初中数学人教版七年级下册5.1.2 垂线随堂练习题

这是一份初中数学人教版七年级下册5.1.2 垂线随堂练习题，共15页。

典例1．（2022秋·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图，O是上一点，于点O，直线经过O点，，则的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
变式1-1．（2022秋·四川泸州·七年级统考期末）已知：如图，于点O，c为经过点O的任意一条直线，那么与的关系是（ ）
A．互余B．互补C．互为对顶角D．相等
变式1-2．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，直线BD经过点O，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式1-3．（2022秋·辽宁本溪·七年级统考期末）如图，，，垂足为点O，，垂足为点O，则等于（ ）
A．24°B．42°C．48°D．64°
考查题型二 作已知直线的垂线
典例2．（2021秋·广东珠海·七年级统考期中）过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-1．（2022秋·河北承德·七年级统考期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-2．（2022秋·河北石家庄·七年级校联考期中）下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-3．（2020秋·广西·七年级广西大学附属中学校考阶段练习）下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（ ）
A．B．C．D．
考查题型三 垂线的性质的应用
典例3．（2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
变式3-1．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
变式3-2．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间，直线最短
C．两点之间，线段最短D．垂线段最短
变式3-3．（2022秋·河南安阳·七年级统考期末）如图，从位置O到直线公路l有四条小道，其中路程最短的是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
考查题型四 点到直线的距离
典例4．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，直角三角形中，，，垂足是点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长表示点到的距离B．线段的长表示点到的距离
C．线段的长表示点到的距离D．线段的长表示点到的距离
变式4-1．如图，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列说法中，正确的个数是（ ）
①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式4-2．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则表示点A到直线CD距离的是（ ）
A．线段CD的长度B．线段AC的长度C．线段AD的长度D．线段BC的长度
变式4-3．（2022秋·山东济宁·七年级统考期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥11于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（ ）
A．点B到直线l1的距离等于4
B．点A到直线l2的距离等于5
C．点B到直线l1的距离等于5
D．点C到直线l1的距离等于5
5.1.2《垂线》
重难点题型专项练习
考查题型一 垂线的定义
典例1．（2022秋·北京·七年级北京市第一六一中学校考期末）如图，O是上一点，于点O，直线经过O点，，则的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
【答案】C
【分析】由，可得，由对顶角相等可得，根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查垂直的定义以及对顶角，题目很简单，解题时要仔细识图．
变式1-1．（2022秋·四川泸州·七年级统考期末）已知：如图，于点O，c为经过点O的任意一条直线，那么与的关系是（ ）
A．互余B．互补C．互为对顶角D．相等
【答案】A
【分析】根据对顶角相等得到，利用，得到，即可推出．
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了对顶角相等，垂直的定义，余角的定义，熟记各定义是解题的关键．
变式1-2．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，直线BD经过点O，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用垂直的含义求解 再利用邻补角的含义求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵直线BD经过点O，
∴
故选B．
【点睛】本题考查的是垂直的含义，邻补角的含义，熟练的利用垂直与邻补角的定义求解角的度数是解本题的关键．
变式1-3．（2022秋·辽宁本溪·七年级统考期末）如图，，，垂足为点O，，垂足为点O，则等于（ ）
A．24°B．42°C．48°D．64°
【答案】B
【分析】根据，，可得∠BOD=∠AOC=90°，再由，可得∠AOB=48°，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴∠BOD=∠AOC=90°，
∵，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=48°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=42°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角与角间的和与差，垂直的性质，明确题意，准确得到角与角之间的关系是解题的关键．
考查题型二 作已知直线的垂线
典例2．（2021秋·广东珠海·七年级统考期中）过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可得出正确结论．
【详解】解：A．此选项是过点A作BC边的垂线段，故错误；
B．此选项是过点B作AB边的垂线段，故错误；
C．此选项是过点C作AB边的垂线段，故此项正确；
D．此选项是过点B作CA边的垂线段，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键．
变式2-1．（2022秋·河北承德·七年级统考期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据P点在CD上，CD⊥AB进行判断．
【详解】解：过点P画AB的垂线CD，则P点在CD上，CD⊥AB，所以三角尺放法正确的为
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（过一点画已知直线的垂线）是解决问题的关键．
变式2-2．（2022秋·河北石家庄·七年级校联考期中）下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可；
【详解】根据分析可得C的画法正确；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了垂线的作法，准确理解是解题的关键．
变式2-3．（2020秋·广西·七年级广西大学附属中学校考阶段练习）下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线即可．
【详解】解：根据分析可得，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线，
选项的画法正确，
故选：．
【点睛】此题主要考查了垂线的画法，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
考查题型三 垂线的性质的应用
典例3．（2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段，，，，如图所示，其中最短的一条路线是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【答案】B
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【详解】由垂线段最短，得
四条线段，，，，如图所示，
其中最短的一条路线是，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段的的性质，熟记性质是解题关键．
变式3-1．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．
【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：C．
【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．
变式3-2．（2022秋·河北保定·七年级校考期中）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间，直线最短
C．两点之间，线段最短D．垂线段最短
【答案】D
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短．
故选D．
【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
变式3-3．（2022秋·河南安阳·七年级统考期末）如图，从位置O到直线公路l有四条小道，其中路程最短的是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【答案】C
【分析】根据垂线的性质即可得到结论．
【详解】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路l的小道是OC，
故选C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，熟记垂线的性质是解题的关键．
考查题型四 点到直线的距离
典例4．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，直角三角形中，，，垂足是点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长表示点到的距离B．线段的长表示点到的距离
C．线段的长表示点到的距离D．线段的长表示点到的距离
【答案】C
【分析】根据直线外一点，到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可．
【详解】解：A．线段的长度表示点A到的距离，说法错误，不符合题意；
B．线段的长度表示点C到的距离，说法错误，不符合题意；
C．线段的长度表示点B到的距离，说法正确，符合题意；
D．线段的长度表示点B到的距离，说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是准确识图，正确进行判断．
变式4-1．如图，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列说法中，正确的个数是（ ）
①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．逐一判断．
【详解】解：①线段BP是点P到直线l的垂线段，根据垂线段最短可知，PA，PB，PC三条线段中，PB最短；故原说法正确；
②线段BP是点P到直线l的垂线段，故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法错误；
③线段AB是点A到直线PB的垂线段，故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离，故故原说法正确；
④由题意及图形无法判断线段AC的长是点A到PC的距离，故原说法错误；
综上所述，正确的说法有①③；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
变式4-2．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则表示点A到直线CD距离的是（ ）
A．线段CD的长度B．线段AC的长度C．线段AD的长度D．线段BC的长度
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答即可．
【详解】解：点A到CD的距离是线段AD的长度．
故选C．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的概念，解题的关键是熟练掌握并理解点到直线的距离的概念．
变式4-3．（2022秋·山东济宁·七年级统考期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥11于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（ ）
A．点B到直线l1的距离等于4B．点A到直线l2的距离等于5
C．点B到直线l1的距离等于5D．点C到直线l1的距离等于5
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离的定义求解即可．
【详解】解：∵AB⊥于点B，AC⊥于点A，AB=4，AC=5，
∴点A到直线的距离等于4，点C到直线的距离等于5，
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离定义是解题关键．