2023-2024学年广东省茂名市化州市高一上学期1月期末数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年广东省茂名市化州市高一上学期1月期末数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x−1A. x−12.下列函数中，在(0,+∞)上为减函数的是
( )
A. y= xB. y=−1xC. y=12x+1D. y=lg2x
3.tan150∘−cs420∘sin−1050∘的值为
( )
A. 12B. −12C. 33D. − 33
4.函数y=lg|x|x3的图象大致是
A. B. C. D.
5.若f(x)=2x，且a=1213，b=13−15，c=lg512，则
( )
A. f(a)C. f(c)6.已知角α的终边经过点P3,4，则cs2α+π4=( )
A. −31 250B. 31 250C. −17 250D. 17 250
7.设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a,a2]满足方程lgax+lgay=3，这时a的取值集合为( )
A. {a|18.已知函数fx=lg3x,03，若方程fx=m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，满足x1( )
A. 0,3B. 0,4C. 3,4D. 1,3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. lg(lg10)=0B. elnπ=π
C. 若e=lnx，则x=e2D. ln(lg1)=0
10.下列说法中正确的有( )
A. 命题p:∃x0∈R,x02+2x0+2<0，则命题p的否定是∀x∈R,x2+2x+2≥0
B. “|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
C. 若命题“∀x∈(2,3),3x−a<0”是真命题，则a的取值范围为a≥9
D. “m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y=f(x)的图象
( )
A. 关于点(−π16,0)对称B. 关于点(π16,0)对称
C. 关于直线x=−π16对称D. 关于直线x=−π4对称
12.存在实数a使得函数f(x)=2x+2 −x−ma2+a−3有唯一零点，则实数m可以取值为
( )
A. −12B. 14C. 12D. 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)= 4−x2+11−x的定义域是．
14.已知sinα+π2=35，且α为第四象限角，则csα+π4= ．
15.已知函数f(x)=x2,x≥02x,x<0，则f(lg913)= ．
16.偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x，则f43= ，则若在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−kx−k有4个零点，则实数k的取值范围是．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax−1(a>0，且a≠1)．
(1)若函数f(x)的图象过点(3,4)，求实数a的值；
(2)求关于x的不等式f(x)>a3的解集．
18.(本小题12分)
已知f(x)=sinωxω>0．
(1)函数y=f(x)的最小正周期是4π，求ω，并求此时f(x)=12的解集；
(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+ 3f(−x)f(π2−x)，求函数y=gx，x∈[0,π4]的值域．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2ax−1．
(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f(x)在(−∞,4]上是减函数，那么实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)=400−kx,040.当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx(csx− 32sinx)+ 32cs2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)−m≥2在[−π4,π3]上恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知f(x)=b−3x3x−1+t是定义在R上的奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知a>0，且a≠1，若对于任意x∈[1,+∞)，存在m∈[−2,1]，使得f(x)−x2+2x+52≤am+1成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了交集运算，属于基础题．
先化简集合B，然后求交集即可．
【解答】
解：∵A={x|−1B={x|xx−2<0}={x|0∴A∩B=x|0故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案．
【详解】y= x=x12，因为12>0，所以y= x在(0,+∞)上为增函数，故 A错误；
y=1x在(0,+∞)上为减函数，所以y=−1x在(0,+∞)上为增函数，故 B错误；
0<12<1，所以y=12x+1在(0,+∞)上为减函数，故 C正确；
2>1，所以y=lg2x在(0,+∞)上为增函数，故 D错误；
故选：C．
3.【答案】C
【解析】直接利用诱导公式进行化简计算即可得解．
【详解】tan150∘−cs420∘sin−1050∘
