还剩23页未读，
继续阅读
湖南省长沙市周南中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷
展开
这是一份湖南省长沙市周南中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了满分等内容，欢迎下载使用。
1.（单选题.5分）复数 11−i 的虚部是（ ）
A.- 12
B. 12
C. 12 i
D. −12i
2.（单选题.5分）下列函数是奇函数且在区间（0.1）上是增函数的是（ ）
A.y=sinx
B.y=3-x
C.y=x2
D. y=1x
3.（单选题.5分）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1.x2.⋯.xn.且数据x1.x2.⋯.xn的平均数为 x .方差为s2.则下列说法正确的是（ ）
A.若数据x1.x2.⋯.xn.方差s2=0.则所有的数据xi（i=1.2.⋯.n）都为0
B.若数据x1.x2.⋯.xn.的平均数为 x=3 .则数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的平均数为6
C.若数据x1.x2.⋯.xn.的中位数为90.则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D.若数据x1.x2.⋯.xn.的方差为s2=3.则数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的方差为6
4.（单选题.5分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为已知 b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA ．则角C等于（ ）
A. π6
B. π3
C. π4
D. 2π3
5.（单选题.5分）四面体P-ABC中.若PA=PB=PC.则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（ ）
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
6.（单选题.5分）在Rt△ABC中.C为直角顶点.BC=4.则 BC•BA 的值为（ ）
A.4
B.8
C.16
D.缺少条件.做不出来
7.（单选题.5分）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成.三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC.已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为 14 .记∠ABC=α.则cs2α+sin2α=（ ）
A. 35
B. 45
C.1
D. 85
8.（单选题.5分）在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在该正方体的表面上运动.且 PB=x0＜x＜3 .记点P的轨迹长为f（x）.则 f1+f2 的值为（ ）
A. 62
B. 32+2π
C.3π
D. 3+32
9.（多选题.5分）用一个平面去截一个几何体.截面的形状是三角形.那么这个几何体可能是（ ）
A.圆锥
B.圆柱
C.三棱锥
D.正方体
10.（多选题.5分）已知i为虚数单位. z1=12+32i . z2=12−32i .则下列选项中正确的有（ ）
A.|z1|=|z2|
B. z1=z2
C.z1＞z2
D.在复数范围内为方程x2-x+1=0的根
11.（多选题.5分）下列命题中正确的是（ ）
A.两个非零向量 a . b .若 a−b=a+b .则 a 与 b 共线且反向
B.已知 c≠0 .且 a•c=b•c .则 a=b
C.若 OA =（3.-4）. OB =（6.-3）. OC =（5-m.-3-m）.∠ABC为锐角.则实数m的取值范围是 m＞−34
D.若 AC•AB＞|AB|2 .则△ABC为钝角三角形
12.（多选题.5分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E为BA1的中点.下列判断正确的是（ ）
A.AB || 平面A1CD
B.直线EC1与直线AD是异面直线
C.在直线A1C1上存在点F.使EF⊥平面A1CD
D.直线BA1与平面A1CD所成角是 π6
13.（填空题.5分） 3×2−1−lg28+2713 =___ ．
14.（填空题.5分）已知平面向量 a . b . a =（1.2）. b =（3.λ）.若 a⊥b .则λ=___ ．
15.（填空题.5分）如图.在△ABC中.已知∠B=45°.D是BC边上的一点.AD=10.AC=14.DC=6.则AB=___ ．
16.（填空题.5分）在△ABC中.AB=2.AC=4.∠BAC=60°.M为边BC的中点.N为AC的中点．AM.BN相交于点P.则中线AM的长为 ___ .∠MPN的余弦值为 ___ ．
17.（问答题.10分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b.
（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；
（2）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=lgax（a＞0且a≠1）.且函数的图像过点（4.2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（m2+m）＜1成立.求实数m的取值范围．
19.（问答题.12分）已知 a =（ 3 sinx.-csx）. b =（csx.csx）.f（x）= a•b .
（1）求函数f（x）图像的对称轴方程；
（2）设△ABC的内角A.B.C所对的边分别为若f（B）= 12 .且b= 3 .求a+c的取值范围．
20.（问答题.12分）如图.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1=1.AC=2.点D为BC的中点．
（1）求证：A1B || 平面AC1D；
（2）求二面角C1-AB-C的大小；
（3）求B点到面AC1D的距离．
21.（问答题.12分）设函数f（x）的定义域为I.如果存在区间[m.n]⊆I.使得f（x）在区间[m.n]上是单调函数且值域为[m.n].那么称f（x）在区间[m.n]上具有性质P．
（Ⅰ）分别判断函数f（x）=csx和g（x）=x3在区间[-1.1]上是否具有性质P；（不需要解答过程）
（Ⅱ）若函数 ℎx=x+a 在区间[m.n]上具有性质P.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求n-m的最大值．
22.（问答题.12分）如图所示.某公路AB一侧有一块空地△OAB.其中OA=3km.OB=3 3 km.∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN.其中M.N都在边AB上（M.N不与A.B重合.M在A.N之间）.且∠MON=30°．
（1）若M在距离A点2km处.求点M.N之间的距离；
（2）为节省投入资金.人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置.使△OMN的面积最小.并求出最小面积．
2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分）复数 11−i 的虚部是（ ）
A.- 12
B. 12
C. 12 i
D. −12i
【正确答案】：B
【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】：解：∵ 11−i = 1×1+i1−i1+i=12+i2 .
∴复数 11−i 的虚部是 12 ．
故选：B．
【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数的基本概念.是基础题．
2.（单选题.5分）下列函数是奇函数且在区间（0.1）上是增函数的是（ ）
A.y=sinx
B.y=3-x
C.y=x2
D. y=1x
【正确答案】：A
【解析】：根据题意.依次分析选项中函数的奇偶性和单调性.即可得答案．
【解答】：解：根据题意.依次分析选项：
对于A.y=sinx.是正弦函数.是奇函数且在区间（0.1）上是增函数.符合题意；
对于B.y=3-x.是指数函数.不是奇函数.不符合题意；
对于C.y=x2.是二次函数.是偶函数不是奇函数.不符合题意；
对于D.y= 1x .是反比例函数.是奇函数.在区间（0.1）上是减函数.不符合题意；
故选：A．
【点评】：本题考查函数奇偶性和单调性的判断.注意常见函数的奇偶性和单调性.属于基础题．
3.（单选题.5分）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1.x2.⋯.xn.且数据x1.x2.⋯.xn的平均数为 x .方差为s2.则下列说法正确的是（ ）
A.若数据x1.x2.⋯.xn.方差s2=0.则所有的数据xi（i=1.2.⋯.n）都为0
B.若数据x1.x2.⋯.xn.的平均数为 x=3 .则数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的平均数为6
C.若数据x1.x2.⋯.xn.的中位数为90.则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D.若数据x1.x2.⋯.xn.的方差为s2=3.则数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的方差为6
【正确答案】：C
【解析】：根据一组数据的平均数和方差的计算公式.以及中位数的定义.判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】：解：对于A.数据x1.x2.⋯.xn的方差s2=0时.所有的数据xi（i=1.2.⋯.n）都相等.但不一定为0.选项A错误；
对于B.数据x1.x2.⋯.xn.的平均数为 x=3 时.数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的平均数为2×3+1=7.选项B错误；
对于C.数据x1.x2.⋯.xn.的中位数为90时.可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90.选项C正确；
对于D.数据x1.x2.⋯.xn.的方差为s2=3时.数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的方差为22×3=12.选项D错误．
故选：C．
【点评】：本题考查了一组数据的平均数和方差的计算问题.也考查了数据分析核心素养.是基础题．
4.（单选题.5分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为已知 b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA ．则角C等于（ ）
A. π6
B. π3
C. π4
D. 2π3
【正确答案】：B
【解析】：由正弦定理.余弦定理.两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcsC=sinA.结合sinA≠0.可得csC= 12 .结合范围C∈（0.π）.可求C的值．
【解答】：解：∵ b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA .
