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39，北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试卷()
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这是一份39，北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试卷()，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为2,−1，则1+iz=
A．3+iB．2+iC．1+iD．1−i
2．已知全集U=?，集合A={x|2x<1},B={x|x−2<0}，则∁UA∩B=
A．{x|x>2}B．{x|0≤x<2}C．{x|03．给定直线m,n和平面α，则 是m//n的一个必要非充分条件
A．m//α,n//αB．m⊥α,n⊥αC．m//α,n⊂αD．m,n与α成角相等
4．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示是一位猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是
A．492B．382C．185D．123
5．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为
A．0.384B．13C．0.128D．0.104
6．三个数a,b,c成等比数列，若a+b+c=1，则b的取值范围是
A．[0,13]B．[−1,−13]C．[0,13)D．[−1,0)∪(0,13]
7．设fx是定义在?上的奇函数，且f32−x=fx，当−1≤x<0时，fx=lg3−6x+3,则f2024的值为
A．−1B．−2C．2D．1
8．若直线y=kx+2与双曲线x2−y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是
A．−153,153B．0,153C．−153,0D．−153,−1
9．已知M为△ABC所在平面内的一点，若MB=MC=1，且AB=MB+MC,MB⋅MC=−12,则CA⋅CB=
A．0B．1C．3D．3
10．如图，曲线C为函数y=sinx0≤x≤5π2的图像，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为m,n，乙粒子的坐标为u,v，若记n−v=fm,则下列说法正确的是您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载
A．fm在区间π2,π上是增函数B．fm恰有2个零点
C．fm的最小值为−2D．fm的图像关于点5π6,0中心对称
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．函数y=lgx+lg5−2x的定义域是 .
12．若ax−25的二项展开式的第3项的系数为−10，则实数a的值为 .
13．在△ABC中，若△ABC的面积为6，c=5，tanA=43，则a的值为 .
14．设函数fx=xx+2,x≤a,lnx,x>a.
（1）若a=1，则fx的零点的个数为 ；
（2）若fx的值域为[−1,+∞)，则实数a的取值范围是 .
15．阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1−1,0，A20,−2，A33,0，A40,4，A5−5,0，A60,−6，A77,0，A80,8，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论：
①对于任意正整数n,AnAn+4=4;
②存在正整数n,AnAn+1为整数；
③存在正整数n,△AnAn+1An+2的面积为2022；
④对于任意正整数n,△AnAn+1An+2，为锐角三角形.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：（本大题共6小题，共85分）
16．（本小题满分13分）
在△ABC中，bsinA=acsB−π6.
（Ⅰ）求B;
（Ⅱ）若c=5, ，求a.
从①b=7,②C=π4这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．（本小题满分13分）
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB//平面AEC;
（Ⅱ）设AD=3,AB=2，若二面角D−AE−C的余弦值为5719，求AP的长.
18．（本小题满分14分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.（直接写出结果）
19．（本小题满分15分）
设椭C:x2a2+y2b2=1a>b>0左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭C相交于A,B两点.已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分15分）
已知函fx=x−1ex−12x2+1，gx=sinx−ax，其中a∈?.
（Ⅰ）证明：当x≥0时，fx≥0
（Ⅱ）用max{m,n}表示m，n的最大值，记Fx=max{fx,gx}.问：是否存在实数a，使得对任意x∈?，Fx≥0恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分15分）
已知{an}是公差不为0的无穷等差数列.若对于{an}中任意两项am,an，在{an}中都存在一项ai，使得ai=aman，则称数列{an}具有性质P.
（Ⅰ）已知an=3n,bn=3n+2n=1,2,3,⋯，判断数列{an},{bn}是否具有性质P;
（Ⅱ）若数列{an}具有性质P，证明：{an}的各项均为整数；
（Ⅲ）若a1=20，求具有性质P的数列{an}的个数.甲公司某员工A
乙公司某员工B
3965833201
34
4666774222
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为2,−1，则1+iz=
A．3+iB．2+iC．1+iD．1−i
2．已知全集U=?，集合A={x|2x<1},B={x|x−2<0}，则∁UA∩B=
A．{x|x>2}B．{x|0≤x<2}C．{x|0
A．m//α,n//αB．m⊥α,n⊥αC．m//α,n⊂αD．m,n与α成角相等
4．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示是一位猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是
A．492B．382C．185D．123
5．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为
A．0.384B．13C．0.128D．0.104
6．三个数a,b,c成等比数列，若a+b+c=1，则b的取值范围是
A．[0,13]B．[−1,−13]C．[0,13)D．[−1,0)∪(0,13]
7．设fx是定义在?上的奇函数，且f32−x=fx，当−1≤x<0时，fx=lg3−6x+3,则f2024的值为
A．−1B．−2C．2D．1
8．若直线y=kx+2与双曲线x2−y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是
A．−153,153B．0,153C．−153,0D．−153,−1
9．已知M为△ABC所在平面内的一点，若MB=MC=1，且AB=MB+MC,MB⋅MC=−12,则CA⋅CB=
A．0B．1C．3D．3
10．如图，曲线C为函数y=sinx0≤x≤5π2的图像，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为m,n，乙粒子的坐标为u,v，若记n−v=fm,则下列说法正确的是您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载
A．fm在区间π2,π上是增函数B．fm恰有2个零点
C．fm的最小值为−2D．fm的图像关于点5π6,0中心对称
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．函数y=lgx+lg5−2x的定义域是 .
12．若ax−25的二项展开式的第3项的系数为−10，则实数a的值为 .
13．在△ABC中，若△ABC的面积为6，c=5，tanA=43，则a的值为 .
14．设函数fx=xx+2,x≤a,lnx,x>a.
（1）若a=1，则fx的零点的个数为 ；
（2）若fx的值域为[−1,+∞)，则实数a的取值范围是 .
15．阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1−1,0，A20,−2，A33,0，A40,4，A5−5,0，A60,−6，A77,0，A80,8，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论：
①对于任意正整数n,AnAn+4=4;
②存在正整数n,AnAn+1为整数；
③存在正整数n,△AnAn+1An+2的面积为2022；
④对于任意正整数n,△AnAn+1An+2，为锐角三角形.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：（本大题共6小题，共85分）
16．（本小题满分13分）
在△ABC中，bsinA=acsB−π6.
（Ⅰ）求B;
（Ⅱ）若c=5, ，求a.
从①b=7,②C=π4这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．（本小题满分13分）
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB//平面AEC;
（Ⅱ）设AD=3,AB=2，若二面角D−AE−C的余弦值为5719，求AP的长.
18．（本小题满分14分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.（直接写出结果）
19．（本小题满分15分）
设椭C:x2a2+y2b2=1a>b>0左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭C相交于A,B两点.已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分15分）
已知函fx=x−1ex−12x2+1，gx=sinx−ax，其中a∈?.
（Ⅰ）证明：当x≥0时，fx≥0
（Ⅱ）用max{m,n}表示m，n的最大值，记Fx=max{fx,gx}.问：是否存在实数a，使得对任意x∈?，Fx≥0恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分15分）
已知{an}是公差不为0的无穷等差数列.若对于{an}中任意两项am,an，在{an}中都存在一项ai，使得ai=aman，则称数列{an}具有性质P.
（Ⅰ）已知an=3n,bn=3n+2n=1,2,3,⋯，判断数列{an},{bn}是否具有性质P;
（Ⅱ）若数列{an}具有性质P，证明：{an}的各项均为整数；
（Ⅲ）若a1=20，求具有性质P的数列{an}的个数.甲公司某员工A
乙公司某员工B
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