资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩17页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
第13讲 独立性检验3种常考题型-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第三册）
展开
这是一份第13讲 独立性检验3种常考题型-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第三册），文件包含第13讲独立性检验3种常考题型原卷版docx、第13讲独立性检验3种常考题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
第13讲 独立性检验3种常考题型【考点分析】考点一：2×2列联表设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：考点二：独立性检验利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 考点三：两个临界值：3.841与6.635当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.【题型目录】题型一：2×2列联表题型二：等高条形图题型三：独立性检验解决实际问题【典型例题】题型一：2×2列联表【例1】下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么__________．【答案】82【分析】根据列联表，可得方程，解之即可得到结论．【详解】解：由题意，，，，，，，，，故答案为： 82.【例2】如表是列联表，则表中的､的值分别为（ ）A．27､38 B．28､38 C．27､37 D．28､37【答案】A【分析】根据列联表的数据，补全表格，即可判断选项.【详解】解：，.故选：A.【例3】假设有两个变量x与y的列联表如下表：对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大.【详解】对于A， ，对于B，，对于C，，对于D，显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,故选:B.【题型专练】1．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下列联表：则等于（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据列联表，先求出、和的值，再计算的值．【详解】解：根据题意，可得；，，，即列联表为：．故选：．2．某村庄对该村内名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：已知抽取的老年人、年轻人各名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题中信息可得出关于、、、、、的等式，进而可判断各选项的正误.【详解】由题意得，，，，，，所以，，，，，则.故选：D．3．假设有两个分类变量与的列联表如下表：对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】计算每个选项中的，比较大小后可得出结论.【详解】对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大，对于A选项，，对于B选项，，对于C选项，，对于D选项，，显然D中最大，故选：D.题型二：等高条形图【例1】为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】D【分析】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.【详解】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误；对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误；对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误；对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确.故选：D.【例2】观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量的观测值最小的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接由等高条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小判断即可.【详解】等高的条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小.故选：B.【例3】在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A．散点图和残差图 B．残差图和列联表C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表【答案】D【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D【例4】某艺术馆为了研究学生性别和喜欢国画之间的联系，随机抽取80名学生进行调查（其中有男生50名，女生30名），并绘制等高条形图，则这80名学生中喜欢国画的人数为（ ）A．24 B．32 C．48 D．58【答案】D【分析】根据等高条形图计算直接得出结果.【详解】由等高条形图可知，这80名学生中喜欢国画的人数为：.故选：D【例5】为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图(如图)，根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢现金支付D．样本中多数女生喜欢手机支付【答案】C【分析】根据两幅图的信息，逐个分析判断即可【详解】解：对于A，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，所以A正确；对于B，由右图可知，样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，所以B正确；对于C，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，所以C错误；对于D，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，所以D正确，故选：C【题型专练】1．我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（ ）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C．对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D．对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数【答案】C【分析】由等高条形图的特点和性质进行判断，【详解】由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，故选：C．【点睛】本题主要考查了独立性检验中利用等高条形图判断两个变量之间的差异，属于基础题.2．“微信”和“QQ”是腾讯社交体系中的两款产品，小明为了解不同群体对这两款产品的首选情况，统计了周围老师和同学关于首选“微信”或“QQ”的比例，得到如图等高条形图．根据等高条形图中的信息，可判断下列说法正确的是（ ）A．对老师而言，更倾向于首选“微信”B．对学生而言，更倾向于首选“QQ”C．首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多D．如果首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生多【答案】A【分析】先识图再结合图象进行简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：A对老师群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：，故对老师而言，更倾向于首选“微信”，即A正确，B对学生群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：，故对学生而言，更倾向于首选“微信”，即B错误，C由于老师群体与学生群体人数不定，即首选“微信”的老师比首选“微信”的同学无法比较，即C错误， D设老师群体人，学生群体人，则有，即，则小明统计的老师人数不一定比学生多，即D错误，综上所述得：A正确.