∴由正弦定理.余弦定理化简可得： 2bccsAab = 2b−aa .可得：2ccsA=2b-a.
∴可得：2sinCcsA=2sinB-sinA.
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcsC+sinCcsA.
∴2sinCcsA=2（sinAcC+sinCcsA）-sinA.整理可得：2sinAcsC=sinA.
∵sinA≠0.
∴可得csC= 12 .
∵C∈（0.π）.
∴C= π3 ．
故选：B．
【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理.两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用.考查了转化思想.属于基础题．
5.（单选题.5分）四面体P-ABC中.若PA=PB=PC.则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（ ）
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【正确答案】：B
【解析】：由已知条件推导出△POA≌△POB≌△POC.由此能求出点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的外心．
【解答】：解：设P在平面ABC射影为O.
∵PA=PB=PC.PO=PO=PO.（公用边）.∠POA=∠POB=∠POC=90°.
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴OA=OB=OC.
∴O是三角形ABC的外心．
故选：B．
【点评】：本题考查三角形外心的判断.是基础题.解题时认真审题.注意空间思维能力的培养．
6.（单选题.5分）在Rt△ABC中.C为直角顶点.BC=4.则 BC•BA 的值为（ ）
A.4
B.8
C.16
D.缺少条件.做不出来
【正确答案】：C
【解析】：由已知结合数量积的几何意义求解．
【解答】：解：如图.
∵C为直角.BC=4.
∴ BC•BA = BCBAcsB=4×4=16 ．
故选：C．
【点评】：本题考查平面向量数量积的性质及运算.考查向量在向量方向上投影的概念.是基础题．
7.（单选题.5分）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成.三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC.已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为 14 .记∠ABC=α.则cs2α+sin2α=（ ）
A. 35
B. 45
C.1
D. 85
【正确答案】：D
【解析】：根据两半圆的面积比.可求出AC.AB之比.从而求出tanα.再进一步借助于三角公式求解即可．
【解答】：解：以直角边AC.AB为直径的半圆的面积分别为： 12 ×π×（ AC2 ）2= π•AC28 . 12 ×π×（ AB2 ）2= π•AB28 .
由面积之比为 14 得： AC2AB2 = 14 .即 ACAB = 12 .
在Rt△ABC中.tanα=tan∠ABC= ACAB = 12 .
故可得cs2α= 11+tan2α = 11+122 = 45 .sin2α= 2tanα1+tan2α = 2×121+122 = 45 ．
则cs2α+sin2α= 85
故选：D．
【点评】：本题考查三角函数的公式变换.以及给值求值问题解法.同时考查学生利用转化思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．
8.（单选题.5分）在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在该正方体的表面上运动.且 PB=x0＜x＜3 .记点P的轨迹长为f（x）.则 f1+f2 的值为（ ）
A. 62
B. 32+2π
C.3π
D. 3+32
【正确答案】：C
【解析】：画出图象.当x=1时.点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心.1为半径的三个面上的三段弧.分别为弧BD.弧A1B.弧A1D.计算f（1）即可；
当x= 2 时.点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心.1为半径的弧B1D1.在平面B1BCC1上以B为圆心.1为半径的弧B1C.在平面DCC1D1上以D为圆心.1为半径的弧CD1.计算f（ 2 ）.最后相加即可．
【解答】：解：如图.
当x=1时.点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心.1为半径的三个面上的三段弧.分别为弧BD.弧A1B.弧A1D.
则f（1）=3× 14× 2π= 3π2 .
当x= 2 时.点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心.1为半径的弧B1D1.
在平面B1BCC1上以B为圆心.1为半径的弧B1C.
在平面DCC1D1上以D为圆心.1为半径的弧CD1.
则f（ 2 ）=3× 14× 2π= 3π2 .
所以f（1）+f（ 2 ）=3π．
故选：C．
【点评】：本题考查圆的轨迹问题.属于中档题．
9.（多选题.5分）用一个平面去截一个几何体.截面的形状是三角形.那么这个几何体可能是（ ）
A.圆锥
B.圆柱
C.三棱锥
D.正方体
【正确答案】：ACD
【解析】：根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征.判断即可．
【解答】：解：用一个平面去截一个圆锥时.轴截面的形状是一个等腰三角形.所以A满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时.截面的形状不可能是一个三角形.所以B不满足条件；
用一个平面去截一个三棱锥时.截面的形状是一个三角形.所以C满足条件；
用一个平面去截一个正方体时.截面的形状可以是一个三角形.所以D满足条件．
故选：ACD．
【点评】：本题主要考查了用一个平面去截一个几何体时所截得的平面是什么形状的应用问题.是基础题．
10.（多选题.5分）已知i为虚数单位. z1=12+32i . z2=12−32i .则下列选项中正确的有（ ）
A.|z1|=|z2|
B. z1=z2
C.z1＞z2
D.在复数范围内为方程x2-x+1=0的根
【正确答案】：ABD
【解析】：对于A.结合复数模公式.即可求解.
对于B.结合共轭复数的定义.即可求解.
对于C.结合虚部不能比较大小.
对于D.求解方程x2-x+1=0的根.即可求解．
【解答】：解：对于A.∵ z1=12+32i . z2=12−32i .
∴|z1|=|z2|=1.故A正确.
对于B. z1=z2=12+32i .故B正确.
对于C.虚数不能比较大小.故C错误.
对于D.x2-x+1=0.即该方程的两个根为 z1=12+32i . z2=12−32i .故D正确．
故选：ABD．
【点评】：本题主要考查复数模公式.共轭复数的定义.属于基础题．
11.（多选题.5分）下列命题中正确的是（ ）
A.两个非零向量 a . b .若 a−b=a+b .则 a 与 b 共线且反向
B.已知 c≠0 .且 a•c=b•c .则 a=b
C.若 OA =（3.-4）. OB =（6.-3）. OC =（5-m.-3-m）.∠ABC为锐角.则实数m的取值范围是 m＞−34
D.若 AC•AB＞|AB|2 .则△ABC为钝角三角形
【正确答案】：AD
【解析】：利用足 a−b=a+b .可得向量 a 与 b 共线且反向.判断A； c≠0 . a - b ≠ 0 时.（ a - b ）⊥ c .可判断B；∠ABC为锐角.则 BA • BC =3（1+m）+m＞0. BA 与 BC 不共线.得3m-（1+m）≠0.即m≠ 12 .可判断C；由 AC•AB＞|AB|2 .得（ AB + BC ）• AB ＞| AB |2.可得csB＜0.可判断D．
【解答】：解：对于A：若两个非零向量 a . b .满足 a−b=a+b .则 a 与 b 共线且反向.故A正确；
对于B：由 a•c=b•c .得（ a - b ）• c =0.已知 c≠0 . a - b ≠ 0 时.（ a - b ）⊥ c .故 a ≠ b 时满足 a•c=b•c .故B错误.
对于C： BA = OA - OB =（-3.-1）. BC = OC - OB =（-1-m.-m）.
由于∠ABC为锐角.则 BA • BC =3（1+m）+m＞0.解得m＞- 34 .
BA 与 BC 不共线.得3m-（1+m）≠0.即m≠ 12 .∴故C错误；
对于D：由 AC•AB＞|AB|2 .得（ AB + BC ）• AB ＞| AB |2.
∴ AB2+ BC • AB ＞| AB |2.∴ BC • AB ＞0.∴| BC |•| AB |cs＜π-B）＞0.