=−tan180∘−30∘cs360∘+60∘−sin3×360∘−30∘
=tan30∘cs60∘sin30∘
= 33×1212
= 33．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】利用函数的奇偶性、特殊值判断函数图象形状与位置即可．
【详解】函数y=lgxx3是奇函数，所以选项 A，B不正确；
当x=10时，y=1103>0，图象的对应点在第一象限，
D正确；C错误．
故选D．
【点睛】本题考查函数的图象的判断，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、特殊值等方法判断．
5.【答案】C
【解析】【分析】先根据指数函数和对数函数的性质比较a,b,c的大小，再利用指数函数的单调性可得答案．
【详解】因为y=12x在R上单调递减，且13>0，
所以0<1213<120=1，即0因为y=13x在R上单调递减，且−15<0，
所以13−15>130=1，即b>1，
因为y=lg5x在(0,+∞)上递增，且12<1，
所以lg512所以b>a>c，
因为f(x)=2x在R上单调递增，
所以f(b)>f(a)>f(c)，
故选：C
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数定义和两角差的余弦公式、二倍角公式．
根据角α的终边经过点P3,4，利用三角函数的定义可求出α的正弦和余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解．
【解答】
解：∵角α的终边经过点P(3,4)，
∴|OP|= 32+42=5，
由三角函数的定义知：cs α=35，sin α=45，
∴cs 2α=2cs2α−1=2×(35)2−1=−725，
sin 2α=2sin αcs α=2×45×35=2425，
∴cs (2α+π4)=cs 2αcs π4−sin 2αsin π4=(−725)× 22−2425× 22=−31 250．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数运算及函数的单调性，属于拔高题．
由已知可得y=a3x，然后结合函数的单调性及集合的包含关系求解即可．
【解答】
解：由lgax+lgay=3，可得lga(xy)=3，
得y=a3x，在[a,2a]上单调递减，
所以y∈[a22,a2]，
又对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a,a2]满足方程，
所以a22⩾a，且a>1，
解得a⩾2．
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数的图象与性质，考查函数零点个数与方程根之间关系，数形结合思想，属于较难题目．
将问题进行转化，借助函数的图象，确定x1，x2，x3，x4之间关系，进一步来解决问题．
【解答】
解：作出函数f(x)的图象如图：
根据条件，结合图形可知0则(x3−3)(x4−3)x1x2=(x3−3)(10−x3−3)=(x3−3)(7−x3)=−(x3−5)2+4，其中其中3因为−(x3−5)2+4在(3,4)上单调递增，故(x3−3)(x4−3)x1x2∈(0,3)，
故选：A．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．
本题考查对数的运算法则的应用，命题的真假的判断，是基础题．
【解答】
解：lg(lg10)=lg1=0，所以A正确；
elnπ=π，满足对数的运算法则，所以B正确；
若e=lnx，则x=ee，所以C不正确；
ln(lg1)=ln0，0没有对数，所以D不正确；
故选：AB．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可．
【详解】对于A，命题p:∃x0∈R,x02+2x0+2<0，则命题p的否定是∀x∈R,x2+2x+2≥0，故 A正确；
对于B，x>y不能推出x>y，例如−2>1，但−2<1；
x>y也不能推出x>y，例如2>−3，而2<−3；
所以“x>y”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故 B错误；
对于C，∀x∈(2,3),3x−a<0，即a>3x，
即a≥9，故a的取值范围为a≥9，故 C正确；
对于D，关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根⇔4−4m>0m<0⇔m<0,
所以“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件，故 D正确．
故选：ACD．
11.【答案】BC
【解析】先根据已知求出f(x)=sin4x−π4，再令4x−π4=kπ,k∈Z，即得函数图象的对称中心，令4x−π4=kπ+π2,k∈Z，即得函数图象的对称轴方程．
【详解】因为函数y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，所以函数的周期为π2，
∴ω=2πT=4，∴f(x)=sin(4x+φ)，
将函数y=f(x)的图象向左平移3π16个单位后，得到函数y=sin4x+3π16+φ图象，
∵图象关于y轴对称，
∴4×3π16+φ=kπ+π2,k∈Z，即φ=kπ−π4,k∈Z，
又|φ|<π2,∴φ=−π4，∴f(x)=sin4x−π4，
令4x−π4=kπ,k∈Z，解得x=kπ4+π16,k∈Z，
k=0时，x=π16，所以f(x)的图象关于点π16,0对称.故B正确．
令−π16=kπ4+π16,k∈Z，得k=−12不满足，故 A不正确．
令4x−π4=kπ+π2,k∈Z，所以函数的对称轴方程为x=kπ4+3π16,k∈Z．
令−π4=kπ4+3π16,k∈Z，得k=−74不满足，故 D不正确．
当k=−1时，对称轴方程为x=−π16,所以 C正确．
故选：BC．
