湖南省衡阳市华新实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：根据加减乘除法则逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，该选项是错误的；
B、与不是同类项，故选项是错误的；
C、，故选项是错误的；
D、，故选项是正确的；
故选：D
2. 用配方法解方程：，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据，配方得进行作答即可．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
3. 等腰三角形的两边a、b满足，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 18B. 24C. 18或24D. 14或24
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及非负数的性质．直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用等腰三角形的定义得出答案．
详解】解：∵，，，
∴，，
解得：，，
当a为腰长时，∵，∴此情况不存在；
当b为腰长时，，
∴，
故选：B；
4. 某商品原价168元，经过连续两次降价后的售价为128元，设平均每次降价的百分数为x，则下面所列方程中正确的是（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分数为x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，据此列方程即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分数为x，
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
5. 平面直角坐标系中，，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查点坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题的特征是解题的关键；因此此题可根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”进行求解即可．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为；
故选C．
6. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 中秋节晚上一定能看到月亮
B. 某彩票中奖率是，买100张彩票一定会中奖
C. 明天的气温一定会比今天的高
D. 地球上，上抛的篮球一定会下落
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，根据必然事件与随机事件的定义逐一判断即可求解，熟练掌握必然事件与随机事件的定义是解题的关键．
【详解】解：A、中秋节晚上一定能看到月亮，随机事件，故不符合题意；
B、某彩票中奖率是，买100张彩票一定会中奖，随机事件，故不符合题意；
C、明天的气温一定会比今天的高，随机事件，故不符合题意；
D、地球上，上抛的篮球一定会下落，必然事件，故不符合题意，
故选D．
7. 如图，在中，，若，则的长度为（ ）
A. 5B. C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据余弦的定义可求出的长，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：，，
，即，
，
故选：D．
8. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键．
【详解】解：两条直线被三条平行线所截，
，
，，
，
，
故选：B．
9. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出，根据三角形的外角性质求出即可．
【详解】解：，是斜边上的中线，
，
，
，
故选：B．
10. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ）
A. 图象过原点B. 对称轴是直线
C. 顶点是D. 有最小值1
【答案】B
【解析】
【分析】求出当x=0时y的值即可判断A，根据二次函数的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵当x=0时，y=0+1=1≠0，故A不正确；
∵，∴对称轴是直线，顶点是(0，1)，故B正确，C错误；
∵-2＜0，∴抛物线开口向下，有最大值1，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．
11. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（ ）
A. ﹣3B. ﹣C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵＝，
∴＝，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOB＝，
∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，
∵双曲线y＝在第二象限，
∴k＝﹣2×＝﹣3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．
12. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，），则下列结论：①，②，③，④，⑤（）（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，
，故①正确；
②抛物线与轴有两个交点，
，
，故②正确；
③当时，，故③正确；
④当时，，
，故④正确；
⑤当时，取到值最小，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，先随的增大而减小，后y随x的增大而增大，故⑥错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
13. 若式子有意义，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式，求出答案．
【详解】解：根据题意得：
式子有意义，
，
解得：，
故答案为：．
14. 在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是________
【答案】32
【解析】
【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，
∴相似比，
∴面积比，
∴这次复印出来的图案的面积．
故答案是：32．
【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
15. 若，，则________．
【答案】104
【解析】
【分析】首先将a-b=8左右平方得出a2-2ab+b2=64，进而求出即可．
【详解】解：∵a-b=8，
∴（a-b）2=64，
∴a2-2ab+b2=64，
∴a2+b2=64+2ab=64+2×20=104．
故答案为：104．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，得出（a-b）2=64进而求出是解题关键．
16. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________．
【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可）
【解析】
【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．
【详解】二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2，
A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4
所以y2˂ y1˂y3
故答案为：y2˂ y1˂y3
【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键．
17. 如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为，斜坡AB的水平宽度米，则斜坡的铅直高度的长为______米．

【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了坡度的知识，理解并掌握坡度的定义是解题关键．根据坡度的定义可得，代入数值求解，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，斜面坡度为，斜坡AB的水平宽度米，
即在中，，
∴可有，
解得米．
故答案为：6．
18. 如图，已知A1、A2、A3、A4，……An 是x轴上的点，且OA1= A1A2=A2A3=A3A4=……=1，分别过点A1、A2、A3、A4，……An作x轴的垂线交二次函数（x＞0）的图像于点P1、P2、P3、……、Pn．若记OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2 P3B3于点B2，记P2B2P3的面积为S3，依次进行下去，最后记Pn－1B n－1P n的面积为Sn，则Sn=______
【答案】
【解析】
【分析】先由题意求出、、、的坐标，然后求出、、、，进而利用三角形面积公式求得、、、，由此总结规律进行求解即可．
【详解】解： OA1= A1A2=A2A3=A3A4=……=1，分别过点A1、A2、A3、A4，……An 做x轴的垂线交二次函数（x＞0）的图像于点P1、P2、P3、……、Pn，
、、、，
，，，，
，，，
，，，
，
，
，
，
…..
由此可得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的规律问题，关键是先求出图像中线段的长，然后求出三角形的面积，由此得出规律进行求解即可．
三、解答题（19，20题，每题6分；21，22，23，24题，每题8分；25题10分；26题12分）
19. 计算：
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值．先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值化简，再计算，即可求解．
【详解】解：
．
20. 长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索的长米，主塔处桥面距地面米，试求的高度．（结果精确到米，参考数据：，，）
【答案】主塔的高约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据直角三角形中由三角函数得出相应长度，再由可得出.
【详解】解：在中，，，
，
（米）
答：主塔的高约为米．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于轴对称的，
（2）以原点为位似中心，在第二象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，点的坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换、轴对称变换．
（1）根据轴对称的性质得到的坐标，然后描点连线得到即可；
（2）把的横纵坐标都乘以得到的坐标，然后描点连线即可．
【小问1详解】
解：如图所示，为所作；
【小问2详解】
解：如图所示，为所作，点的坐标为；