∴csB＜0.∵0＜B＜π.∴ π2 ＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.故D正确．
故选：AD．
【点评】：本题考查了平面向量的数量积.向量的运算.以及向量的应用.属中档题．
12.（多选题.5分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E为BA1的中点.下列判断正确的是（ ）
A.AB || 平面A1CD
B.直线EC1与直线AD是异面直线
C.在直线A1C1上存在点F.使EF⊥平面A1CD
D.直线BA1与平面A1CD所成角是 π6
【正确答案】：ACD
【解析】：直线AB || CD容易判断A正确；取A1C1的中点O.则EO || BC1.由图形容易说明EC1.AD在同一平面内.易判断B错误.取A1C1的中点易证EO⊥平面AC1D.判断B正确；求解线面角判断D正确．
【解答】：解：对于A.由图可知直线AB || CD.又CD⊂平面A1CD.
AB⊄平面A1CD.所以AB || 平面A1CD.故A正确；
对于B.由图可知直线EC1与直线AD都在平面B1ADC1中.故B错误；
对于C.连接取A1C1的中点O.
则EO || BC1.∵BC1⊥平面AC1D.∴EO⊥平面AC1D.
即F在O点处时.可使EF⊥平面A1CD.故C正确；
对于D.取B1C的中点M.可证BM⊥平面A1CD.
∴∠BA1M即为直线BA1与平面A1CD所成角.
∵BM= 12 BA1.∠BMA1=90°.∴∠BA1M=30°.故D正确；
故选：ACD．
【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查空间中点、线、面间的位置关系及距离.考查空间角的求法.考查空间想象能力与运算求解能力.是中档题．
13.（填空题.5分） 3×2−1−lg28+2713 =___ ．
【正确答案】：[1] 32
【解析】：直接利用指数和对数的运算性质分析求解即可．
【解答】：解：原式= 3×12−lg223+3313
= 32−3+3
= 32 ．
故答案为： 32 ．
【点评】：本题考查了指数与对数的运算.涉及了指数与对数的运算性质的理解和应用．
14.（填空题.5分）已知平面向量 a . b . a =（1.2）. b =（3.λ）.若 a⊥b .则λ=___ ．
【正确答案】：[1] −32
【解析】：直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件建立方程.进一步求出λ的值．
【解答】：解：平面向量 a . b . a =（1.2）. b =（3.λ）.
由于 a⊥b .
故3+2λ=0.解得 λ=−32 ．
故答案为： −32 ．
【点评】：本题考查的知识要点：向量的坐标运算.向量垂直的充要条件.主要考查学生的运算能力和数学思维能力.属于基础题．
15.（填空题.5分）如图.在△ABC中.已知∠B=45°.D是BC边上的一点.AD=10.AC=14.DC=6.则AB=___ ．
【正确答案】：[1] 56
【解析】：根据余弦定理弦求出C的大小.利用正弦定理即可求出AB的长度．
【解答】：解：∵AD=10.AC=14.DC=6.
∴由余弦定理得csC= AC2+CD2−AD22AC•CD = 142+62−1022×14×6 = 1114 .
∴sinC= 1−11142=5314 .
由正弦定理得 ABsinC=ACsinB .
即AB= AC•sinCsinB = 14×531422=56 .
故答案为： 56
【点评】：本题主要考查解三角形的应用.利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键.要求熟练掌握相应的公式．
16.（填空题.5分）在△ABC中.AB=2.AC=4.∠BAC=60°.M为边BC的中点.N为AC的中点．AM.BN相交于点P.则中线AM的长为 ___ .∠MPN的余弦值为 ___ ．
【正确答案】：[1] 7 ; [2] 714
【解析】：以A为坐标原点.AB所在方向为x轴.过A做AB垂线为y轴.AC与x轴夹角60°.标出各个点坐标.表示出 AM .根据向量坐标公式算出 AM 模长.根据向量数量积的夹角公式可以算出∠MPN的余弦值．
【解答】：解：以A为坐标原点.AB所在方向为x轴.过A做AB垂线为y轴.AC与x轴夹角60°.如图：
表示出各个点的坐标：A（0.0）.B（2.0）.C（2. 23 ）.M（2. 3 ）.N（1. 3 ）.
AM =（2. 3 ）.所以 AM=4+3 = 7 .
BN=−1，3 .
cs∠MPN= AM•BNAM×BN = −2+37×2 = 714 .
故答案为： 714 ．
【点评】：本题考查三角形的计算.属于中档题目．
17.（问答题.10分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b.
（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；
（2）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由频率直方图的面积和为1建立方程组.由此即可求出a.b的值.再根据估计众数的定义即可求解；（2）分别求出前5组.前6组的频率和.估计出x的范围.再根据范围建立方程.由此即可求解．
【解答】：解：（1）由题意可得 0.4a=b0.04+0.08+a+0.2+0.26+a+b+0.04+0.02=1 .
解得a=
由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为4.5吨.
（2）因为前6组的频率和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88＞0.85.
前5组的频率和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73＜0.85.
所以5≤x＜6.由0.15（x-5）=0.85-0.73.解得x=5.8.
所以估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．
【点评】：本题考查了众数以及频率分布直方图的应用.考查了学生的运算理解能力.属于基础题．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=lgax（a＞0且a≠1）.且函数的图像过点（4.2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（m2+m）＜1成立.求实数m的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）把点（4.2）代入函数f（x）=lgax.求出a即可．
（2）利用对数函数的单调性.列出不等式.求解即可．
【解答】：解：（1）∵函数f（x）=lgax的图像过点（4.2）.
∴lga4=2.∴a2=4.
∵a＞0且a≠1.∴a=2.
∴f（x）=lg2x.
（2）f（m2+m）＜1⇔f（m2+m）＜f（2）.
∵当a=2时.f（x）在（0.+∞）上为增函数.
∴0＜m2+m＜2.∴-2＜m＜-1或0＜m＜1．
∴实数m的取值范围为{m|-2＜m＜-1或0＜m＜1}．
【点评】：本题考查了对数函数的性质.考查分类讨论思想.属于中档题．
19.（问答题.12分）已知 a =（ 3 sinx.-csx）. b =（csx.csx）.f（x）= a•b .
（1）求函数f（x）图像的对称轴方程；
（2）设△ABC的内角A.B.C所对的边分别为若f（B）= 12 .且b= 3 .求a+c的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）由平面向量数量积的运算及三角恒等变换.结合三角函数的性质求解即可；
（2）由正弦定理可得a+c= 23csA−π3 .然后结合三角函数值域的求法求解即可．
【解答】：解：（1）已知 a =（ 3 sinx.-csx）. b =（csx.csx）.
则f（x）= a•b = 3sinxcsx−cs2x = 32sin2x−12cs2x−12 = sin2x−π6−12 .
由 2x−π6=kπ+π2 .k∈Z.可得 x=kπ2+π3 .k∈Z.
即函数f（x）图像的对称轴方程为 x=kπ2+π3 .k∈Z；
（2）由f（B）= 12 .
则 sin2B−π6=1 .
又 2B−π6∈−π6，11π6 .
即 2B−π6=π2 .
即 B=π3 .
又b= 3 .
由正弦定理 asinA=bsinB=csinC 可得：a=2sinA.c=2sinC.
即a+c=2sinA+sinC= 2sinA+2sin2π3−A = 23csA−π3 .
又 0＜A＜2π3 .
则 −π3＜A−π3＜π3 .
即 23csA−π3∈(3，23] .
