高中数学11.1 余弦定理课时练习

这是一份高中数学11.1 余弦定理课时练习，共31页。
考点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
考点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
考点三 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【题型归纳】
题型一：余弦定理解三角形
1．（2022·浙江·高一）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．90°B．120°C．60°D．150°
2．（2022·全国·高一）在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·高一课时练习）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则BC边上的中线长为（ ）
A．B．C．2D．
题型二：余弦定理边角互化判断三角形的形状
4．（2023·四川·射洪中学高一阶段练习）的内角，，的对边分别为，，.若，则为（ ）
A．等腰且直角三角形B．等腰或直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
5．（2023·天津经济技术开发区第一中学高一期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
6．（2023·云南·昆明八中高一阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
题型三：余弦定理的综合应用问题
7．（2022·江苏·高一课时练习）（1）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求B；
（2）在△ABC中，试判断三角形△ABC的形状
8．（2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，.
（1）证明：；
（2）若，，.求的周长.
9．（2018·山东·青岛二中高一期中）在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，求周长的最大值；
【双基达标】
一、单选题
10．（2022·河南·高一阶段练习）的三边长之比为，则最小角和最大角之和的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
12．（2022·全国·高一专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全国·高一专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
14．（2023·江苏省外国语学校高一期中）在中，，，的面积为，则为（ ）．
A．B．C．D．
15．（2022·全国·高一课时练习）在中，
(1)已知b＝8，c＝3，，求a；
(2)已知a＝7，b＝3，c＝5，求；
(3)已知a＝20，b＝29，c＝21，求．
16．（2023·浙江·金华市云富高级中学高一阶段练习）从①的面积S=；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.如图，在平面四边形中，AB=CD=2，B=，对角线平分，且____________，求线段的长.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【高分突破】
一：单选题
17．（2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）在中，角所对的边分别是，若边上的中线长为4，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·贵州·贵阳市第二十五中学高一阶段练习）在中，若，则等于（ ）
A．B．或C．D．
19．（2023·吉林·长春市第八中学高一期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即．则（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·福建厦门·高一期末）的内角，，的对边分别是，，.已知，，边上的中线长度为，则（ ）
A．B．C．1D．
22．（2023·安徽宿州·高一期末）在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·上海市控江中学高一期中）设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则下列命题
①若，则；②若，则；
③若，则为钝角三角形；④若，则；
中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
24．（2023·河北·武安市第一中学高一阶段练习）△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．sin(B+C)=sinAB．cs(B+C)=csA
C．若，则为直角三角形D．若，则为锐角三角形
26．（2023·江苏江苏·高一期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若为边上的角平分线，则
C．边上的中线长为
D．若，则的外接圆半径是
27．（2023·江西抚州·高一期中）《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是（ ）
A．的周长为B．三个内角满足
C．外接圆的直径为D．的中线的长为
三、填空题
28．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则________.
29．（2022·广东·金山中学高一）在中，，，分别是内角，，的对边，若，，，则的周长为______.
30．（2023·云南省南涧县第一中学高一）在中，内角，，所对的边分别为，，.若.则角的取值范围是_______.
31．（2023·安徽·合肥一六八中学高一期中）南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学､中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理､定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族､他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a､b､c､S为三角形的三边和面积）表示，在中，a､b､C分别为角A､B､C所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
四、解答题
32．（2022·江苏·高一课时练习）在；②两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知的内角，，的对边分别为，，，________，，求的最小值．
33．（2022·全国·高一）（1）如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，，求的值；
（2）在圆的内接四边形ABCD中，，，，，求的值（用a，b，c，d表示）.
34．（2023·全国·高一课时练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4accs2＝a2+c2﹣b2．
（1）求B；
（2）若c＝3，且AC边的中线BM＝，求a的值．
35．（2023·重庆实验外国语学校高一阶段练习）在①，②的面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
已知的内角，，所对的边分别是，，，且______．
（I）求角的大小；
（II）若，求面积的最大值．
36．（2023·江苏徐州·高一期中）如图，在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点，且.
（1）若，求的长；
（2）若，求及的长.