故选：A.【点睛】本题考查等高条形图及结合图象进行简单的合情推理，属简单题．3．(多选)2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中(35岁以上含35岁)的信息，下列结论中一定正确的是（ ）A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高【答案】ABD【解析】根据等高条形图数据分析即可依次判断.【详解】设等高条形图对应2×2列联表如下：根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上女性多，即a>b；35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d.根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即a>c；女性中35岁以下的比35岁以下的多，即b>d.对于A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，所以A正确；对于B，35岁以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，所以B正确；对于C，35岁以下男性人数为c，35岁以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，所以C不一定正确；对于D，35岁以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，所以a＋b>c＋d，所以D正确．故选：ABD.4．某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生（其中男生60名，女生40名），并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为_______．【答案】68【分析】根据等高堆积条形图进行数据分析，即可得到答案.【详解】由等高堆积条形图进行数据分析，这100名学生中经常锻炼的人数为：.故答案为：68题型三：独立性检验解决实际问题【例1】在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（ ）附，A．400 B．300 C．200 D．100【答案】B【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，求解即可.【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：，有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，，解得，，，.故选：B【例2】（多选题）为预防近视，某校对“学生性别和喜欢躺着看书”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢躺着看书的人数占男生人数的，女生喜欢躺着看书的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢躺着看书和性别有关，则调查人数中男生人数可能是（ ）参考公式及数据：，其中.A．8 B．10 C．12 D．14【答案】CD【分析】先设男生人数为，，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系式可得答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，，由题意可列出列联表：．由于有的把握认为是否喜欢躺着看书和性别有关，所以；解得：，因为，故的可能取值为：12，13，14，15，16，17，18，19，即男生的人数可以是：12，13，14，15，16，17，18，19，所以选项AB错误，选项CD正确故选：CD.【例3】某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知抽取的容量为120的样本棉花产自于A，B两个试验区，部分数据如下2×2列联表：将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；(3)若从这批120个样本棉花中随机抽取3个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望.注：①独立性检验的临界值表：②，其中.【答案】(1)(2)列联表见解析，没有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；(3)X的分布列见解析，【分析】（1）利用频率和为1列出关于a的方程，解之即可求得a的值；（2）先求得抽取的优质棉样本数为30，进而求得非优质棉样本数为90，进而补全表格；求得的值并与进行大小比较即可得到是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系.（3）先求得X的各可能取值的概率，进而得到X的分布列；依据数学期望的定义即可求得.【详解】（1）由，解得（2）抽取的优质棉样本数为则非优质棉样本数为90，则2×2列联表如下：则没有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系.（3）X的可能取值为0，1，2，3则，，则X的分布列如下：数学期望.【例5】某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜欢，白色代表不喜欢，单位：人）．(1)写出列联表；(2)依据的独立性检验，分析喜欢这项体育运动是否与性别有关；(3)在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率．附表及公式：，其中．【答案】(1)列联表见解析；(2)认为喜欢这项体育运动与性别无关；(3)【分析】（1）由题图数据列表（2）由公式计算卡方后判断（3）由古典概型求解（1）观察题中二维条形图，可得被调查的男生总共45人，其中喜欢这项运动的有15人，不喜欢的有30人；被调查的女生总共45人，其中喜欢这项运动的有5人，不喜欢的有40人．由此写出列联表如下：单位：人（2）零假设为：喜欢这项体育运动与性别无关．计算可得，所以依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢这项体育运动与性别无关．（3）设喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生分别为，，．任选两人的情况有，，，选一名男生和一名女生的情况有，，所以恰是一男一女的概率．【例6】随着电商事业的发展和工作生活节奏的加快，人们的生活方式和生活理念正在发生巨大的改变．通过外卖App下单订餐叫外卖，正受到越来越多的市民尤其是青年上班族的喜爱．为了解市民是否经常利用外卖平台点餐，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了人进行抽样分析，其中经常用外卖平台点餐的人数是基本不用外卖平台点餐的人数的倍；岁以上经常用外卖平台点餐的人数和基本不用外卖平台点餐的人数相等；岁及以下有人基本不用外卖平台点餐．（1）请完善下面列联表（单位：人），并依据的独立性检验，分析经常利用外卖平台点餐是否与年龄有关？（2）利用分层抽样方法在经常用外卖平台点餐的市民中随机抽取人，再从以上人中随机抽取人．记被抽取的人中“岁以上”的人数为，求随机变量的分布列和均值．附：，其中．临界值表：【答案】（1）列联表见解析，认为经常利用外卖平台点餐与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于；（2）分布列见解析，均值．【分析】（1）根据题中的数据完善列联表，再运用公式分析列联表；（2）根据题意及公式求解随机变量的分布列并计算期望得出结果.【详解】解：（1）设基本不用外卖平台点餐人数为，得所以基本不用外卖平台点餐人数为人因为岁及以下有15人基本不用外卖平台点餐所以岁以上有10人基本不用外卖平台点餐，岁以上有10人经常用外卖平台点餐岁及以下有40人经常用外卖平台点餐列联表如下：由列联表可知，因为所以依据小概率值的独立性检验，认为经常利用外卖平台点餐与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于；（2）由题意可知，抽取的10人中“40岁以上”的市民有2人，的所有可能取值为，，，所以的分布列为所以【题型专练】1．