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    (备战24高考数学)12.(回归教材)有心圆锥曲线的三个定义及应用

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    12.有心圆锥曲线的三个定义及应用关于椭圆与双曲线的定义,在人教版新教材中均有涉及,而且不光是第一定义,焦点与准线型定义,斜率型定义均作为例题和习题出现,而且教材也鲜明地指出了这三个定义之间的关系. 翻看近年全国卷的题目,我们发现很多选填题都是会涉及到这三个定义(解答题亦有考察),本节,我将从椭圆的第一定义出发,逐次推出二,三定义,并通过例题分析其进一步的应用.一.基本原理1.椭圆标准方程推导:由椭圆定义可知:椭圆可以看成点集,于是,假设焦点,的坐标分别为,点,那么:①将①式左端的一个根号移到右端,再两边平方整理可得:②对②式继续平方,再整理可得:③由定义可知:,令,那么可得椭圆标准方程④.这样我们将定义代数,坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④.2.椭圆的焦半径公式:在上述推导中,定位到②式,⑤,⑤式右端表示椭圆上的点到右焦点的距离,即,为离心率. 同理可得:(“左加右减”).3.椭圆的第二定义:继续定位到②式,⑥. ⑥式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率.利用第二定义,下面推导椭圆的焦点弦相关结论.4.角度形式焦半径:上加下减.证明:设椭圆的准线与轴交于点,为椭圆的左右焦点,过右焦点的直线与椭圆交于两点.设,过两点向准线引垂线,垂足记为点.根据椭圆第二定义,,.过两点再向轴引垂线,垂足记为点.显然,再代入可得,整理化简:同理可得:5.比例式.进一步,设椭圆的焦点在轴上,过点且斜率为的直线交椭圆于两点,若,则.6.椭圆第三定义:由④式,⑦,⑦式表明椭圆上的点到左右两顶点的斜率之积为一个定值.实际上,若我们将上述第三定义的推导过程进一步推广,假设是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称,那么椭圆上任意点(不与重合)到点的斜率之积为一个定值.证明:设的坐标分别为,,则由于三点均在椭圆上,故满足:,即.二.典例分析例1.(2022甲卷)椭圆的左顶点为,点均在上,且关于轴对称.若直线的斜率之积为,则的离心率为A. B. C. D. 解析:椭圆的右顶点为,由于点均在上,且关于轴对称,所以直线也关于轴对称,由椭圆第三定义,即,,.例2.(2019全国1卷)已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为A. B. C. D.解:如图所示:设,由,代入焦半径公式到可得:.再由 .结合(1),(2)式可得,,故,,这样在三角形与三角形中分别使用余弦定理可得:.小结:通过坐标表示出焦半径的关系,进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.例3.(2019全国三卷)设为椭圆的两个焦点,为上一点且在第一象限.若为等腰三角形,则的坐标为___________.解:由已知可得,.∴.由焦半径公式可知设,由焦半径公式可知再代入椭圆方程可解得的坐标为.例4.(2018全国三卷)已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,线段的中点为.(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且,证明成等差数列,并求该数列的公差.解析:(1)设,则.两式相减,并由得.由题设知,于是.①由题设得,故.(2)由题意得,设,则.由(1)及题设得. 又点P在C上,所以,从而,. 于是. 同理.所以.故,即成等差数列.设该数列的公差为d,则.② 将代入①得.所以l的方程为,代入C的方程,并整理得:.故,代入②解得. 所以该数列的公差为或.注:椭圆的焦半径公式在例4的解题中起到了关键性作用!对于该公式,其推导很简单,就是两点间距离公式再结合椭圆方程可得,所以,在解答题中,考生们完全有机会自行推倒后利用其解题!

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