37．（2023·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）在中，三个内角的对边分别为，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccs A，
b2＝a2＋c2－2accs B，
c2＝a2＋b2－2abcs C
推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
【答案详解】
1．C
【详解】
因为，，，
所以，
由，则,
故选：C
2．B
【详解】
在中，由余弦定理有，
所以，
在中，由余弦定理有，
又，所以，
在中，由余弦定理有
，
所以．
故选：B
3．D
【详解】
解：，
整理得：，
整理得：舍去），
由于，
所以，
故，
所以．
由于，，解得；
如图所示：
在中，过点作于点，
设，则，
所以，解得，
故，，
所以在中，
利用余弦定理：，
解得：．
故选：．
4．D
【详解】
由结合余弦定理可得，
化简得，即，所以为等腰三角形.
故选：D.
5．D
解：由，得，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，，
所以或，
所以或，
所以为等腰或直角三角形，
故选：D
6．A
【详解】
由余弦定理得，所以，
所以，得，故是等腰三角形．
故选：A
7．（1）；（2）△ABC是直角三角形.
【详解】
解：（1）由知，
，而，所以；
（2）由得，即，
所以，即，
所以，即，
而，所以，即，
所以△ABC是直角三角形.
8．（1）证明见解析；（2）
解：（1）证明：由题意得，
所以，得证．
（2）因为，
所以，
由（1）可知，，即，
因为，
所以．
在中，由余弦定理，得：，即，
解得或（舍去，
所以，即的周长为20．
9．（1）；（2）3．
【详解】
解：（1），整理可得：，
由余弦定理可得：，
，
；
（2）若，
，
又由余弦定理得
，
，∴，当且仅当时等号成立，
周长为，
故周长的最大值为3．
10．C
【详解】
由题意不妨设，则
，
所以，
所以最小角和最大角之和的余弦值为，
故选：C
11．C
【详解】
由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
12．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理，转化，结合即得解
【详解】
由题意，结合余弦定理
又
故选：B
13．C
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，由此判断三角形形状得解.
【详解】
因，则有，即，可得，此时，有，
所以是等边三角形.
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
由已知条件，先根据三角形面积公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值，即可得的值.
【详解】
解：在中，
因为，，的面积为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以.
故选：B.
15．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理求得.
（2）利用余弦定理求得，进而求得.
（3）利用余弦定理求得，进而求得.
(1)
依题意.
(2)
由余弦定理得，
由于，所以.
(3)
由余弦定理得，
由于，所以.
16．4
【解析】
【分析】
选①，先由三角形面积公式得出，由余弦定理求出，，再由求出线段的长；若选②，过点作延长线的垂线，垂足于，由为等腰直角三角形得出，最后结合角平分线的性质得出线段的长.
【详解】
解：若选①，.
中，，则，
∴，
，
∴中，，
化简得，即得.
若选②，过点作延长线的垂线，垂足于，
因为，所以，所以，
因为对角线平分，所以，，
所以.
17．B
【解析】
【分析】
由条件结合正弦定理求得，在中，由余弦定理知，求得CD，然后求得面积.
【详解】
由正弦定理，结合条件知，，
则，，
则，，三角形为等腰三角形，
设BC边上的中线为AD，

则在中，由余弦定理知，
，又，
解得
则三角形面积
故选：B
18．C
【解析】
【分析】
由余弦定理可得，将条件代入可得，从而可得答案.
【详解】
由，得
在中，由余弦定理可得：
又,所以
故选：C
19．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理求解.
【详解】
由题知，，，
在中，由余弦定理得，，
所以，又，所以.
故选：C.
20．A
【解析】
【分析】
根据图形和已知条件表示出，然后用余弦定理求解即可
【详解】
由正五角星的对称性知：，
不妨设，则，
又，
则，所以，
，
，
故选：A
21．C
【解析】
【分析】
由已知条件利用余弦定理用表示，又，再次利用余弦定理化简等式可用表示c，代入即可得解.
【详解】
在中，由余弦定理，
因为，，边上的中线长度为，
所以，化简可得，
又因为，
由余弦定理得，整理可得，
所以.