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：则最大有________的把握说变量有关系.（填百分数）【答案】【分析】因为的观测值，进而可得结果.【详解】因为的观测值，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系.所以最大有的把握说变量有关系.故答案为：2．为增强学生体质，充分展示当代青少年积极健康向上的精神风貌，某学校在校内新开设羽毛球课和健美操课，且每名同学只选一课．为了研究选课是否与性别有关系，现随机抽取了高一年级200名学生选课情况（其中男生120人，女生80人）．(1)完成下面的列联表，判断是否有的把握认为选课与性别有关，并说明理由．(2)从上述120名男生中按选羽毛球课和选健美操课进行分层抽样，抽取6人，求从这6人中任取2人，至少有1人选择了羽毛球课的概率．附：（参考公式：，其中【答案】(1)表格见解析，有，理由见解析；(2)【分析】（1）代入公式求得，再与7.879进行比较即可解决；（2）列出所有基本事件，从中选出符合要求的基本事件，以古典概型解之即可.(1)列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算，得 因为，所以我们有的把握认为选课与性别有关(2)因为男生中选羽毛球课和选健美操课的人数之比为，所以用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，得到这6人中选羽毛球课的人数为4人，记为.选健美操课的人数为2人，记为. 从中任取两人的所有基本事件为：共15种.其中至少有一人选择了羽毛球课包含了14种，故所求的概率．3．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．①请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？列联表参考公式及数据：，，【答案】(1)平均成绩73，中位数73.33；(2)①表格见解析，没有；②答案见解析，有.【分析】（1）根据频率直方图，结合平均数和中位数的性质进行求解即可；（2）①根据频率直方图完成列联表，结合题中所给的公式进行求解即可；②根据列联表画出等高条形图，再做出判断即可.（1）这100名学生的平均成绩：，设成绩的中位数为，则根据频率分布直方图可知，有，解得；（2）①根据表中已知数据和频率分布直方图得下表根据表中数据可得，因为4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”． ②根据列联表中数据可知，样本中男生优秀的频率为，男生非优秀的频率为；女生优秀的频率，女生非优秀的频率为．所画等高条形图如图所示：根据等高条形图，比较图中两个用斜纹实线所画条的高可以发现，女生样本中成绩优秀的频率明显高于男生样本中成绩优秀的频率，因此可以认为竞赛成绩优秀与性别有关．4．某企业为响应国家在《“十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”的号召，推进产业结构高端化转型，决定开始投入生产某新能源配件.该企业初步用甲､乙两种工艺进行试产，为了解两种工艺生产新能源配件的质量情况，从两种工艺生产的产品中分别随机抽取了件进行质量检测，得到下图所示的频率分布直方图，规定质量等级包含合格和优等两个等级，综合得分在的是合格品，得分在的是优等品.(1)从这100件甲工艺所生产的新能源配件中按质量等级分层抽样抽取5件，再从这5件中随机抽取2件做进一步研究，求恰有1件质量等级为优等品的概率；(2)根据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为新能源配件的质量等级与生产工艺有关？该企业计划大规模生产这种新能源配件，若你是该企业的决策者，你会如何安排生产，为什么？附：，其中.【答案】(1)(2)列联表答案见解析，有的把握认为配件的质量和生产工艺有关，选择甲工艺生产新能源配件，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图求出合格品､优等品出现的频率，根据分层抽样求出5个配件中，合格品和优等品的件数，再根据古典概型的概率公式可求出结果；（2）根据频率分布直方图求出合格品､优等品的频数，可得列联表，利用公式，其中，求出，对照临界值表可得有的把握认为配件的质量和生产工艺有关.根据优等品率可作出决策.【详解】（1）由甲工艺频率分布直方图可知，合格品､优等品出现的频率分别为和，所以按分层抽样抽取的5个配件中，有合格品2个､优等品3个，所以从5个中随机抽取2个，恰有1个质量等级为优等品的概率为：.（2）甲生产工艺生产的合格品有件，优等品有件，乙生产工艺生产的合格品有件，优等品有件，所以列联表为：所以由于，所以有的把握认为配件的质量和生产工艺有关.应该选择甲工艺生产新能源配件，因为甲的优等品率为，乙的优等品率仅为.5．为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质能力，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台开设书法兴趣班，为了解学生对这个兴趣班的喜爱情况，该校随机抽取了该校名学生，调查他们对这个兴趣班的喜爱情况，得到下面的2×2列联表：以调查得到的男、女学生喜欢书法兴趣班的频率代替概率.(1)完成题中的2×2列联表，并判断能否有的把握认为是否喜欢书法兴趣班与性别有关；(2)从该校喜欢书法兴趣班的学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生，求这名学生中至少有名女学生的概率.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)见解析；(2).【分析】（1）根据题意完成列联表，并根据计算公式计算的值，比较判断可得结论；（2）找到总的样本点个数，和事件对应的样本点个数，代入古典概型概率计算公式计算可得答案.【详解】（1）完成列联表如下:,所以有的把握认为是否喜欢书法兴趣班与性别有关；（2）该校喜欢书法兴趣班的学生中，男女生的比例为，用分层抽样的方法抽取名学生，所以男女生各有各学生，从这名学生中随机抽取名学生，记为事件，则总的样本点个数是，全是男生的样本点个数是，所以这名学生中至少有名女学生的概率为.6．甲、乙两台机床加工同一规格（直径）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，数据如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过的零件为一级品，误差大于的零件为二级品．附，其中．(1)根据以上数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异：(2)以该时间段内两台机床生产的产品的一级品和二级品的频率代替概率，从甲机床生产的零件中任取2个，从乙机床生产的零件中任取3个，比较甲、乙机床取到一级品个数的期望的大小．【答案】(1)表格见解析，没有；(2)甲的期望大．【分析】（1）根据题中数据，可以得出两机床一、二级品的数量，将得到的数据补充在列联表中，根据公式即可解出的值；（2）由题意可设这2个零件中一级品的个数为X，3个零件中一级品的个数为Y，则随机变量X，Y服从二项分布，根据二项分布，即可解出期望值，得出结果.【详解】（1）由已知可得，甲机床的二级品有19.7，20.3，共2个，其余16个为一级品；乙机床的二级品有19.5，19.6，19.7，20.3，20.4，共5个，其余7个为一级品.所以，列联表如下：根据列联表得，因为，所以没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．答：没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．（2）由（1）可知，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为.从甲机床生产的零件中任取2个，设这2个零件中一级品的个数为X，从乙机床生产的零件中任取3个，设这3个零件中一级品的个数为Y，则随机变量X，Y服从二项分布，即，，所以，，所以甲的期望的大．答：甲的期望的大．7．2022年12月6日中国职业篮球联赛将开始第二阶段比赛，某队为了考察甲球员对篮球队的贡献，通过对甲参加的50场比赛和末参加的50场比赛调查，得到如下等高堆积条形图：(1)根据等高堆积条形图，填写列联表，并依据的独立性检验，分析该球队胜利与甲球员参赛是否有关(2)在训练过程中，甲乙丙三人相互做传球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为.