【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数的图象性质求解析式，再考查其对称性，解答本题的关键是根据三角函数的图象性质求出函数解析式，然后利用整体思想令4x−π4=kπ,k∈Z得出对称中心，令4x−π4=kπ+π2,k∈Z得出函数的对称轴方程，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】【分析】转化为2x+2 −x=ma2−a+3有唯一的解，构造函数，结合基本不等式，得到关于a的方程ma2−a+3=2有根，考虑m=0与m≠0，结合根的判别式得到不等式，求出答案．
【详解】由题意得，存在实数a使得2x+2 −x=ma2−a+3有唯一的解，
令gx=2x+2−x，其中gx=2x+2−x≥2 2x⋅2−x=2，当且仅当2x=2−x，
即x=0时，等号成立，
故关于a的方程ma2−a+3=2有根，
即ma2−a+1=0，当m=0时，−a+1=0，此时a=1，满足要求，
当m≠0时，由Δ=1−4m≥0得，m≤14，
综上，−12和14满足要求．
故选：AB
【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
(1)转化为函数最值问题，利用导数解决；
(2)转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；
(3)参变分离法，结合函数最值或范围解决．
13.【答案】−2,1∪1,2
【解析】根据使函数有意义列出式子求解即可．
【详解】解：要使f(x)= 4−x2+11−x有意义，
则需满足： 1−x≠04−x2≥0,
解得：−2≤x<1，或1所以f(x)的定义域为：−2,1∪1,2．
故答案为：−2,1∪1,2．
14.【答案】7 210
【解析】【分析】
此题主要考查诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的三角函数公式，先由诱导公式求出csα=35，再由同角三角函数的基本关系求出sinα，最后由两角和的余弦公式进行求解即可．
【解答】
解：由sinα+π2=csα得csα=35，
且α为第四象限角，故sinα=− 1−cs2α=−45，
故csα+π4=csα·csπ4−sinα·sinπ4
=35× 22−−45× 22=7 210．
故答案为7 210．
15.【答案】−1
【解析】【分析】根据函数的解析式，结合对数的运算法则，代入即可求解．
【详解】由题意，函数f(x)=x2,x≥02x,x<0，且lg913=lg99−12=−12，
所以f(lg913)=f(−12)=2×(−12)=−1．
故答案为：−1．
16.【答案】23；(0,14]
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点问题，函数图象的应用，数形结合思想，属于中档题．
由题意，函数f(x)是周期为2的周期函数，由f(43)=f(23)可得结论；要使在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−kx−k有4个零点，等价为：在区间[−1,3]内，函数f(x)与ℎ(x)=k(x+1)有四个不同的交点，作出两个函数的图象，结合图象可得0<ℎ(3)⩽1解得即可．
【解答】
解：∵偶函数f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，
∴f(x)=f(x+2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，
∵当x∈[0,1]时，f(x)=x，
∴f(43)=f(43−2)=f(−23)=f(23)=23;
若−1≤x≤0，则0≤−x≤1，
则f(−x)=−x=f(x)，即f(x)=−x，(−1≤x≤0)，
由g(x)=f(x)−kx−k=0得f(x)=k(x+1)，
要使在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−kx−k有4个零点，
等价为：在区间[−1,3]内，函数f(x)与ℎ(x)=k(x+1)有四个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：
ℎ(x)过定点A(−1,0)，f(3)=1，
则0<ℎ(3)⩽1，
即0<4k≤1，得0即实数k的取值范围是(0,14].
故答案为23；(0,14].
17.【答案】解：(1)据题意，得a3−1=4，
∴a=−2或a=2．
又∵a>0，且a≠1，
∴a=2；
(2)∵f(x)>a3，
∴ax−1>a3．
又∵a>0，且a≠1，
讨论：
(i)当a>1时，x−1>3，
∴x>4；
(ii)当0∴x<4．
综上，当a>1时，关于x的不等式f(x)>a3的解集为(4,+∞)；
当0a3的解集为(−∞,4)．
【解析】本题考查了指数函数的性质，指数不等式的解法，属于中档题．
(1)代值求出函数的表达式，得出a的值即可；
(2)对a进行分类讨论解不等式即可求出．
18.【答案】解：(1)依题意，2πω=4π，解得ω=12，则f(x)=sin12x，由f(x)=12，得sinx2=12，
解得x2=2kπ+π6或x2=2kπ+5π6,k∈Z，即x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3,k∈Z
所以f(x)=12的解集为{x|x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3,k∈Z}．
(2)依题意，f(x)=sinx，g(x)=sin2x+ 3sin(−x)sin(π2−x)=12−12cs2x− 3sinxcsx
=12−12cs2x− 32sin2x=12−sin(2x+π6)，
当x∈[0,π4]时，2x+π6∈[π6,2π3]，则有12≤sin(2x+π6)≤1，−12≤12−sin(2x+π6)≤0，