即a+c的取值范围为 (3，23] ．
【点评】：本题考查了三角恒等变换.重点考查了正弦定理及三角函数值域的求法.属中档题．
20.（问答题.12分）如图.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1=1.AC=2.点D为BC的中点．
（1）求证：A1B || 平面AC1D；
（2）求二面角C1-AB-C的大小；
（3）求B点到面AC1D的距离．
【正确答案】：
【解析】：（1）建立空间直角坐标系.求得直线的方向向量和平面的法向量.然后证明线面平行即可；
（2）分别求得两个半平面的法向量.然后利用二面角的夹角公式计算二面角的余弦值.最后确定二面角的大小即可；
（3）结合平面的法向量和空间向量的结论计算点面距离即可．
【解答】：（1）证明：以AC的中点O为坐标原点.取A1C1的中点M.
以所在的直线为x.y.z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则： A10，−1，1，B3，0，0 .直线的方向向量 A1B=3，1，−1 .
由于 A0，−1，0，C10，1，1，D32，12，0 .设平面AC1D的法向量为 p=x,y,z .
则 p⋅AC1=x,y,z⋅0，2，1=2y+z=0p⋅AD=x,y,z⋅32，32，0=32x+32y=0 .
据此可得 p=3，−1，2 .
由于 p⋅A1B=3−1−2=0 .故A1B || 平面AC1D；
解：（2）易知 C10，1，1，B3，0，0，A0，−1，0 .
设平面C1AB的法向量 m=x1，y1，z1 .
则 m⋅C1A=x1，y1，z1⋅0，−2，−1=−2y1−z1=0m⋅AB=x1，y1，z1⋅3，1，0=3x1+y1=0 .
据此可得 m=1，−3，23 .
易知平面ABC的法向量为 n=0，0，1 .
从而 cs〈m，n〉=m⋅nm×n=2316×1=32 .故二面角C1-AB-C的大小为 π6 ．
（3）由（1）可知平面AC1D的法向量 p=3，−1，2 .且 AB=3，1，0 .
由点面距离公式可得点B到平面AC1D的距离 d=AB⋅pp=28=22 ．
【点评】：本题主要考查线面平行的证明.二面角的计算.点面距离的计算.空间向量及其应用.空间想象能力的培养等知识.属于中等题．
21.（问答题.12分）设函数f（x）的定义域为I.如果存在区间[m.n]⊆I.使得f（x）在区间[m.n]上是单调函数且值域为[m.n].那么称f（x）在区间[m.n]上具有性质P．
（Ⅰ）分别判断函数f（x）=csx和g（x）=x3在区间[-1.1]上是否具有性质P；（不需要解答过程）
（Ⅱ）若函数 ℎx=x+a 在区间[m.n]上具有性质P.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求n-m的最大值．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）直接根据题中给出的信息判断即可；
（Ⅱ）（i）根据题意.h（x）=x在[0.+∞）有两个不相等的实数根m.n（m≥0）.利用换元法设 x=tt≥0 .转化为t2-t-a=0在[0.+∞）有两个不相等的实数根.
方法1：利用二次方程根的分布列出不等关系.求解即可；
方法2：利用换元法.转化为求解函数的值域问题.求解即可．
（ii）利用n-m的表达式结合a的范围.即可得到答案．
【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=csx在区间[-1.1]上不具有性质P.g（x）=x3在区间[-1.1]上具有性质P．
（Ⅱ）（i）方法1：因为函数 ℎx=x+a 在区间[m.n]上具有性质P.
则h（x）=x在[0.+∞）有两个不相等的实数根m.n（m≥0）.
即 x+a=x 在[0.+∞）有两个不相等的实数根．
设 x=tt≥0 .即t2-t-a=0在[0.+∞）有两个不相等的实数根．
所以 Δ＞0−a≥0 .即 1+4a＞0−a≥0 ．解得 −14＜a≤0
所以.实数a的取值范围 (−14，0] ．
方法2：因为函数 ℎx=x+a 在[0.+∞）单调递增.
函数 ℎx=x+a 在区间[m.n]上具有性质P.
则h（x）=x在[0.+∞）有两个不相等的实数根m.n（m≥0）.
即 x+a=x 在[0.+∞）有两个不相等的实数根．
设 x=tt≥0 .即a=t2-t在[0.+∞）有两个不相等的实数根．
所以.实数a的取值范围 (−14，0] ．
（ii）因为 n−m=n+m2−4mn=1+4a .
又 −14＜a≤0 .所以当a=0时.n-m取最大值1．
【点评】：本题考查了函数性质的综合应用问题.涉及了函数单调性的性质与判断、方程根的分布问题.对学生知识的综合应用能力有较高的要求．
22.（问答题.12分）如图所示.某公路AB一侧有一块空地△OAB.其中OA=3km.OB=3 3 km.∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN.其中M.N都在边AB上（M.N不与A.B重合.M在A.N之间）.且∠MON=30°．
（1）若M在距离A点2km处.求点M.N之间的距离；
（2）为节省投入资金.人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置.使△OMN的面积最小.并求出最小面积．
【正确答案】：
【解析】：（1）直接利用余弦定理和三角函数关系式求出结果．
（2）利用余弦定理和正弦定理及三角函数关系式的恒等变换.基本不等式求出三角形面积的最小值．
【解答】：解：（1）在△OAB中.因为OA=3.OB=3 3 .∠AOB=90°.所以∠OAB=60°．
在△OAM中.由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO•AM•csA=7.
所以OM= 7 .所以cs∠AOM= OA2+OM2−AM22OA•OM = 277 .
在△OAN中.sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cs∠AOM= 277 ．
在△OMN中.由 MNsin30° = OMsin∠ONA .得MN= 7277 × 12 = 74 ．
（2）解法1：设AM=x.0＜x＜3．
在△OAM中.由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO•AM•csA=x2-3x+9.
所以OM= x2−3x+9 .
所以cs∠AOM= OA2+OM2−AM22OA•OM = 6−x2x2−3x+9 .
在△OAN中.sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）
=cs∠AOM= 6−x2x2−3x+9 ．
由 ONsin∠OAB = OAsin∠ONA .
得 36−x2x2−3x+9 =ON• 32 .