若先由甲控制球，经过3次传球后，球员乙控制球的次数为，求的分布列与期望.附表及公式：.【答案】(1)列联表见解析，该球队胜利与甲球员参赛有关;(2)分布列见解析，.【分析】（1）根据等高条形图完成列联表，利用表中数据计算出观测值,与临界值进行比较即可求解.（2）根据已知条件写出随机变量的取值，求出随机变量对应的概率，结合离散型随机变量的期望公式即可求解.【详解】（1）列联表如下：零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关. 根据表中数据，计算得到，依据的独立性检验，我们推断不成立，即该球队胜利与甲球员参赛有关.（2）由题知的所有可能取值为， ；；；所以的分布列为：.8．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得成圆满成功.某校为了解本校学生对此新闻事件的关注度，从本校学生中随机抽取了200名学生进行调查，调查样本中有80名女生.根据样本的调查结果绘制成如图所示的等高堆积条形图.(1)完成上面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为学生是否关注“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件与性别有关.(2)从这200名学生里对“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件不关注的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机选取2人参与该新闻事件的学习.求这2名学生不全是男生的概率.附：，其中.【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）利用条形图进行完成列联表，根据所给的卡方公式，结合临界值进行求解判断即可.（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】（1）女生中关注该新闻事件的人数为，不关注的女生人数为，男生中关注该新闻事件的人数为，不关注的男生人数为，列联表如下：因为8，所以有99.9%的把握认为学生是否关注“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件与性别有关；（2）因为在不关注该新闻事件中男生与女生的人数一样多，所以这6人中男生与女生的人数也相同，因此这6名学生中随机选取2人参与该新闻事件的学习.求这2名学生不全是男生的概率：.9．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动.（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系.【答案】（1）列联表答案见解析；（2）性别与休闲方式有关系.【分析】（1）根据2×2的列联表要求列表.（2）根据列联表中的数据,分别算出女性、男性中休息方式为看电视的频率即可判断.【详解】（1）2×2的列联表：（2）根据列联表中的数据，可得女性中休息方式为看电视的频率为，男性中休息方式为看电视的频率为，二者差别较大，可知性别与休闲方式有关系.10．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在，实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在，试验地随机抽选各株，对每株进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；（2）记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）【答案】（1），；（2）是，详见解析【分析】(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1可以求得;由中位数两侧频率均为0.5可求出中位数;(2)由题意先补填列联表,然后由列联表求,再进行比较判断.【详解】解：（1）由，解得.令得分中位数为，由，解得.故综合评分的中位数为.（2）列联表如下表所示：可得.所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图,相关统计量,列联表,相关性等基础知识;考查数据处理能力,运算求解能力,应用意识和创新意识,属于一般难度的题.11．为研究患肺癌与是否吸烟有关，某肿瘤机构随机抽取了40人做相关调查，其中不吸烟人数与吸烟人数相同，已知吸烟人数中，患肺癌与不患肺癌的比为；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为.（1）现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；（2）是否有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关？附：，其中.【答案】（1）（2）有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关【详解】试题分析：（1）由题意可得列联表，穷举得到两人都是吸烟患肺癌的概率为；（2）由列联表得，. 所以有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关．试题解析：由题意可得列联表如下：（1）吸烟患肺癌的有人，不患肺癌的有人．用分层抽样的方法抽取人，则应抽取吸烟患肺癌的人，记为，，，．不吸烟患肺癌的人，记为．从人中随机抽取人，所有可能的结果有，，，，，，，，，，共种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有种，∴，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为．（2）由列联表得，.所以有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关． y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d晚上白天总计男婴45AB女婴E35C总计98D180合计835113445合计4280abcd男女总计爱好ab73不爱好c25总计74男女总计爱好522173不爱好222547总计7446120每年体检每年未体检合计老年人年轻人合计35岁以上35岁以下总计男性aca＋c女性bdb＋d总计a＋bc＋da＋b＋c＋d0.0500.0100.0013.8416.63510.828喜欢不喜欢总计男30m20m50m女20m30m50m总计50m50m100m附：男生女生合计喜欢躺着看书2m不喜欢躺着看书合计A试验区B试验区合计优质棉10非优质棉30合计1200.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A试验区B试验区合计优质棉102030非优质棉603090合计7050120X0123P0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828喜欢不喜欢合计男153045女54045合计207090经常用外卖平台点餐基本不用外卖平台点餐总计岁及以下岁以上总计经常用外卖平台点餐基本不用外卖平台点餐总计岁及以下岁以上总计0120.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879羽毛球课健美操课合计男女48合计1120.150.100.050.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828羽毛球课健美操课合计男8040120女324880合计11288200优秀非优秀合计男生10女生50合计1000.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828优秀非优秀合计男生104050女生203050合计3070100合格品优等品合计甲生产工艺乙生产工艺总计合格品优等品总计甲生产工艺4060100乙生产工艺5545100总计95105200喜爱不喜爱合计男女合计喜爱不喜爱合计男女合计0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828一级品二级品总计甲机床乙机床总计一级品二级品总计甲机床16218乙机床7512总计23730甲参加比赛甲末参加比赛合计球队胜球队负合计甲参加比赛甲末参加比赛合计球队胜453075球队负52025合计5050100012关注不关注合计男生女生合计0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828关注不关注合计男生6060120女生206080合计80120200看电视运动合计女302050男204060合计5060110优质花苗非优质花苗合计甲培育法乙培育法合计优质花苗非优质花苗合计甲培育法乙培育法合计0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828
