（全国通用）中考数学总复习 专题04 二次根式（12个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题04 二次根式（12个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共34页。
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc24228" 【考点1 二次根式的定义】 PAGEREF _Tc24228 \h 1
\l "_Tc1281" 【考点2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc1281 \h 2
\l "_Tc21803" 【考点3 二次根式的性质与化简】 PAGEREF _Tc21803 \h 2
\l "_Tc9566" 【考点4 最简二次根式】 PAGEREF _Tc9566 \h 2
\l "_Tc4963" 【考点5 二次根式的乘除】 PAGEREF _Tc4963 \h 3
\l "_Tc2920" 【考点6 分母有理化】 PAGEREF _Tc2920 \h 3
\l "_Tc846" 【考点7 同类二次根式】 PAGEREF _Tc846 \h 4
\l "_Tc18734" 【考点8 二次根式的加减法】 PAGEREF _Tc18734 \h 5
\l "_Tc18055" 【考点9 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc18055 \h 5
\l "_Tc6783" 【考点10 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc6783 \h 6
\l "_Tc20413" 【考点11 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc20413 \h 6
\l "_Tc7428" 【考点12 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc7428 \h 6
【要点1 二次根式的定义】
一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。
【考点1 二次根式的定义】
【例1】（2022·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：①13；②1−2；③x2+1；④327；⑤−42，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤B．①③C．①②③D．①②③⑤
【变式1-1】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【变式1-2】（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（ ）
A．a+bB．stC．−x3D．aa≥0
【变式1-3】（2022·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=6−25为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，且a，b为有理数，则a=______，b=______．
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式(x−1)(x+2)=x−1⋅x+2成立，则字母x应满足条件（ ）
A．x≥0B．x≥−2C．−2≤x≤1D．x≥1
【变式2-1】（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=x−2+4−2x+3，则xy的值为________．
【变式2-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
【变式2-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1B．x>−3且x≠1C．x>−3D．x≥−3且x≠1
【要点2 二次根式的基本性质】
① (a)2=a (a≥0)； ② a2=a (a≥0)； ③ a2=−a(a＜0)
【考点3 二次根式的性质与化简】
【例3】（2022·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（ ）
A．721=3B．3−8=−2C．a2=aD．25=±5
【变式3-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【变式3-2】（2022·福建·莆田第十五中学八年级阶段练习）若12a是整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-3】（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【要点3 最简二次根式】
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
【考点4 最简二次根式】
【例4】（2022·江苏·射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．30B．12C．8D．12
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·二模）若最简二次根式a+1与8是可以合并的二次根式，则a＝______．
【变式4-2】（2022·重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．8B．13C．ab2D．3
【变式4-3】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【要点4 二次根式的乘除】
二次根式的乘法：
； (a≥0， b≥0)
二次根式的除法：
； (a≥0， b＞0)
【考点5 二次根式的乘除】
【例5】（2022·湖北恩施·中考真题）从2，−3，−2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【变式5-1】（2022·广东番禺中学三模）计算：ab÷ab⋅1ab等于（ ）
A．1|a|b2abB．1ababC．1babD．bab
【变式5-2】（2022·广东佛山·一模）下列整数中，与(424-30)÷6的值最接近的是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5-3】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）能与3÷6相乘得1的是（ ）
A．1÷2B．2÷6C．6÷3D．3÷6
【考点6 分母有理化】
【例6】（2022·福建·漳州三中八年级阶段练习）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
12+1=2−1 13+2=3−2 14+3=4−3 15+4=5−4
(1)求110+9=__________；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；
(3)利用这一规律计算：12+1+13+2+14+3+⋯+12020+2019⋅2020+1
【变式6-1】（2022·安徽·二模）-23的倒数是 （ ）
A．-232B．-23C．−32D．−322
【变式6-2】（2022·河北保定·一模）已知x=12+3，y=2+3．则
（1）x2+y2=________；
（2）(x−y)2−xy=________．
【变式6-3】（2022·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(5−2)(5+2)=1，a⋅a=a，(23−2)(23+2)=10．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：13−5=3+54；
乙：设有理数a，b满足：a2+1+b2−1=−62+4，则a+b=6；
丙：12022−2021>12020−2019；
丁：已知43−x−11−x=4，则43−x+11−x=6；
戊：13+3+153+35+175+57+⋯+19997+9799=33−1166.
