平面内的所有点组成的集合为 A，所有的有序数对组成的集合为B＝ {(x，y)∣x∈R，y∈R}.让每一点与其坐标对应，则 A 中的每一个元素(点)，在 B 中都有唯一的元素(有序数对)与之对应.
一般地，设 A，B 是两个非空集合，如果按某种对应关系 f，对于A 中的每一个元素，在 B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应称为从集合 A 到集合 B 的映射(mapping)，记为f：A→B
根据映射的定义，可以知道图中，(4)的对应是从 A到B 的映射(1)(2)(3)的对应不是从 A到B 的映射.
1. 假定某高中每个班级都有 45 位同学，每个班级学生按 1~45进行编号，全校学生的姓名都不相同. 设集合 A＝{x∣x为某高中的学生的姓名)，B＝{x∣1≤x≤45，x∈N}，f：每个学生姓名对应学生的编号；g： 每个编号对应学生的姓名. 问：f是否为从A到B的映射? g是否为从B到A的映射?
2. 设A＝B＝{a，b，c，d，e，···，x，y，z}(元素为 26 个英文字母)，作映射 f：A→B为
并称 A 中字母拼成的文字为明文，相应的 B中对应字母拼成的文字为密文.(1) mathematics 的密文是什么?(2) 试破译密文 ju jt gvz.
3. 如图，小明同学在学习映射时，找到了生活中的一个实例—纽扣对应，你能再举一些生活中与映射有关的例子吗? 4.映射与函数有什么区别与联系?
f(x)＋g(x)，f(x)g(x) 和 f(g(x))的单调性
我们知道，函数 f(x)＝x2与 g(x)＝2x 在R上都是增函数，那么，函数 f(x)＋g(x)即 x3＋2x 在R上是否仍是增函数?能说明理由吗?
一般地，设函数 f(x)，g(x)的定义域均为 A，尝试探究： (1) 若函数 f(x)，g(x) 都是增函数,试判别函数 f(x)＋g(x) 在定义域 A 上的单调性，并说明理由.又若 f(x)，g(x) 都是减函数，结果如何呢? 试说明理由.(2) 函数 f(x)，g(x) 都是增函数或都是减函数，判别函数 f(x)g(x) 在定义域 A 上的单调性.
总结上述探究(1)(2)，你能得到哪些结论?并继续探究，将你探究的结果填入下表中(用“增函数”“减函数” “不能确定”填空)：
我们知道，定义在 R 上的函数 f(x)＝2x 与定义在非负实数集上的函数 g(x)＝x2 都是增函数，那么函数 f(g(x))是否仍为增函数?说明理由.
一般地，设函数 f(x) 的定义域为 F，g(x)的定义域为 G，且g(x)的值域为 F 的子集.(1) 若 f(x)，g(x) 都是增函数，试判别 f(g(x))的单调性；(2)若 f(x)是增函数，g(x)是减函数，试判别f(g(x))的单调性.
1637 年，法国数学家笛卡儿(R.Descartes，1596-1650)在《几何学》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及了变量，同时也引入函数的思想.1692年，德国数学家莱布尼茨(G.Leibniz，1646-1716)最早使用“函数”这个词，他用“函数”表示随着曲线的变化而改变的几何量，如切线和点的纵坐标等.
1718 年，瑞士数学家约翰·伯努利( J . Bernulli，1667 —1748)给出函数新的解释：“由变量 x 和常量用任何方式构成的量都可以叫作 x 的函数，”
1755 年，瑞士数学家欧拉(L.Euler，1707—1783)给出了函数的如下定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而改变，那么将前面的变量称为后面变量的函数.”
在函数概念形成的早期阶段，由于接触到的函数都是解析式形式，于是多数人认为函数一定能用解析式表示，他们很难理解不能用解析式表示的函数.
随着微积分等数学领域研究的深入，人们对函数的本质理解也不断加深. 1837 年，德国数学家狄利克雷( P . G . Dirichlet，1805—1859) 认为：“如果对于 x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，
那么y是工的函数.”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：
自此，人们对函数的本质有了深刻的理解.“变量y是x的函数”意味着：只要有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值x，有一个确定的y值和它对应，而不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式.
19 世纪 70 年代后，集合概念的出现使函数概念又得到进一步的发展. 人们用集合和对应的语言来定义函数概念，可以更深入地理解函数本质.
1859 年，我国清朝数学家李善兰 (1811－1882) 将 functin 一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”这里的“函”，是包含的意思.在国外的数学书上，习惯将函数(即对应关系)记为 f，而在国内的数学书上，通常将函数写为 f(x).
收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函数发展的过程、重要的结果，函数发展中的重要人物、事件及其对人类文明的贡献.