第13讲 独立性检验3种常考题型【考点分析】考点一：2×2列联表设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：考点二：独立性检验利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 考点三：两个临界值：3.841与6.635当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.【题型目录】题型一：2×2列联表题型二：等高条形图题型三：独立性检验解决实际问题【典型例题】题型一：2×2列联表【例1】下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么__________．【答案】82【分析】根据列联表，可得方程，解之即可得到结论．【详解】解：由题意，，，，，，，，，故答案为： 82.【例2】如表是列联表，则表中的､的值分别为（ ）A．27､38 B．28､38 C．27､37 D．28､37【答案】A【分析】根据列联表的数据，补全表格，即可判断选项.【详解】解：，.故选：A.【例3】假设有两个变量x与y的列联表如下表：对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大.【详解】对于A， ，对于B，，对于C，，对于D，显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大,故选:B.【题型专练】1．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下列联表：则等于（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据列联表，先求出、和的值，再计算的值．【详解】解：根据题意，可得；，，，即列联表为：．故选：．2．某村庄对该村内名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：已知抽取的老年人、年轻人各名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题中信息可得出关于、、、、、的等式，进而可判断各选项的正误.【详解】由题意得，，，，，，所以，，，，，则.故选：D．3．假设有两个分类变量与的列联表如下表：对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】计算每个选项中的，比较大小后可得出结论.【详解】对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大，对于A选项，，对于B选项，，对于C选项，，对于D选项，，显然D中最大，故选：D.题型二：等高条形图【例1】为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【答案】D【分析】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.【详解】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误；对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误；对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误；对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确.故选：D.【例2】观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量的观测值最小的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接由等高条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小判断即可.【详解】等高的条形图中所占比例相差越小，随机变量的观测值越小.故选：B.【例3】在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A．散点图和残差图 B．残差图和列联表C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表【答案】D【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D【例4】某艺术馆为了研究学生性别和喜欢国画之间的联系，随机抽取80名学生进行调查（其中有男生50名，女生30名），并绘制等高条形图，则这80名学生中喜欢国画的人数为（ ）A．24 B．32 C．48 D．58【答案】D【分析】根据等高条形图计算直接得出结果.【详解】由等高条形图可知，这80名学生中喜欢国画的人数为：.故选：D【例5】为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图(如图)，根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢现金支付D．样本中多数女生喜欢手机支付【答案】C【分析】根据两幅图的信息，逐个分析判断即可【详解】解：对于A，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，所以A正确；对于B，由右图可知，样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，所以B正确；对于C，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，所以C错误；对于D，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，所以D正确，故选：C【题型专练】1．我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（ ）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C．对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D．对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数【答案】C【分析】由等高条形图的特点和性质进行判断，【详解】由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，故选：C．【点睛】本题主要考查了独立性检验中利用等高条形图判断两个变量之间的差异，属于基础题.2．“微信”和“QQ”是腾讯社交体系中的两款产品，小明为了解不同群体对这两款产品的首选情况，统计了周围老师和同学关于首选“微信”或“QQ”的比例，得到如图等高条形图．根据等高条形图中的信息，可判断下列说法正确的是（ ）A．对老师而言，更倾向于首选“微信”B．对学生而言，更倾向于首选“QQ”C．首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多D．如果首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生多【答案】A【分析】先识图再结合图象进行简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：A对老师群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：，故对老师而言，更倾向于首选“微信”，即A正确，B对学生群体而言，首选“微信”与首选“QQ”的比例为：，故对学生而言，更倾向于首选“微信”，即B错误，C由于老师群体与学生群体人数不定，即首选“微信”的老师比首选“微信”的同学无法比较，即C错误， D设老师群体人，学生群体人，则有，即，则小明统计的老师人数不一定比学生多，即D错误，综上所述得：A正确.故选：A.【点睛】本题考查等高条形图及结合图象进行简单的合情推理，属简单题．