以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
【考点7 同类二次根式】
【例7】（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，与3x是同类二次根式的是（ ）
A．x3B．3xC．3xD．3x2
【变式7-1】（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式3x−5与x+3是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-2】（2022·上海·模拟预测）二次根式5x+8与7是同类二次根式，则x的最小正整数为（ ）
A．4B．5C．6D．−15
【变式7-3】（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）如果二次根式x+5与2可以合并，那么x的值可以是_________（只需写出一个）
【考点8 二次根式的加减法】
【例8】（2022·河北·模拟预测）如果a+1与12的和等于33，那么a的值是___________．
【变式8-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算3+313的结果是___________．
【变式8-2】（2022·河北省保定市第二中学分校一模）18−3+12−8＝__________________．
【变式8-3】（2022·河北唐山·二模）已知：−50+12=a2+b2=c2，则ab＋c＝________．
【考点9 二次根式的混合运算】
【例9】（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）计算23÷3+13的结果是____．
【变式9-1】（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅6−343=__________．
【变式9-2】（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：18−3×23；
(2)按要求填空：
小王计算2xx2−4−1x+2的过程如下：
解：2xx2−4−1x+2
=2xx+2x−2−1x+2−−−−−−−第一步=2xx+2x−2−x−2x+2x−2−−第二步
=2x−x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第三步=x−2x+2x−2−−−−−−−−−−−第四步=x−2x+2−−−−−−−−−−−−−−−−第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【变式9-3】（2022·江苏·九年级二模）如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．6+2B．32C．2+3D．3+2
【考点10 二次根式的化简求值】
【例10】（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式(x+2)2−(x−2)2=__________．
【变式10-1】（2022·四川·隆昌市蓝天育才学校一模）已知a+b=3，ab=2，则ab+ba的值为_________．
【变式10-2】（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）已知x−1x=2，那么x2+1x2−2−xx2+2x+1的值等于________．
【变式10-3】（2022·湖北·荆门市海慧中学八年级阶段练习）已知xy=3，则yxy+xyx=________．
【考点11 比较二次根式的大小】
【例11】（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式11-1】（2022·陕西延安·二模）比较大小：23_____32（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【变式11-2】（2022·湖南怀化·中考真题）比较大小：22 __________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【变式11-3】（2022·贵州安顺·中考真题）估计(25+52)×15的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【考点12 二次根式的应用】
【例12】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，按下列方式进行排列：
2，2，6，22；
10，23，14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为________．
【变式12-1】（2022·江苏无锡·一模）按一定规律排列的一列数：3，82，153，244，……其中第5个数为______，第n个数为_______（n为正整数）．
【变式12-2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）阅读与应用：同学们，你们已经知道(a−b)2≥0，即a2−2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)．
阅读1：若a、b为实数，且a>0，b>0，∵(a−b)2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号)．
阅读2：若函数y=x+mx(m>0，x>0，m为常数)．由阅读1结论可知：x+mx≥2x⋅mx，即x+mx≥2m∴当x=mx即x2=m，∴x=m(m>0)时，函数y=x+mx的最小值为2m．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为4x，周长为2x+4x，当x=______时，矩形周长的最小值为______．
问题2：若函数y=a+9a−1(a>1)，则a=______时，函数y=a+9a−1(a>1)的最小值为______．
问题3：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y元，求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？
【变式12-3】（2022·贵州铜仁·三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp−ap−bp−c（其中a，b，c是三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p=a+b+c2=6
∴S=pp−ap−bp−c=6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．

专题04 二次根式（12个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc24228" 【考点1 二次根式的定义】 PAGEREF _Tc24228 \h 1
\l "_Tc1281" 【考点2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc1281 \h 3
\l "_Tc21803" 【考点3 二次根式的性质与化简】 PAGEREF _Tc21803 \h 5
\l "_Tc9566" 【考点4 最简二次根式】 PAGEREF _Tc9566 \h 6
\l "_Tc4963" 【考点5 二次根式的乘除】 PAGEREF _Tc4963 \h 8
\l "_Tc2920" 【考点6 分母有理化】 PAGEREF _Tc2920 \h 10
\l "_Tc846" 【考点7 同类二次根式】 PAGEREF _Tc846 \h 13
\l "_Tc18734" 【考点8 二次根式的加减法】 PAGEREF _Tc18734 \h 15
\l "_Tc18055" 【考点9 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc18055 \h 16
\l "_Tc6783" 【考点10 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc6783 \h 19
\l "_Tc20413" 【考点11 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc20413 \h 21
\l "_Tc7428" 【考点12 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc7428 \h 23
【要点1 二次根式的定义】
