2024年高考数学重难点突破专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明150

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2019年
2019年
8.（2019全国I理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底
的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如
此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满
足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高
可能是
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190 cm
8 解析 头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度小于，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小，
即有该人的身高小于，
又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm之间．故选B．
9. （2019全国II理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面
软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问
题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿
着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球
质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和
万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A．B．
C．D．
9解析 解法一（直接代换运算）：由及可得，
.
因为，所以，则，.故选D.
解法二（由选项结构特征入手）：因为，所以，
r满足方程：．
所以，
所以故选D.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则
A．， B．，
C．， D．，
2．(2018北京)设集合则
A．对任意实数，B．对任意实数，
C．当且仅当时，D．当且仅当时，
3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
4．（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则

A．<< B．<< C．<5．(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
6．(2015广东)若集合，且
，，
用表示集合中的元素个数，则
A． B． C． D．
7．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有
A．人 B．人 C．人 D．人
8．（2014山东）用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是
A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根
9．（2011江西）观察下列各式: ，，，，则的末四位数字为
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
10．（2010山东）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=
A． B． C． D．
二、填空题
11．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ．
12．（2017北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，=1，2，3．
①记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，，中最大的是_ ___．
②记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，，中最大的
是______．
13．(2016新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
14．（2016山东）观察下列等式：
；
；
；
；
……
照此规律，
_______．
15．（2015陕西）观察下列等式：
1－
1－
1－
……
据此规律，第个等式可为______________________．
16．（2015山东）观察下列各式：
；
；
……
照此规律，当时，
．
17．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点 作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，依此类推，设，，，…，，则__．
18．(2014福建)若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是____．
19．(2014北京)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
则最短交货期为 个工作日．
20．(2014陕西)已知，若，则的表达式为________．
21．(2014陕西)观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________．
22．(2013陕西)观察下列等式:

…
照此规律, 第个等式可为 ．
23．(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第个三角形数为．记第个边形数为
，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
……
可以推测的表达式，由此计算 ．
24．(2012陕西)观察下列不等式
，
，
……
照此规律，第五个不等式为 ．
25．(2012湖南)设，将个数依次放入编号为1,2，…，的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为C变换，将分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段C变换，得到，例如，当=8时，，此时位于中的第4个位置.
（1）当=16时，位于中的第 个位置；
（2）当（）时，位于中的第 个位置.
26．(2011陕西)观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为 ．
27．(2010浙江)设，将
的最小值记为，则
其中=__________________．
28．(2010福建)观察下列等式：K^S*5U.C#O
① cs2=21；
② cs4=88+ 1；
③ cs6=3248+ 181；
④ cs8=128256+ 16032+ 1；
⑤ cs10=1280+ 1120++1．
可以推测，= ．
三、解答题
29．（2018北京）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记
．
(1)当时，若，，求和的值；
(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
30．(2018江苏)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为的全部排列的个数．
(1)求的值；
(2)求的表达式(用表示)．
31．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
32．（2017北京）设和是两个等差数列，记
，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
33．(2016江苏)记．对数列（）和的子集，若，定义；若，定义．例如：时，．现设（）是公比为的等比数列，且当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意正整数（），若，求证：；
(3)设，，，求证：．
34．(2016浙江)设函数=，．证明：
(1)；
(2)．
35．(2015湖北)已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间，并比较与e的大小；
(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
(3)令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．
36．(2015江苏)已知集合，设整除或，令表示集合所含元素的个数．
(1)写出的值；
(2)当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．
37．(2014天津)已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，
集合.
(1)当，时，用列举法表示集合；
(2)设，，，其中，
，．证明：若，则．
38．(2013江苏)设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和. 记，，其中为实数.
(1)若，且，，成等比数列，证明：；
(2)若是等差数列，证明：．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳（单位：次）
63
a
75
60
63
72
70
a−1
b
65
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料
原料
多面体
面数（）
顶点数（)
棱数（)
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12