3．(多选)2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中(35岁以上含35岁)的信息，下列结论中一定正确的是（ ）A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高【答案】ABD【解析】根据等高条形图数据分析即可依次判断.【详解】设等高条形图对应2×2列联表如下：根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上女性多，即a>b；35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d.根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即a>c；女性中35岁以下的比35岁以下的多，即b>d.对于A，男性人数为a＋c，女性人数为b＋d，因为a>b，c>d，所以a＋c>b＋d，所以A正确；对于B，35岁以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，所以B正确；对于C，35岁以下男性人数为c，35岁以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，所以C不一定正确；对于D，35岁以上的人数为a＋b，35岁以下的人数为c＋d，因为a>c，b>d，所以a＋b>c＋d，所以D正确．故选：ABD.4．某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生（其中男生60名，女生40名），并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为_______．【答案】68【分析】根据等高堆积条形图进行数据分析，即可得到答案.【详解】由等高堆积条形图进行数据分析，这100名学生中经常锻炼的人数为：.故答案为：68题型三：独立性检验解决实际问题【例1】在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（ ）附，A．400 B．300 C．200 D．100【答案】B【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，求解即可.【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：，有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，，解得，，，.故选：B【例2】（多选题）为预防近视，某校对“学生性别和喜欢躺着看书”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢躺着看书的人数占男生人数的，女生喜欢躺着看书的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢躺着看书和性别有关，则调查人数中男生人数可能是（ ）参考公式及数据：，其中.A．8 B．10 C．12 D．14【答案】CD【分析】先设男生人数为，，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系式可得答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，，由题意可列出列联表：．由于有的把握认为是否喜欢躺着看书和性别有关，所以；解得：，因为，故的可能取值为：12，13，14，15，16，17，18，19，即男生的人数可以是：12，13，14，15，16，17，18，19，所以选项AB错误，选项CD正确故选：CD.【例3】某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知抽取的容量为120的样本棉花产自于A，B两个试验区，部分数据如下2×2列联表：将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；(3)若从这批120个样本棉花中随机抽取3个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望.注：①独立性检验的临界值表：②，其中.【答案】(1)(2)列联表见解析，没有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系；(3)X的分布列见解析，【分析】（1）利用频率和为1列出关于a的方程，解之即可求得a的值；（2）先求得抽取的优质棉样本数为30，进而求得非优质棉样本数为90，进而补全表格；求得的值并与进行大小比较即可得到是否有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系.（3）先求得X的各可能取值的概率，进而得到X的分布列；依据数学期望的定义即可求得.【详解】（1）由，解得（2）抽取的优质棉样本数为则非优质棉样本数为90，则2×2列联表如下：则没有99.9%的把握认为优质棉与A，B两个试验区有关系.（3）X的可能取值为0，1，2，3则，，则X的分布列如下：数学期望.【例5】某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜欢，白色代表不喜欢，单位：人）．(1)写出列联表；(2)依据的独立性检验，分析喜欢这项体育运动是否与性别有关；(3)在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率．附表及公式：，其中．【答案】(1)列联表见解析；(2)认为喜欢这项体育运动与性别无关；(3)【分析】（1）由题图数据列表（2）由公式计算卡方后判断（3）由古典概型求解（1）观察题中二维条形图，可得被调查的男生总共45人，其中喜欢这项运动的有15人，不喜欢的有30人；被调查的女生总共45人，其中喜欢这项运动的有5人，不喜欢的有40人．由此写出列联表如下：单位：人（2）零假设为：喜欢这项体育运动与性别无关．计算可得，所以依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢这项体育运动与性别无关．（3）设喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生分别为，，．任选两人的情况有，，，选一名男生和一名女生的情况有，，所以恰是一男一女的概率．【例6】随着电商事业的发展和工作生活节奏的加快，人们的生活方式和生活理念正在发生巨大的改变．通过外卖App下单订餐叫外卖，正受到越来越多的市民尤其是青年上班族的喜爱．为了解市民是否经常利用外卖平台点餐，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了人进行抽样分析，其中经常用外卖平台点餐的人数是基本不用外卖平台点餐的人数的倍；岁以上经常用外卖平台点餐的人数和基本不用外卖平台点餐的人数相等；岁及以下有人基本不用外卖平台点餐．（1）请完善下面列联表（单位：人），并依据的独立性检验，分析经常利用外卖平台点餐是否与年龄有关？（2）利用分层抽样方法在经常用外卖平台点餐的市民中随机抽取人，再从以上人中随机抽取人．记被抽取的人中“岁以上”的人数为，求随机变量的分布列和均值．附：，其中．临界值表：【答案】（1）列联表见解析，认为经常利用外卖平台点餐与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于；（2）分布列见解析，均值．【分析】（1）根据题中的数据完善列联表，再运用公式分析列联表；（2）根据题意及公式求解随机变量的分布列并计算期望得出结果.【详解】解：（1）设基本不用外卖平台点餐人数为，得所以基本不用外卖平台点餐人数为人因为岁及以下有15人基本不用外卖平台点餐所以岁以上有10人基本不用外卖平台点餐，岁以上有10人经常用外卖平台点餐岁及以下有40人经常用外卖平台点餐列联表如下：由列联表可知，因为所以依据小概率值的独立性检验，认为经常利用外卖平台点餐与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于；（2）由题意可知，抽取的10人中“40岁以上”的市民有2人，的所有可能取值为，，，所以的分布列为所以【题型专练】1．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：则最大有________的把握说变量有关系.（填百分数）【答案】【分析】因为的观测值，进而可得结果.【详解】因为的观测值，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量有关系.所以最大有的把握说变量有关系.