22. 为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是_______；
（2）把图2条形统计图补充完整；若学校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______；
（3）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
【答案】（1）人
（2）216人 （3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．也考查了统计图．
（1）用等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去、、等级的人数得到等级人数，再补全条形统计图，利用样本估计总体，用1800乘以等级所占百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的两人刚好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
本次抽样测试的学生人数为（人）；
【小问2详解】
D等级的人数为，
条形统计图补充为：

（人），
所以估计不及格的人数为216人；
【小问3详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6，
所以选中的两人刚好是一男一女的概率．
23. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围
（2）若满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解一元二次方程；
（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点（A点在B点右侧），一次函数的图象经过A、C两点，已知.
（1）求该二次函数和一次函数的解析式
（2）连接BC，求△ABC的面积
【答案】(1) ; (2)3.
【解析】
【分析】（1）由二次函数y＝−x2+bx−2的解析式可求出和y轴交点的坐标即点C的坐标，由已知条件求出OA的长度进而求出点A的坐标，把A，C的坐标分别代入即可求出二次函数和一次函数的解析式；
（2）令y=0，求出B点的坐标即OB的长度，所以AB的长度可以求出，又因为AB上的高为OC，利用面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】（1）在y＝−x2+bx−2中，
令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
在Rt△AOC中，OA==4，
∴A（4，0）．
∵y＝−x2+bx−2过A（4，0），
∴0＝−×42+b×4−2，
∴b=，
∴y＝−x2+x−2．
∵y=mx+n（m≠0）过A（4，0）、C（0，-2），
∴，
∴，
∴y=x-2；
（2）在y＝−x2+x−2中，
令y=0，得x1=1，x2=4，
∴B（1，0），
∴OB=1，
∴AB=OA-OB=3，
∴S△ABC=×AB•OC=×3×2=3．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，解答本题的关键是进行数形结合进行解题，要熟练掌握二次函数和一次函数的性质，本题是一道比较不错的习题．
25. 某网店专售一种杭州亚运会纪念品，其成本为每件元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品每件获利不得高于，据市场调查发现，若每件销售价元，月销售量件，每增加元，月销量减少件.
（1）若每件销售价80元，则每月可得利润__________元.
（2）设每件商品销售价为x元，该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售单价为元时，每月获得的利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，不等式组的应用；
（1）根据利润等于单件的利润乘以数量，即可求解；
（2）根据题意得出，，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，每件销售价80元，则每月可得利润为，
故答案为：．
【小问2详解】
设每件商品销售价为x元，该网店每月获得的利润为w元，
∴
∵
解得：，
∵，，当时，随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为
答：当销售单价为元时，每月获得的利润最大，最大利润是元
26. 如图，矩形中，为上一点，，动点F从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动．连，过E作的平行线交射线于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D，E，F在同一直线的情况）．
（1）当时，试求出的长．
（2）当F在线段上时，设面积为周长为W．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，W有最小值．
（3）当与相似时，求t的值．
【答案】（1）
（2） ②
（3）或 或
【解析】
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可；
（2）①利用三角形面积公式计算即可；②当最小时最小，作点关于的对称点，连接，此时最小；
（3）由推出，推出 ，分三种情形当点在点的左边时，即时， ，当时，当，当点在点的右边时，即时, 若时，分别构建方程求解即可；
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
∵，
即: ，
，
∵，
∴，
又∵是矩形，
∴，
∴，
，即:，
解得：，
当，此时 ；
【小问2详解】
的面积的面积，
即；
②如图，
，
，
根据勾股定理得， ，是定值，
所以当最小时最小，作点关于的对称点
连接，此时最小，
在中, ，
根据勾股定理得，
，
∴的最小值为；
【小问3详解】
∵，
∴，
又∵，

，即 ，
，
当点在点的左边时，
即时, ，
此时, 当时，，即 ，
解得：；
此时，当时，有，即 ，
解得：；
当点在点的右边时，即时, ，
此时, 当时，
即 ，解得：；
综上， 或 或
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、轴对称的性质、矩形的性质、掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键