一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。
【考点1 二次根式的定义】
【例1】（2022·河南·灵宝市实验中学三模）下列式子：①13；②1−2；③x2+1；④327；⑤−42，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤B．①③C．①②③D．①②③⑤
【答案】A
【分析】由二次根式的性质和定义进行判断，即可得到答案
【详解】解：13、x2+1、−42是二次根式；故①③⑤符合题意；
1−2=−1无意义，327是三次方根式；故②④不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，解题的关键是掌握二次根式的定义进行判断
【变式1-1】（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，可得4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，
∴3a−b=24a+3b=2a−b+6，
∴3a−b=2a+2b=3，
解得a=1b=1，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）下列各式中是二次根式的为（ ）
A．a+bB．stC．−x3D．aa≥0
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义判定即可．
【详解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、st是分式不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、−x3是单项式不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、aa≥0是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的定义“形如aa≥0的式了叫二次根式”是解题的关键．
【变式1-3】（2022·河南省淮滨县第一中学三模）已知x=6−25为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，且a，b为有理数，则a=______，b=______．
【答案】 2； −4；
【分析】将x=6−25因式分解求得x=5−1，则x2+ax+b=0可化简得5a−2+b−a+6=0，根据a，b为有理数，可得a−2，b−a+6也为有理数，故当5a−2+b−a+6=0时候，只有a−2=0，b−a+6=0，据此求解即可．
【详解】解：∵x=6−25
=5−25+1
=52−25+12
=5−12
=5−1
∴x2+ax+b=0
∴5−12+a5−1+b=0
∴6−25+5a−a+b=0
∴5a−25−a+b+6=0
∴5a−2+b−a+6=0
∵a，b为有理数，
∴a−2，b−a+6也为有理数，
故当5a−2+b−a+6=0时候，只有a−2=0，b−a+6=0，
∴a=2，b=−4，
故答案是：2，−4；
【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
【考点2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）若等式(x−1)(x+2)=x−1⋅x+2成立，则字母x应满足条件（ ）
A．x≥0B．x≥−2C．−2≤x≤1D．x≥1
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义可以得知x−1≥0，x+2≥0构成不等式组就可以求出其x的取值范围．
【详解】解：∵x−1+2=x−1⋅x+2，
∴x−1≥0x+2≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件及不等式组的解法，根据二次根式有意义的条件列出不等式组是解答关键.
【变式2-1】（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）已知x，y均为实数，y=x−2+4−2x+3，则xy的值为________．
【答案】8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵y=x−2+4−2x+3，
∴x−2⩾04−2x⩾0，
∴x=2，
∴y=3，
∴xy=23=8，
故答案为：8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键.
【变式2-2】（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
【变式2-3】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y=xx+3+1x−1的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠−3且x≠1B．x>−3且x≠1C．x>−3D．x≥−3且x≠1
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，x+3>0x−1≠0
∴x>−3且x≠1
故选B
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
【要点2 二次根式的基本性质】
① (a)2=a (a≥0)； ② a2=a (a≥0)； ③ a2=−a(a＜0)
【考点3 二次根式的性质与化简】
【例3】（2022·四川宜宾·二模）下列计算正确的是（ ）
A．721=3B．3−8=−2C．a2=aD．25=±5
【答案】B
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、721＝33≠3，所以本选项计算错误，不符合题意；
B、3−8=﹣2，所以本选项计算正确，符合题意；
C、a2=a=±a，所以本选项计算错误，不符合题意；
D、25=5，所以本选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握三者的概念的区别与联系是解题的关键．
【变式3-1】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【答案】B
【分析】根据数轴得∶ 01)，
∴由阅读2结论可知，a−1+9a−1+1≥2a−1⋅9a−1+1，即a−1+9a−1+1≥7，
∴当a−1=9a−1即a−12=9，
∴a−1=3，a−1=−3（不合题意舍去），
∴当a=4时，函数y=a+9a−1(a>1)的最小值为7；
故答案为：4，7；
问题3：∵根据题意得长方体的宽为4x米，
∴y=x⋅4x⋅120+2⋅4x⋅2⋅80+2⋅x⋅2⋅80=480+320x+4x，
∵x+4x≥4，
∴当x=4x，即x=−2（不合题意舍去），x=2时，函数y=480+320x+4x的最小值为1760，
∴当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元．
答：当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元．
【点睛】此题主要考查反比例函数，函数最值的确定方法，涉及到的知识点有二次根式、矩形的周长、立方体的体积等，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．
【变式12-3】（2022·贵州铜仁·三模）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp−ap−bp−c（其中a，b，c是三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5
∴p=a+b+c2=6
∴S=pp−ap−bp−c=6×3×2×1=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【答案】（1）102；（2）r=2．
【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=pp−ap−bp−c即可求得S的值；
（2）根据公式S=12r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【详解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p=BC+AC+AB2=5+6+92=10，
∴S=pp−ap−bp−c=10×5×4×1=102；
故△ABC的面积102；
（2）∵S=12r（AC+BC+AB），
∴102=12r（5+6+9），
解得：r=2，
故△ABC的内切圆半径r=2．
【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键．