故答案为：2．为增强学生体质，充分展示当代青少年积极健康向上的精神风貌，某学校在校内新开设羽毛球课和健美操课，且每名同学只选一课．为了研究选课是否与性别有关系，现随机抽取了高一年级200名学生选课情况（其中男生120人，女生80人）．(1)完成下面的列联表，判断是否有的把握认为选课与性别有关，并说明理由．(2)从上述120名男生中按选羽毛球课和选健美操课进行分层抽样，抽取6人，求从这6人中任取2人，至少有1人选择了羽毛球课的概率．附：（参考公式：，其中【答案】(1)表格见解析，有，理由见解析；(2)【分析】（1）代入公式求得，再与7.879进行比较即可解决；（2）列出所有基本事件，从中选出符合要求的基本事件，以古典概型解之即可.(1)列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算，得 因为，所以我们有的把握认为选课与性别有关(2)因为男生中选羽毛球课和选健美操课的人数之比为，所以用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，得到这6人中选羽毛球课的人数为4人，记为.选健美操课的人数为2人，记为. 从中任取两人的所有基本事件为：共15种.其中至少有一人选择了羽毛球课包含了14种，故所求的概率．3．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．①请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？列联表参考公式及数据：，，【答案】(1)平均成绩73，中位数73.33；(2)①表格见解析，没有；②答案见解析，有.【分析】（1）根据频率直方图，结合平均数和中位数的性质进行求解即可；（2）①根据频率直方图完成列联表，结合题中所给的公式进行求解即可；②根据列联表画出等高条形图，再做出判断即可.（1）这100名学生的平均成绩：，设成绩的中位数为，则根据频率分布直方图可知，有，解得；（2）①根据表中已知数据和频率分布直方图得下表根据表中数据可得，因为4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”． ②根据列联表中数据可知，样本中男生优秀的频率为，男生非优秀的频率为；女生优秀的频率，女生非优秀的频率为．所画等高条形图如图所示：根据等高条形图，比较图中两个用斜纹实线所画条的高可以发现，女生样本中成绩优秀的频率明显高于男生样本中成绩优秀的频率，因此可以认为竞赛成绩优秀与性别有关．4．某企业为响应国家在《“十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”的号召，推进产业结构高端化转型，决定开始投入生产某新能源配件.该企业初步用甲､乙两种工艺进行试产，为了解两种工艺生产新能源配件的质量情况，从两种工艺生产的产品中分别随机抽取了件进行质量检测，得到下图所示的频率分布直方图，规定质量等级包含合格和优等两个等级，综合得分在的是合格品，得分在的是优等品.(1)从这100件甲工艺所生产的新能源配件中按质量等级分层抽样抽取5件，再从这5件中随机抽取2件做进一步研究，求恰有1件质量等级为优等品的概率；(2)根据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为新能源配件的质量等级与生产工艺有关？该企业计划大规模生产这种新能源配件，若你是该企业的决策者，你会如何安排生产，为什么？附：，其中.【答案】(1)(2)列联表答案见解析，有的把握认为配件的质量和生产工艺有关，选择甲工艺生产新能源配件，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图求出合格品､优等品出现的频率，根据分层抽样求出5个配件中，合格品和优等品的件数，再根据古典概型的概率公式可求出结果；（2）根据频率分布直方图求出合格品､优等品的频数，可得列联表，利用公式，其中，求出，对照临界值表可得有的把握认为配件的质量和生产工艺有关.根据优等品率可作出决策.【详解】（1）由甲工艺频率分布直方图可知，合格品､优等品出现的频率分别为和，所以按分层抽样抽取的5个配件中，有合格品2个､优等品3个，所以从5个中随机抽取2个，恰有1个质量等级为优等品的概率为：.（2）甲生产工艺生产的合格品有件，优等品有件，乙生产工艺生产的合格品有件，优等品有件，所以列联表为：所以由于，所以有的把握认为配件的质量和生产工艺有关.应该选择甲工艺生产新能源配件，因为甲的优等品率为，乙的优等品率仅为.5．为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质能力，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台开设书法兴趣班，为了解学生对这个兴趣班的喜爱情况，该校随机抽取了该校名学生，调查他们对这个兴趣班的喜爱情况，得到下面的2×2列联表：以调查得到的男、女学生喜欢书法兴趣班的频率代替概率.(1)完成题中的2×2列联表，并判断能否有的把握认为是否喜欢书法兴趣班与性别有关；(2)从该校喜欢书法兴趣班的学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生，求这名学生中至少有名女学生的概率.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1)见解析；(2).【分析】（1）根据题意完成列联表，并根据计算公式计算的值，比较判断可得结论；（2）找到总的样本点个数，和事件对应的样本点个数，代入古典概型概率计算公式计算可得答案.【详解】（1）完成列联表如下:,所以有的把握认为是否喜欢书法兴趣班与性别有关；（2）该校喜欢书法兴趣班的学生中，男女生的比例为，用分层抽样的方法抽取名学生，所以男女生各有各学生，从这名学生中随机抽取名学生，记为事件，则总的样本点个数是，全是男生的样本点个数是，所以这名学生中至少有名女学生的概率为.6．甲、乙两台机床加工同一规格（直径）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，数据如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过的零件为一级品，误差大于的零件为二级品．附，其中．(1)根据以上数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异：(2)以该时间段内两台机床生产的产品的一级品和二级品的频率代替概率，从甲机床生产的零件中任取2个，从乙机床生产的零件中任取3个，比较甲、乙机床取到一级品个数的期望的大小．【答案】(1)表格见解析，没有；(2)甲的期望大．【分析】（1）根据题中数据，可以得出两机床一、二级品的数量，将得到的数据补充在列联表中，根据公式即可解出的值；（2）由题意可设这2个零件中一级品的个数为X，3个零件中一级品的个数为Y，则随机变量X，Y服从二项分布，根据二项分布，即可解出期望值，得出结果.【详解】（1）由已知可得，甲机床的二级品有19.7，20.3，共2个，其余16个为一级品；乙机床的二级品有19.5，19.6，19.7，20.3，20.4，共5个，其余7个为一级品.所以，列联表如下：根据列联表得，因为，所以没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．答：没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．（2）由（1）可知，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为.从甲机床生产的零件中任取2个，设这2个零件中一级品的个数为X，从乙机床生产的零件中任取3个，设这3个零件中一级品的个数为Y，则随机变量X，Y服从二项分布，即，，所以，，所以甲的期望的大．答：甲的期望的大．7．2022年12月6日中国职业篮球联赛将开始第二阶段比赛，某队为了考察甲球员对篮球队的贡献，通过对甲参加的50场比赛和末参加的50场比赛调查，得到如下等高堆积条形图：(1)根据等高堆积条形图，填写列联表，并依据的独立性检验，分析该球队胜利与甲球员参赛是否有关(2)在训练过程中，甲乙丙三人相互做传球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为.若先由甲控制球，经过3次传球后，球员乙控制球的次数为，求的分布列与期望.附表及公式：.【答案】(1)列联表见解析，该球队胜利与甲球员参赛有关;(2)分布列见解析，.【分析】（1）根据等高条形图完成列联表，利用表中数据计算出观测值,与临界值进行比较即可求解.（2）根据已知条件写出随机变量的取值，求出随机变量对应的概率，结合离散型随机变量的期望公式即可求解.