2023年河南省郑州市中考数学模拟试题分类汇编：几何综合压轴题

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一、解答题
1．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点．
【猜想证明】
（1）当时，四边形的形状为______；（直接写出答案）
（2）如图②，当时，连接，求此时的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由．

2．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值．
问题：若时，值为___________ ；
【操作探究】如图，在中，；
爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值．
【解决问题】如图，在菱形中，若、分别是边、上的动点，且，作，垂足分别为、，则的值为__________ ．

3．（2023·河南郑州·校考三模）在中，，，点为边的中点，以为一边作正方形，
（1）如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为______；
（2）在（1）的条件下，
①如果正方形绕点旋转，连接、、，线段与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
②正方形绕点旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时．直接写出线段AF的长．
4．（2023·河南郑州·校考三模）综合与实践
【问题背景】

如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的处．
【问题解决】
(1)填空：的长为______；
(2)如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长．
(3)【拓展探究】如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为1时，直接写出平移的距离．
5．（2023·河南郑州·统考二模）【问题背景】在综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展探究活动．正方形中，点P是边上一点（不与点D，C重合），连接．
【操作发现】

(1)如图①，将沿折叠，得到，连接并延长交于点F，则线段，的数量关系是______．
(2)如图②，将正方形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕分别与，交于点M，N，请你判断线段，的数量关系，并说明理由．
(3)【实践探究】如图③，连接交于点G，与相交于点H．求证：．
(4)在图③中，若点P是的中点，，请直接写出的长．
6．（2023·河南郑州·校联考二模）已知和都是等腰三角形，，．

(1)当时，
①如图1，当点在边上时，请直接写出和的数量关系： ；
②如图2，当点不在边上时，判断线段和的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，当时，请直接写出和的数量关系： ；
(3)在（1）的条件下，将绕点逆时针旋转，当时，请直接写出的长度．
7．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．

(1)【问题发现】
如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 ；和的位置关系是 ；
(2)【类比探究】
如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N．
①求的度数；
②连接交于点H，直接写出的值；
(3)【拓展延伸】
如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值．
8．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．
根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：______．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由；
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片的边长为，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
9．（2023·河南郑州·统考二模）如图，正方形，动点E从点A出发沿向点D运动，连接，以为边在其右侧作正方形，与相交于点H．

(1)在点E的运动过程中，点G的位置也随之改变，则点G始终在直线上吗？如果在，请给出证明，如果不在，请说明理由；
(2)当点E在边上运动时，的面积如何变化？请写出研究过程．
10．（2023·河南郑州·校考一模）“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点P，沿将折叠，得到，点D的对应点为点Q．
(1)问题提出：若点Q落在上，，连接．
①是______ 三角形；
若是等边三角形，则的长为______ ．
(2)深入探究：在（1）的条件下，当时，判断的形状并证明；
(3)拓展延伸；若，，其他条件不变，当点Q落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．
11．（2023·河南郑州·校考二模）综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有30°角的直角三角形．
实践操作：
第一步：如图①，矩形纸片ABCD的边长，将矩形纸片ABCD对折，使点D与点A重合，点C与点B重合，折痕为EF，然后展开，EF与CA交于点H．
第二步：如图②，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线再次折叠，使CD落在对角线CA上，点D的对应点恰好与点H重合，折痕为CG，将矩形纸片展平，连接GH．
(1)在图②中，______，______；
(2)在图②中， ______；从图②中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
(3)拓展延伸：将上面的矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，点D的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为m，则m的取值范围是______．
12．（2023·河南郑州·统考一模）问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程：
动手操作：步骤一：将正方形纸片（边长为4cm）对折，使得点A与点D重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1.
步骤二：将图1中的纸片的右上角沿着折叠，使点D落到点G的位置，连接，，得到图2.
步骤三：在图2的基础上，延长与边交于点H，得到图3.
问题解决：
(1)在图3中，连接，则的度数为______，的值为______；
(2)在图3的基础上延长与边交于点M，如图4，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图4中的正方形纸片过点G折叠，使点A落在边上，然后再将正方形纸片展开，折痕分别与边，交于点P，Q．求的长．
13．（2023·河南郑州·校联考模拟预测）实践与探究：
（1）操作一：如图1所示，将矩形纸片对折并展开，折痕与对角线交于点E，连接，直接写出与的数量关系为___________；
（2）操作二：如图所示，摆放矩形纸片与矩形纸片，使B、C、G三点在一条直线上，在边上，连接，M为的中点，连接．求证：；
（3）操作三：如图3所示，摆放正方形纸片与正方形纸片，使点F在边上，连接，M为的中点，连接．已知正方形纸片的边长为5，正方形纸片的边长为，直接写出的长．
14．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考一模）如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上．
(1)如图1，当折痕的另一端F在边上，且时，则____________；
(2)如图2，当折痕的另一端F在边上，点E与D点重合时，判断和是否全等？请说明理由．
(3)若，当折痕的另一端F在边上，点E未落在边上，且点E到的距离为2时，直接写出的长．
15．（2023·河南郑州·统考一模）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是______；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是_________
(2)点E在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立?请说明理由．
②如图3，连接，若正方形的边长为1，直接写出的周长c的取值范围．