整理得ON= 33x2−3x+96−x ．
所以S△OMN= 12 OM•ON•sin∠MON= 12 • x2−3x+9 • 33x2−3x+96−x • 12
= 33x2−3x+946−x .（0＜x＜3）．
令6-x=t.则x=6-t.3＜t＜6.则S△OMN= 33t2−9t+274t = 334 （t-9+ 27t ）
≥ 334 •（2 27 -9）= 272−34 ．
当且仅当t= 27t .即t=3 3 .x=6-3 3 时等号成立.S△OMN的最小值为 272−34 ．
所以M的位置为距离A点6-3 3 km处.可使△OMN的面积最小.最小面积是
272−34 km2．
解法2：设∠AOM=θ.0＜θ＜ π3
在△OAM中.由 OMsin∠OAB = OAsin∠OMA .得OM= 332sinθ+π3 ．
在△OAN中.由 ONsin∠OAB = OAsin∠ONA .得ON= 332sinθ+π2 = 332csθ ．
所以S△OMN= 12 OM•ON•sin∠MON= 12 • 332sinθ+π3 • 332csθ • 12
= 2716sinθ+π3csθ = 278sinθcsθ+83cs2θ = 274sin2θ+43cs2θ+43
= 274sin2θ+43cs2θ+43 = 278sin2θ+π3+43 .（0＜θ＜ π3 ）．
当2θ+ π3 = π2 .即θ= π12 时.S△OMN的最小值为 272−34 ．
所以应设计∠AOM= π12 .可使△OMN的面积最小.最小面积是 272−34 km2．
【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用.余弦定理的应用.三角形面积公式的应用.正弦型函数的性质的应用.基本不等式的应用及相关的运算问题．
1.（单选题.5分）复数 11−i 的虚部是（ ）
A.- 12
B. 12
C. 12 i
D. −12i
2.（单选题.5分）下列函数是奇函数且在区间（0.1）上是增函数的是（ ）
A.y=sinx
B.y=3-x
C.y=x2
D. y=1x
3.（单选题.5分）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1.x2.⋯.xn.且数据x1.x2.⋯.xn的平均数为 x .方差为s2.则下列说法正确的是（ ）
A.若数据x1.x2.⋯.xn.方差s2=0.则所有的数据xi（i=1.2.⋯.n）都为0
B.若数据x1.x2.⋯.xn.的平均数为 x=3 .则数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的平均数为6
C.若数据x1.x2.⋯.xn.的中位数为90.则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D.若数据x1.x2.⋯.xn.的方差为s2=3.则数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的方差为6
4.（单选题.5分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为已知 b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA ．则角C等于（ ）
A. π6
B. π3
C. π4
D. 2π3
5.（单选题.5分）四面体P-ABC中.若PA=PB=PC.则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（ ）
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
6.（单选题.5分）在Rt△ABC中.C为直角顶点.BC=4.则 BC•BA 的值为（ ）
A.4
B.8
C.16
D.缺少条件.做不出来
7.（单选题.5分）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成.三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC.已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为 14 .记∠ABC=α.则cs2α+sin2α=（ ）
A. 35
B. 45
C.1
D. 85
8.（单选题.5分）在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在该正方体的表面上运动.且 PB=x0＜x＜3 .记点P的轨迹长为f（x）.则 f1+f2 的值为（ ）
A. 62
B. 32+2π
C.3π
D. 3+32
9.（多选题.5分）用一个平面去截一个几何体.截面的形状是三角形.那么这个几何体可能是（ ）
A.圆锥
B.圆柱
C.三棱锥
D.正方体
10.（多选题.5分）已知i为虚数单位. z1=12+32i . z2=12−32i .则下列选项中正确的有（ ）
A.|z1|=|z2|
B. z1=z2
C.z1＞z2
D.在复数范围内为方程x2-x+1=0的根
11.（多选题.5分）下列命题中正确的是（ ）
A.两个非零向量 a . b .若 a−b=a+b .则 a 与 b 共线且反向
B.已知 c≠0 .且 a•c=b•c .则 a=b
C.若 OA =（3.-4）. OB =（6.-3）. OC =（5-m.-3-m）.∠ABC为锐角.则实数m的取值范围是 m＞−34
D.若 AC•AB＞|AB|2 .则△ABC为钝角三角形
12.（多选题.5分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E为BA1的中点.下列判断正确的是（ ）
A.AB || 平面A1CD
B.直线EC1与直线AD是异面直线
C.在直线A1C1上存在点F.使EF⊥平面A1CD
D.直线BA1与平面A1CD所成角是 π6
13.（填空题.5分） 3×2−1−lg28+2713 =___ ．
14.（填空题.5分）已知平面向量 a . b . a =（1.2）. b =（3.λ）.若 a⊥b .则λ=___ ．
15.（填空题.5分）如图.在△ABC中.已知∠B=45°.D是BC边上的一点.AD=10.AC=14.DC=6.则AB=___ ．
16.（填空题.5分）在△ABC中.AB=2.AC=4.∠BAC=60°.M为边BC的中点.N为AC的中点．AM.BN相交于点P.则中线AM的长为 ___ .∠MPN的余弦值为 ___ ．
17.（问答题.10分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b.
（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；
（2）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=lgax（a＞0且a≠1）.且函数的图像过点（4.2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（m2+m）＜1成立.求实数m的取值范围．
19.（问答题.12分）已知 a =（ 3 sinx.-csx）. b =（csx.csx）.f（x）= a•b .
（1）求函数f（x）图像的对称轴方程；
（2）设△ABC的内角A.B.C所对的边分别为若f（B）= 12 .且b= 3 .求a+c的取值范围．
20.（问答题.12分）如图.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1=1.AC=2.点D为BC的中点．
（1）求证：A1B || 平面AC1D；
（2）求二面角C1-AB-C的大小；
（3）求B点到面AC1D的距离．
21.（问答题.12分）设函数f（x）的定义域为I.如果存在区间[m.n]⊆I.使得f（x）在区间[m.n]上是单调函数且值域为[m.n].那么称f（x）在区间[m.n]上具有性质P．
（Ⅰ）分别判断函数f（x）=csx和g（x）=x3在区间[-1.1]上是否具有性质P；（不需要解答过程）
（Ⅱ）若函数 ℎx=x+a 在区间[m.n]上具有性质P.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求n-m的最大值．
22.（问答题.12分）如图所示.某公路AB一侧有一块空地△OAB.其中OA=3km.OB=3 3 km.∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN.其中M.N都在边AB上（M.N不与A.B重合.M在A.N之间）.且∠MON=30°．
（1）若M在距离A点2km处.求点M.N之间的距离；
（2）为节省投入资金.人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置.使△OMN的面积最小.并求出最小面积．
2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分）复数 11−i 的虚部是（ ）
A.- 12
B. 12
C. 12 i
D. −12i
【正确答案】：B
【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】：解：∵ 11−i = 1×1+i1−i1+i=12+i2 .
∴复数 11−i 的虚部是 12 ．
故选：B．
【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数的基本概念.是基础题．
2.（单选题.5分）下列函数是奇函数且在区间（0.1）上是增函数的是（ ）
A.y=sinx
B.y=3-x
C.y=x2
D. y=1x
【正确答案】：A
【解析】：根据题意.依次分析选项中函数的奇偶性和单调性.即可得答案．
【解答】：解：根据题意.依次分析选项：
对于A.y=sinx.是正弦函数.是奇函数且在区间（0.1）上是增函数.符合题意；
对于B.y=3-x.是指数函数.不是奇函数.不符合题意；
对于C.y=x2.是二次函数.是偶函数不是奇函数.不符合题意；
对于D.y= 1x .是反比例函数.是奇函数.在区间（0.1）上是减函数.不符合题意；
故选：A．
【点评】：本题考查函数奇偶性和单调性的判断.注意常见函数的奇偶性和单调性.属于基础题．
3.（单选题.5分）经过简单随机抽样获得的样本数据为x1.x2.⋯.xn.且数据x1.x2.⋯.xn的平均数为 x .方差为s2.则下列说法正确的是（ ）
A.若数据x1.x2.⋯.xn.方差s2=0.则所有的数据xi（i=1.2.⋯.n）都为0
B.若数据x1.x2.⋯.xn.的平均数为 x=3 .则数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的平均数为6
C.若数据x1.x2.⋯.xn.的中位数为90.则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D.若数据x1.x2.⋯.xn.的方差为s2=3.则数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的方差为6
【正确答案】：C
【解析】：根据一组数据的平均数和方差的计算公式.以及中位数的定义.判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】：解：对于A.数据x1.x2.⋯.xn的方差s2=0时.所有的数据xi（i=1.2.⋯.n）都相等.但不一定为0.选项A错误；
对于B.数据x1.x2.⋯.xn.的平均数为 x=3 时.数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的平均数为2×3+1=7.选项B错误；
对于C.数据x1.x2.⋯.xn.的中位数为90时.可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90.选项C正确；
对于D.数据x1.x2.⋯.xn.的方差为s2=3时.数据yi=2xi+1（i=1.2.⋯.n）的方差为22×3=12.选项D错误．
故选：C．
【点评】：本题考查了一组数据的平均数和方差的计算问题.也考查了数据分析核心素养.是基础题．
4.（单选题.5分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为已知 b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA ．则角C等于（ ）
A. π6
B. π3
C. π4
D. 2π3
【正确答案】：B
【解析】：由正弦定理.余弦定理.两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcsC=sinA.结合sinA≠0.可得csC= 12 .结合范围C∈（0.π）.可求C的值．
【解答】：解：∵ b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA .
∴由正弦定理.余弦定理化简可得： 2bccsAab = 2b−aa .可得：2ccsA=2b-a.
∴可得：2sinCcsA=2sinB-sinA.
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcsC+sinCcsA.
∴2sinCcsA=2（sinAcC+sinCcsA）-sinA.整理可得：2sinAcsC=sinA.
∵sinA≠0.
∴可得csC= 12 .
∵C∈（0.π）.
∴C= π3 ．
故选：B．
【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理.两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用.考查了转化思想.属于基础题．
5.（单选题.5分）四面体P-ABC中.若PA=PB=PC.则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（ ）
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【正确答案】：B
【解析】：由已知条件推导出△POA≌△POB≌△POC.由此能求出点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的外心．
【解答】：解：设P在平面ABC射影为O.
∵PA=PB=PC.PO=PO=PO.（公用边）.∠POA=∠POB=∠POC=90°.
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴OA=OB=OC.
∴O是三角形ABC的外心．
故选：B．
【点评】：本题考查三角形外心的判断.是基础题.解题时认真审题.注意空间思维能力的培养．
6.（单选题.5分）在Rt△ABC中.C为直角顶点.BC=4.则 BC•BA 的值为（ ）
A.4
B.8
C.16
D.缺少条件.做不出来
【正确答案】：C
【解析】：由已知结合数量积的几何意义求解．
【解答】：解：如图.
∵C为直角.BC=4.
∴ BC•BA = BCBAcsB=4×4=16 ．
故选：C．
【点评】：本题考查平面向量数量积的性质及运算.考查向量在向量方向上投影的概念.是基础题．
7.（单选题.5分）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成.三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC.已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为 14 .记∠ABC=α.则cs2α+sin2α=（ ）
A. 35
B. 45
C.1
D. 85
【正确答案】：D
【解析】：根据两半圆的面积比.可求出AC.AB之比.从而求出tanα.再进一步借助于三角公式求解即可．
【解答】：解：以直角边AC.AB为直径的半圆的面积分别为： 12 ×π×（ AC2 ）2= π•AC28 . 12 ×π×（ AB2 ）2= π•AB28 .
由面积之比为 14 得： AC2AB2 = 14 .即 ACAB = 12 .
在Rt△ABC中.tanα=tan∠ABC= ACAB = 12 .
故可得cs2α= 11+tan2α = 11+122 = 45 .sin2α= 2tanα1+tan2α = 2×121+122 = 45 ．
则cs2α+sin2α= 85
故选：D．
【点评】：本题考查三角函数的公式变换.以及给值求值问题解法.同时考查学生利用转化思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．
8.（单选题.5分）在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在该正方体的表面上运动.且 PB=x0＜x＜3 .记点P的轨迹长为f（x）.则 f1+f2 的值为（ ）
A. 62
B. 32+2π
C.3π
D. 3+32
【正确答案】：C
【解析】：画出图象.当x=1时.点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心.1为半径的三个面上的三段弧.分别为弧BD.弧A1B.弧A1D.计算f（1）即可；
当x= 2 时.点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心.1为半径的弧B1D1.在平面B1BCC1上以B为圆心.1为半径的弧B1C.在平面DCC1D1上以D为圆心.1为半径的弧CD1.计算f（ 2 ）.最后相加即可．
【解答】：解：如图.
当x=1时.点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心.1为半径的三个面上的三段弧.分别为弧BD.弧A1B.弧A1D.
则f（1）=3× 14× 2π= 3π2 .
当x= 2 时.点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心.1为半径的弧B1D1.
在平面B1BCC1上以B为圆心.1为半径的弧B1C.
在平面DCC1D1上以D为圆心.1为半径的弧CD1.
则f（ 2 ）=3× 14× 2π= 3π2 .
所以f（1）+f（ 2 ）=3π．
故选：C．
【点评】：本题考查圆的轨迹问题.属于中档题．
9.（多选题.5分）用一个平面去截一个几何体.截面的形状是三角形.那么这个几何体可能是（ ）
A.圆锥
B.圆柱
C.三棱锥
D.正方体
【正确答案】：ACD
【解析】：根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征.判断即可．
【解答】：解：用一个平面去截一个圆锥时.轴截面的形状是一个等腰三角形.所以A满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时.截面的形状不可能是一个三角形.所以B不满足条件；
用一个平面去截一个三棱锥时.截面的形状是一个三角形.所以C满足条件；
用一个平面去截一个正方体时.截面的形状可以是一个三角形.所以D满足条件．
故选：ACD．
【点评】：本题主要考查了用一个平面去截一个几何体时所截得的平面是什么形状的应用问题.是基础题．
10.（多选题.5分）已知i为虚数单位. z1=12+32i . z2=12−32i .则下列选项中正确的有（ ）
A.|z1|=|z2|
B. z1=z2
C.z1＞z2
D.在复数范围内为方程x2-x+1=0的根
【正确答案】：ABD
【解析】：对于A.结合复数模公式.即可求解.
对于B.结合共轭复数的定义.即可求解.
对于C.结合虚部不能比较大小.
对于D.求解方程x2-x+1=0的根.即可求解．
【解答】：解：对于A.∵ z1=12+32i . z2=12−32i .
∴|z1|=|z2|=1.故A正确.
对于B. z1=z2=12+32i .故B正确.
对于C.虚数不能比较大小.故C错误.
对于D.x2-x+1=0.即该方程的两个根为 z1=12+32i . z2=12−32i .故D正确．
故选：ABD．
【点评】：本题主要考查复数模公式.共轭复数的定义.属于基础题．
11.（多选题.5分）下列命题中正确的是（ ）
A.两个非零向量 a . b .若 a−b=a+b .则 a 与 b 共线且反向
B.已知 c≠0 .且 a•c=b•c .则 a=b
C.若 OA =（3.-4）. OB =（6.-3）. OC =（5-m.-3-m）.∠ABC为锐角.则实数m的取值范围是 m＞−34
D.若 AC•AB＞|AB|2 .则△ABC为钝角三角形
【正确答案】：AD
【解析】：利用足 a−b=a+b .可得向量 a 与 b 共线且反向.判断A； c≠0 . a - b ≠ 0 时.（ a - b ）⊥ c .可判断B；∠ABC为锐角.则 BA • BC =3（1+m）+m＞0. BA 与 BC 不共线.得3m-（1+m）≠0.即m≠ 12 .可判断C；由 AC•AB＞|AB|2 .得（ AB + BC ）• AB ＞| AB |2.可得csB＜0.可判断D．
【解答】：解：对于A：若两个非零向量 a . b .满足 a−b=a+b .则 a 与 b 共线且反向.故A正确；
对于B：由 a•c=b•c .得（ a - b ）• c =0.已知 c≠0 . a - b ≠ 0 时.（ a - b ）⊥ c .故 a ≠ b 时满足 a•c=b•c .故B错误.
对于C： BA = OA - OB =（-3.-1）. BC = OC - OB =（-1-m.-m）.
由于∠ABC为锐角.则 BA • BC =3（1+m）+m＞0.解得m＞- 34 .
BA 与 BC 不共线.得3m-（1+m）≠0.即m≠ 12 .∴故C错误；
对于D：由 AC•AB＞|AB|2 .得（ AB + BC ）• AB ＞| AB |2.
∴ AB2+ BC • AB ＞| AB |2.∴ BC • AB ＞0.∴| BC |•| AB |cs＜π-B）＞0.