【详解】（1）列联表如下：零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关. 根据表中数据，计算得到，依据的独立性检验，我们推断不成立，即该球队胜利与甲球员参赛有关.（2）由题知的所有可能取值为， ；；；所以的分布列为：.8．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得成圆满成功.某校为了解本校学生对此新闻事件的关注度，从本校学生中随机抽取了200名学生进行调查，调查样本中有80名女生.根据样本的调查结果绘制成如图所示的等高堆积条形图.(1)完成上面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为学生是否关注“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件与性别有关.(2)从这200名学生里对“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件不关注的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机选取2人参与该新闻事件的学习.求这2名学生不全是男生的概率.附：，其中.【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）利用条形图进行完成列联表，根据所给的卡方公式，结合临界值进行求解判断即可.（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】（1）女生中关注该新闻事件的人数为，不关注的女生人数为，男生中关注该新闻事件的人数为，不关注的男生人数为，列联表如下：因为8，所以有99.9%的把握认为学生是否关注“神州十三号飞船成功着陆”新闻事件与性别有关；（2）因为在不关注该新闻事件中男生与女生的人数一样多，所以这6人中男生与女生的人数也相同，因此这6名学生中随机选取2人参与该新闻事件的学习.求这2名学生不全是男生的概率：.9．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动.（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系.【答案】（1）列联表答案见解析；（2）性别与休闲方式有关系.【分析】（1）根据2×2的列联表要求列表.（2）根据列联表中的数据,分别算出女性、男性中休息方式为看电视的频率即可判断.【详解】（1）2×2的列联表：（2）根据列联表中的数据，可得女性中休息方式为看电视的频率为，男性中休息方式为看电视的频率为，二者差别较大，可知性别与休闲方式有关系.10．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在，实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在，试验地随机抽选各株，对每株进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；（2）记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）【答案】（1），；（2）是，详见解析【分析】(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1可以求得;由中位数两侧频率均为0.5可求出中位数;(2)由题意先补填列联表,然后由列联表求,再进行比较判断.【详解】解：（1）由，解得.令得分中位数为，由，解得.故综合评分的中位数为.（2）列联表如下表所示：可得.所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图,相关统计量,列联表,相关性等基础知识;考查数据处理能力,运算求解能力,应用意识和创新意识,属于一般难度的题.11．为研究患肺癌与是否吸烟有关，某肿瘤机构随机抽取了40人做相关调查，其中不吸烟人数与吸烟人数相同，已知吸烟人数中，患肺癌与不患肺癌的比为；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为.（1）现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；（2）是否有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关？附：，其中.【答案】（1）（2）有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关【详解】试题分析：（1）由题意可得列联表，穷举得到两人都是吸烟患肺癌的概率为；（2）由列联表得，. 所以有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关．试题解析：由题意可得列联表如下：（1）吸烟患肺癌的有人，不患肺癌的有人．用分层抽样的方法抽取人，则应抽取吸烟患肺癌的人，记为，，，．不吸烟患肺癌的人，记为．从人中随机抽取人，所有可能的结果有，，，，，，，，，，共种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有种，∴，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为．（2）由列联表得，.所以有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关． y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d晚上白天总计男婴45AB女婴E35C总计98D180合计835113445合计4280abcd男女总计爱好ab73不爱好c25总计74男女总计爱好522173不爱好222547总计7446120每年体检每年未体检合计老年人年轻人合计35岁以上35岁以下总计男性aca＋c女性bdb＋d总计a＋bc＋da＋b＋c＋d0.0500.0100.0013.8416.63510.828喜欢不喜欢总计男30m20m50m女20m30m50m总计50m50m100m附：男生女生合计喜欢躺着看书2m不喜欢躺着看书合计A试验区B试验区合计优质棉10非优质棉30合计1200.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A试验区B试验区合计优质棉102030非优质棉603090合计7050120X0123P0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828喜欢不喜欢合计男153045女54045合计207090经常用外卖平台点餐基本不用外卖平台点餐总计岁及以下岁以上总计经常用外卖平台点餐基本不用外卖平台点餐总计岁及以下岁以上总计0120.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879羽毛球课健美操课合计男女48合计1120.150.100.050.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828羽毛球课健美操课合计男8040120女324880合计11288200优秀非优秀合计男生10女生50合计1000.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828优秀非优秀合计男生104050女生203050合计3070100合格品优等品合计甲生产工艺乙生产工艺总计合格品优等品总计甲生产工艺4060100乙生产工艺5545100总计95105200喜爱不喜爱合计男女合计喜爱不喜爱合计男女合计0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828一级品二级品总计甲机床乙机床总计一级品二级品总计甲机床16218乙机床7512总计23730甲参加比赛甲末参加比赛合计球队胜球队负合计甲参加比赛甲末参加比赛合计球队胜453075球队负52025合计5050100012关注不关注合计男生女生合计0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828关注不关注合计男生6060120女生206080合计80120200看电视运动合计女302050男204060合计5060110优质花苗非优质花苗合计甲培育法乙培育法合计优质花苗非优质花苗合计甲培育法乙培育法合计0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828
相关资料
更多
