冲刺2024年高考数学：数列小专题特训

这是一份冲刺2024年高考数学：数列小专题特训，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
2．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28B．29C．30D．31
3．若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列．令，则数列的前100项和为（ ）
A．0B．C．D．32
4．已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
5．等差数列的前项和为，公差，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是等差数列的前n项和，是数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（ ）
A．12B．10C．9D．8
8．已知等比数列的公比为，为其前n项和，且，则当取得最大值时，对应的为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知等差数列和等比数列的各项均为正数，，且，则下列选项中一定成立的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当，且取得最小值时，只能等于6
11．已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．当为奇数时，
C．当为偶数时，
D．数列的前项和等于
三、填空题
12．数列中，若，，则 .
13．等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ．
14．在数列中，，，若数列为等差数列，则 .
参考答案：
1．C
【分析】利用数列分组求和法即得.
【详解】由题意得，
所以.
故选：C
2．A
【分析】由题意先由递推关系通过累乘法求通项公式，再由单调性解不等式即可得解.
【详解】由题意，即，
所以，
而，所以，
由题意令，
而是单调递增的，
且发现，，
所以满足不等式的最大正整数为28.
故选：A.
3．B
【分析】根据题意，得到数列的前若干项依次为，将，，看作一组，每组个数的和为，进而求得数列的前100项的和.
【详解】由数列的前两项都是奇数，因为两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数，
可得各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶， ，
所以数列的前若干项依次为，
将，，看作一组，每组个数的和为，
所以数列的前100项的和为．
故选：B.
4．D
【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求的前10项和即可.
【详解】因为，
所以，
两式相减可得，即，
所以，
所以.
故选：D
5．D
【分析】由前项和公式代入得.
【详解】由题意得，则.
故选：D.
6．A
【分析】设出公差，结合等差数列求和公式得到为公差为的等差数列，从而得到方程，求出和，利用等差数列求和公式得到答案
【详解】设的首项为，公差为，
则，则，
则，
故为公差为的等差数列，
又，所以，
解得，
又，解得，
故故为首项为，公差为的等差数列，
所以.
故选：A
7．D
【分析】由的关系求出通项公式，再由裂项相消求出，根据方程求解即可.
【详解】当时，，
当时，，符合上式，故，
所以，
故，
由可得，化简得，得（舍去负值）．
故选：D
8．B
【分析】利用等比数列通项公式、前n项和公式及已知得，应用基本不等式求最大值，并确定取值条件即可.
【详解】由题设，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以当取得最大值时，对应的为3.
故选：B
9．BC
【分析】先根据条件得到，且，然后通过计算确定，的正负即可.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为等差数列和等比数列的各项均为正数，且，
所以，
又，
所以，所以，
又，解得
所以，
所以，A错误，B正确；
又
所以，C正确，D错误.
故选：BC.
10．ABC
【分析】A，C项通过等比数列的性质即可得出结论；B，D项，根据等比数列的公比和前项和即可得出结论.
【详解】由题意，，
在正项等比数列中，，
A项，，A正确；
B项，当时，因为，所以，可得，B正确；
C项，，C正确．
D项，当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误．
故选：ABC.
11．ABC
【分析】分奇偶讨论即可得为奇数时及为偶数时的通项公式，可得B、C，运用为偶数时的通项公式可计算出，即可得A，用裂项相消法求的前项和可得D.
【详解】由,可得，，
当为奇数且时，，
其中符合，所以当为奇数时，，故B正确；
当为偶数时，，
其中符合，所以当为偶数时，，
则，故A正确，C正确；
又，
，
所以数列的前项和为：
，故D错误.
故选：ABC.
12．
【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得.
【详解】由题意，，可得，所以，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解.
【详解】为等差数列，且，
则前项和，是关于的二次函数，且，
因为仅当时，最大，所以对称轴在区间，
即，解得：，
则公差的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】设，根据，求出和，得到的通项公式，进而得到的通项公式，最后利用等比数列求和公式求和即可.
【详解】设，则为等差数列，设的公差为，
，，，，
则，，，
则，，
，
.
故答案为：.