∴csB＜0.∵0＜B＜π.∴ π2 ＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.故D正确．
故选：AD．
【点评】：本题考查了平面向量的数量积.向量的运算.以及向量的应用.属中档题．
12.（多选题.5分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E为BA1的中点.下列判断正确的是（ ）
A.AB || 平面A1CD
B.直线EC1与直线AD是异面直线
C.在直线A1C1上存在点F.使EF⊥平面A1CD
D.直线BA1与平面A1CD所成角是 π6
【正确答案】：ACD
【解析】：直线AB || CD容易判断A正确；取A1C1的中点O.则EO || BC1.由图形容易说明EC1.AD在同一平面内.易判断B错误.取A1C1的中点易证EO⊥平面AC1D.判断B正确；求解线面角判断D正确．
【解答】：解：对于A.由图可知直线AB || CD.又CD⊂平面A1CD.
AB⊄平面A1CD.所以AB || 平面A1CD.故A正确；
对于B.由图可知直线EC1与直线AD都在平面B1ADC1中.故B错误；
对于C.连接取A1C1的中点O.
则EO || BC1.∵BC1⊥平面AC1D.∴EO⊥平面AC1D.
即F在O点处时.可使EF⊥平面A1CD.故C正确；
对于D.取B1C的中点M.可证BM⊥平面A1CD.
∴∠BA1M即为直线BA1与平面A1CD所成角.
∵BM= 12 BA1.∠BMA1=90°.∴∠BA1M=30°.故D正确；
故选：ACD．
【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查空间中点、线、面间的位置关系及距离.考查空间角的求法.考查空间想象能力与运算求解能力.是中档题．
13.（填空题.5分） 3×2−1−lg28+2713 =___ ．
【正确答案】：[1] 32
【解析】：直接利用指数和对数的运算性质分析求解即可．
【解答】：解：原式= 3×12−lg223+3313
= 32−3+3
= 32 ．
故答案为： 32 ．
【点评】：本题考查了指数与对数的运算.涉及了指数与对数的运算性质的理解和应用．
14.（填空题.5分）已知平面向量 a . b . a =（1.2）. b =（3.λ）.若 a⊥b .则λ=___ ．
【正确答案】：[1] −32
【解析】：直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件建立方程.进一步求出λ的值．
【解答】：解：平面向量 a . b . a =（1.2）. b =（3.λ）.
由于 a⊥b .
故3+2λ=0.解得 λ=−32 ．
故答案为： −32 ．
【点评】：本题考查的知识要点：向量的坐标运算.向量垂直的充要条件.主要考查学生的运算能力和数学思维能力.属于基础题．
15.（填空题.5分）如图.在△ABC中.已知∠B=45°.D是BC边上的一点.AD=10.AC=14.DC=6.则AB=___ ．
【正确答案】：[1] 56
【解析】：根据余弦定理弦求出C的大小.利用正弦定理即可求出AB的长度．
【解答】：解：∵AD=10.AC=14.DC=6.
∴由余弦定理得csC= AC2+CD2−AD22AC•CD = 142+62−1022×14×6 = 1114 .
∴sinC= 1−11142=5314 .
由正弦定理得 ABsinC=ACsinB .
即AB= AC•sinCsinB = 14×531422=56 .
故答案为： 56
【点评】：本题主要考查解三角形的应用.利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键.要求熟练掌握相应的公式．
16.（填空题.5分）在△ABC中.AB=2.AC=4.∠BAC=60°.M为边BC的中点.N为AC的中点．AM.BN相交于点P.则中线AM的长为 ___ .∠MPN的余弦值为 ___ ．
【正确答案】：[1] 7 ; [2] 714
【解析】：以A为坐标原点.AB所在方向为x轴.过A做AB垂线为y轴.AC与x轴夹角60°.标出各个点坐标.表示出 AM .根据向量坐标公式算出 AM 模长.根据向量数量积的夹角公式可以算出∠MPN的余弦值．
【解答】：解：以A为坐标原点.AB所在方向为x轴.过A做AB垂线为y轴.AC与x轴夹角60°.如图：
表示出各个点的坐标：A（0.0）.B（2.0）.C（2. 23 ）.M（2. 3 ）.N（1. 3 ）.
AM =（2. 3 ）.所以 AM=4+3 = 7 .
BN=−1，3 .
cs∠MPN= AM•BNAM×BN = −2+37×2 = 714 .
故答案为： 714 ．
【点评】：本题考查三角形的计算.属于中档题目．
17.（问答题.10分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b.
（1）求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；
（2）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．
【正确答案】：
【解析】：（1）由频率直方图的面积和为1建立方程组.由此即可求出a.b的值.再根据估计众数的定义即可求解；（2）分别求出前5组.前6组的频率和.估计出x的范围.再根据范围建立方程.由此即可求解．
【解答】：解：（1）由题意可得 0.4a=b0.04+0.08+a+0.2+0.26+a+b+0.04+0.02=1 .
解得a=
由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为4.5吨.
（2）因为前6组的频率和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88＞0.85.
前5组的频率和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73＜0.85.
所以5≤x＜6.由0.15（x-5）=0.85-0.73.解得x=5.8.
所以估计月用水量标准为5.8吨时.85%的居民每月的用水量不超过标准．
【点评】：本题考查了众数以及频率分布直方图的应用.考查了学生的运算理解能力.属于基础题．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=lgax（a＞0且a≠1）.且函数的图像过点（4.2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（m2+m）＜1成立.求实数m的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）把点（4.2）代入函数f（x）=lgax.求出a即可．
（2）利用对数函数的单调性.列出不等式.求解即可．
【解答】：解：（1）∵函数f（x）=lgax的图像过点（4.2）.
∴lga4=2.∴a2=4.
∵a＞0且a≠1.∴a=2.
∴f（x）=lg2x.
（2）f（m2+m）＜1⇔f（m2+m）＜f（2）.
∵当a=2时.f（x）在（0.+∞）上为增函数.
∴0＜m2+m＜2.∴-2＜m＜-1或0＜m＜1．
∴实数m的取值范围为{m|-2＜m＜-1或0＜m＜1}．
【点评】：本题考查了对数函数的性质.考查分类讨论思想.属于中档题．
19.（问答题.12分）已知 a =（ 3 sinx.-csx）. b =（csx.csx）.f（x）= a•b .
（1）求函数f（x）图像的对称轴方程；
（2）设△ABC的内角A.B.C所对的边分别为若f（B）= 12 .且b= 3 .求a+c的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）由平面向量数量积的运算及三角恒等变换.结合三角函数的性质求解即可；
（2）由正弦定理可得a+c= 23csA−π3 .然后结合三角函数值域的求法求解即可．
【解答】：解：（1）已知 a =（ 3 sinx.-csx）. b =（csx.csx）.
则f（x）= a•b = 3sinxcsx−cs2x = 32sin2x−12cs2x−12 = sin2x−π6−12 .
由 2x−π6=kπ+π2 .k∈Z.可得 x=kπ2+π3 .k∈Z.
即函数f（x）图像的对称轴方程为 x=kπ2+π3 .k∈Z；
（2）由f（B）= 12 .
则 sin2B−π6=1 .
又 2B−π6∈−π6，11π6 .
即 2B−π6=π2 .
即 B=π3 .
又b= 3 .
由正弦定理 asinA=bsinB=csinC 可得：a=2sinA.c=2sinC.
即a+c=2sinA+sinC= 2sinA+2sin2π3−A = 23csA−π3 .
又 0＜A＜2π3 .
则 −π3＜A−π3＜π3 .
即 23csA−π3∈(3，23] .