所以函数y=gx，x∈[0,π4]的值域为[−12,0]．

【解析】(1)利用正弦函数的周期公式求出ω，再求出方程的解集即得．
(2)利用二倍角公式及辅助角公式求出g(x)，再利用正弦函数性质求出值域即可．
19.【答案】解：(1)由题可知，f(1)=1+2a−1=2，即a=1，
此时函数f(x)=x2+2x−1=(x+1)2−2≥−2，
故当x=−1时，函数f(x)min=−2．
(2)若f(x)为偶函数，
则有对任意x∈R，都有f(−x)=(−x)2+2a(−x)−1=f(x)=x2+2ax−1，
即4ax=0，故a=0．
(3)因为函数f(x)=x2+2ax−1的单调减区间是(−∞,−a]，
而f(x)在(−∞,4]上是减函数，
所以4≤−a，即a≤−4，
故实数a的取值范围为(−∞,−4]．
【解析】本题主要考查二次函数的性质应用，属于中档题．
(1)由f(1)=2，解得a=1，此时函数f(x)=x2+2x−1=(x+1)2−2，由此可得函数f(x)的最小值;
(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x∈R，都有f(−x)=f(x)，由此求得实数a的值;
(3)由于函数f(x)=x2+2ax−1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，可得4≤−a，由此求得实数a的取值范围．
20.【答案】解：(1)由题意可算出k=6，则
当0当x>40时，W=xR(x)−(16x+40)=−40000x−16x+7360，
∴W=−6x2+384x−40,040．
(2)①当0∴当x=32时，Wmax=W(32)=6104，
②当x>40时，W=−40000x−16x+7360=−(40000x+16x)+7360≤−2 40000x⋅16x+7360=5760，当且仅当40000x=16x即x=50时，等号成立，
即当x=50时，Wmax=5760，
综上所述，当x=32时，W取得最大值为6104万美元，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．
【解析】(1)由题意可算出k=6，分段分别求出利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式，再写为分段函数的形式即可．
(2)当040时W=−40000x−16x+7360，利用基本不等式求出W的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为W的最大值．
本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=sinxcsx− 32sin2x+ 32cs2x
=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)，
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z.
(2)由x∈−π4,π3得2x+π3∈[−π6,π]，∴sin(2x+π3)∈[−12,1]，即f(x)∈[−12,1]，
由f(x)−m⩾2在−π4,π3上恒成立，
所以m≤[f(x)−2]min，
又因为[f(x)−2]min=−52，
则m≤−52，所以m的取值范围为(−∞,−52].

【解析】本题考查了三角函数单调区间的求法，考查不等式恒成立问题，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．
(1)化简f(x)=sin(2x+π3)，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，即可得到函数f(x)的单调递增区间；
(2)由x∈−π4,π3得2x+π3∈[−π6,π]，由f(x)−m⩾2在−π4,π3上恒成立，可得m≤[f(x)−2]min，进而求出m的取值范围．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=b−3x3x−1+t是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=0f(−1)=−f(1)，即b−1=0b−3−13−2+t=−b−31+t，
解得b=1t=13，经检验，b=1t=13满足f(x)是定义在R上的奇函数，
则f(x)=1−3x3x−1+13=3−3x+13x+1．
(2)令g(x)=f(x)−x2+2x+52(x≥1)，
由(1)可知g(x)=−3(3x+1)+63x+1−x2+2x+52=63x+1−(x−1)2+12．
可知函数y=63x+1与y=−(x−1)2+12均是[1,+∞)上的减函数，
则g(x)是[1,+∞)上的减函数，则g(x)max=g(1)=2．
令ℎ(m)=am+1(−2≤m≤1)，
对于任意x∈[1,+∞)，存在m∈[−2,1]，使得f(x)−x2+2x+52≤am+1成立，等价于g(x)max≤ℎ(m)max成立，
即2≤ℎ(m)max，
若0故1a≥2，解得0若a>1，则ℎ(m)在[−2,1]上单调递增，ℎ(m)max=ℎ(1)=a2，
故a2≥2，解得a≥ 2．
综上所述，a的取值范围为(0,12]∪[ 2,+∞)．
【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和化简运算求解能力，属于较难题．
(1)由f(x)为定义在R上的奇函数，可得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，解方程组可得b，t，注意检验，进而得到f(x)的解析式；
(2)令g(x)=f(x)−x2+2x+52(x≥1)，ℎ(m)=am+1(−2≤m≤1)，对于任意x∈[1,+∞)，存在m∈[−2,1]，使得f(x)−x2+2x+52≤am+1成立等价于g(x)max≤ℎ(m)max成立，由g(x)的单调性可得g(x)的最大值，讨论a>1，0