即a+c的取值范围为 (3，23] ．
【点评】：本题考查了三角恒等变换.重点考查了正弦定理及三角函数值域的求法.属中档题．
20.（问答题.12分）如图.在正三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1=1.AC=2.点D为BC的中点．
（1）求证：A1B || 平面AC1D；
（2）求二面角C1-AB-C的大小；
（3）求B点到面AC1D的距离．
【正确答案】：
【解析】：（1）建立空间直角坐标系.求得直线的方向向量和平面的法向量.然后证明线面平行即可；
（2）分别求得两个半平面的法向量.然后利用二面角的夹角公式计算二面角的余弦值.最后确定二面角的大小即可；
（3）结合平面的法向量和空间向量的结论计算点面距离即可．
【解答】：（1）证明：以AC的中点O为坐标原点.取A1C1的中点M.
以所在的直线为x.y.z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则： A10，−1，1，B3，0，0 .直线的方向向量 A1B=3，1，−1 .
由于 A0，−1，0，C10，1，1，D32，12，0 .设平面AC1D的法向量为 p=x,y,z .
则 p⋅AC1=x,y,z⋅0，2，1=2y+z=0p⋅AD=x,y,z⋅32，32，0=32x+32y=0 .
据此可得 p=3，−1，2 .
由于 p⋅A1B=3−1−2=0 .故A1B || 平面AC1D；
解：（2）易知 C10，1，1，B3，0，0，A0，−1，0 .
设平面C1AB的法向量 m=x1，y1，z1 .
则 m⋅C1A=x1，y1，z1⋅0，−2，−1=−2y1−z1=0m⋅AB=x1，y1，z1⋅3，1，0=3x1+y1=0 .
据此可得 m=1，−3，23 .
易知平面ABC的法向量为 n=0，0，1 .
从而 cs〈m，n〉=m⋅nm×n=2316×1=32 .故二面角C1-AB-C的大小为 π6 ．
（3）由（1）可知平面AC1D的法向量 p=3，−1，2 .且 AB=3，1，0 .
由点面距离公式可得点B到平面AC1D的距离 d=AB⋅pp=28=22 ．
【点评】：本题主要考查线面平行的证明.二面角的计算.点面距离的计算.空间向量及其应用.空间想象能力的培养等知识.属于中等题．
21.（问答题.12分）设函数f（x）的定义域为I.如果存在区间[m.n]⊆I.使得f（x）在区间[m.n]上是单调函数且值域为[m.n].那么称f（x）在区间[m.n]上具有性质P．
（Ⅰ）分别判断函数f（x）=csx和g（x）=x3在区间[-1.1]上是否具有性质P；（不需要解答过程）
（Ⅱ）若函数 ℎx=x+a 在区间[m.n]上具有性质P.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求n-m的最大值．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）直接根据题中给出的信息判断即可；
（Ⅱ）（i）根据题意.h（x）=x在[0.+∞）有两个不相等的实数根m.n（m≥0）.利用换元法设 x=tt≥0 .转化为t2-t-a=0在[0.+∞）有两个不相等的实数根.
方法1：利用二次方程根的分布列出不等关系.求解即可；
方法2：利用换元法.转化为求解函数的值域问题.求解即可．
（ii）利用n-m的表达式结合a的范围.即可得到答案．
【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=csx在区间[-1.1]上不具有性质P.g（x）=x3在区间[-1.1]上具有性质P．
（Ⅱ）（i）方法1：因为函数 ℎx=x+a 在区间[m.n]上具有性质P.
则h（x）=x在[0.+∞）有两个不相等的实数根m.n（m≥0）.
即 x+a=x 在[0.+∞）有两个不相等的实数根．
设 x=tt≥0 .即t2-t-a=0在[0.+∞）有两个不相等的实数根．
所以 Δ＞0−a≥0 .即 1+4a＞0−a≥0 ．解得 −14＜a≤0
所以.实数a的取值范围 (−14，0] ．
方法2：因为函数 ℎx=x+a 在[0.+∞）单调递增.
函数 ℎx=x+a 在区间[m.n]上具有性质P.
则h（x）=x在[0.+∞）有两个不相等的实数根m.n（m≥0）.
即 x+a=x 在[0.+∞）有两个不相等的实数根．
设 x=tt≥0 .即a=t2-t在[0.+∞）有两个不相等的实数根．
所以.实数a的取值范围 (−14，0] ．
（ii）因为 n−m=n+m2−4mn=1+4a .
又 −14＜a≤0 .所以当a=0时.n-m取最大值1．
【点评】：本题考查了函数性质的综合应用问题.涉及了函数单调性的性质与判断、方程根的分布问题.对学生知识的综合应用能力有较高的要求．
22.（问答题.12分）如图所示.某公路AB一侧有一块空地△OAB.其中OA=3km.OB=3 3 km.∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN.其中M.N都在边AB上（M.N不与A.B重合.M在A.N之间）.且∠MON=30°．
（1）若M在距离A点2km处.求点M.N之间的距离；
（2）为节省投入资金.人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置.使△OMN的面积最小.并求出最小面积．
【正确答案】：
【解析】：（1）直接利用余弦定理和三角函数关系式求出结果．
（2）利用余弦定理和正弦定理及三角函数关系式的恒等变换.基本不等式求出三角形面积的最小值．
【解答】：解：（1）在△OAB中.因为OA=3.OB=3 3 .∠AOB=90°.所以∠OAB=60°．
在△OAM中.由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO•AM•csA=7.
所以OM= 7 .所以cs∠AOM= OA2+OM2−AM22OA•OM = 277 .
在△OAN中.sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cs∠AOM= 277 ．
在△OMN中.由 MNsin30° = OMsin∠ONA .得MN= 7277 × 12 = 74 ．
（2）解法1：设AM=x.0＜x＜3．
在△OAM中.由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO•AM•csA=x2-3x+9.
所以OM= x2−3x+9 .
所以cs∠AOM= OA2+OM2−AM22OA•OM = 6−x2x2−3x+9 .
在△OAN中.sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）
=cs∠AOM= 6−x2x2−3x+9 ．
由 ONsin∠OAB = OAsin∠ONA .
得 36−x2x2−3x+9 =ON• 32 .
整理得ON= 33x2−3x+96−x ．
所以S△OMN= 12 OM•ON•sin∠MON= 12 • x2−3x+9 • 33x2−3x+96−x • 12
= 33x2−3x+946−x .（0＜x＜3）．
令6-x=t.则x=6-t.3＜t＜6.则S△OMN= 33t2−9t+274t = 334 （t-9+ 27t ）
≥ 334 •（2 27 -9）= 272−34 ．
当且仅当t= 27t .即t=3 3 .x=6-3 3 时等号成立.S△OMN的最小值为 272−34 ．
所以M的位置为距离A点6-3 3 km处.可使△OMN的面积最小.最小面积是
272−34 km2．
解法2：设∠AOM=θ.0＜θ＜ π3
在△OAM中.由 OMsin∠OAB = OAsin∠OMA .得OM= 332sinθ+π3 ．
在△OAN中.由 ONsin∠OAB = OAsin∠ONA .得ON= 332sinθ+π2 = 332csθ ．
所以S△OMN= 12 OM•ON•sin∠MON= 12 • 332sinθ+π3 • 332csθ • 12
= 2716sinθ+π3csθ = 278sinθcsθ+83cs2θ = 274sin2θ+43cs2θ+43
= 274sin2θ+43cs2θ+43 = 278sin2θ+π3+43 .（0＜θ＜ π3 ）．
当2θ+ π3 = π2 .即θ= π12 时.S△OMN的最小值为 272−34 ．
所以应设计∠AOM= π12 .可使△OMN的面积最小.最小面积是 272−34 km2．
【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用.余弦定理的应用.三角形面积公式的应用.正弦型函数的性质的应用.基本不等式的应用及相关的运算问题．
相关试卷
湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题： 这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省长沙市周南名校高三上学期入学数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年湖南省长沙市周南名校高三上学期入学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高二（上）入学数学试卷： 这是一份2021-2022学年湖南省长沙市周南中学高二（上）入学数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