故选：C
22．A
【解析】
【分析】
首先由三角形的面积公式和余弦定理求出角，再由正弦定理求出外接圆的半径，由面积公式即可求面积.
【详解】
因为，所以，可得，
由三角形的面积公式可得：，
由余弦定理可得：
所以即，
因为，所以，
由正弦定理可得：外接圆的半径为，
所以外接圆的面积为，
故选：A
23．C
【解析】
【分析】
根据已知条件结合余弦定理以及不等式的性质即可判断；②举出反例即可说明；③利用诱导公式以及正弦函数的单调性即可判断；④结合两角和的正弦和余弦公式进行化简，再结合均值不等式即可判断.
【详解】
①若，所以，则，故①正确；
②当时，，但是，故②错误；
③若，则，，故，所以，所以，则为钝角三角形，故③正确；
④若，则所以，即，所以,所以，故，而，所以则，故④正确；
故选：C.
24．AB
【解析】
【分析】
先用余弦定理求出的长，再求出边AC上的高.
【详解】
由余弦定理得：，解得：或3，经检验均符合，设边AC上的高是，当时，；当时，
故选：AB
25．AC
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答.
【详解】
依题意，中，，，A正确；
，B不正确；
因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确；
因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确.
故选：AC
26．ABD
【解析】
【分析】
由条件求得，从而求得，；由角平分线定理知，，根据平行四边形法则用表示；的边长只有比例关系，求不出中线的长度；由求得的值，结合余弦定理，正弦定理求得外接圆半径.
【详解】
由知，，设，则，
则
，故A正确；
由角平分线定理知，，
则，故B正确；
的边长只有比例关系，求不出中线的长度，故C错误；
若，则，，，
，，
由正弦定理知的外接圆半径是，故D正确；
故选：ABD
27．ABC
【解析】
【分析】
由正弦定理可得：，设，，，利用三角形面积公式可求出的值，进而可得三边的长，求出周长可判断A；由余弦定理求出角结合三角形内角和可判断B；由正弦定理可判断C；将两边平方计算可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
因为，
由正弦定理可得，
设，，，
所以，
整理可得，所以，可得：，
所以，，
对于A：的周长为，故选项A正确；
对于B：由余弦定理得：，因为，所以，所以，所以三个内角满足，故选项B正确；
对于C：由正弦定理知，外接圆直径，故选项C正确；
对于D：如图，所以，
所以，即，解得：，所以的中线的长为，故选项D不正确；
故选：ABC.
28．##0.75
【解析】
【分析】
由题目条件可得，再利用余弦定理代入求解即可.
【详解】
因为，且，得，由余弦定理，.
故答案为：.
29．
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到AC的长度，从而可得结果.
【详解】
由余弦定理可得，，
所以的周长为.
故答案为：
30．
【解析】
【分析】
利用正弦定理和余弦定理得到，即可求出角的取值范围.
【详解】
由正弦定理，可化为，
化简可得，
则，即，
所以，又，所以.
故答案为：.
31．
【解析】
【分析】
由已知结合余弦定理进行化简可得，的关系，然后结合已知公式代入后，利用二次函数的性质可求．
【详解】
解：因为且，
由余弦定理得，即，即，所以，
因为
当，即时，取得最大值．
故答案为：．
32．选择①或②的最小值为.
【解析】
【分析】
选择①利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可求得角，再由余弦定理以及基本等式即可求的最小值；选择②由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式化简可得的值进而可得角，再由余弦定理以及基本等式即可求的最小值.
【详解】
选择①：可得：，
所以，
即，所以，，
因为，所以，所以，，
在中，由余弦定理可得：，当且仅当b=c等号成立
即，所以，所以的最小值为，
选择②：，
由正弦定理化边为角可得：，所以，
即，
因为，所以，，
因为，所以，
在中，由余弦定理可得：
即，所以，所以的最小值为.
33．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，结合余弦定理求出的长度即可求出结果；
（1）作出辅助线，结合余弦定理得到 ，根据关系化简整理即可求出结果.
【详解】
（1）连接，设，
在中，，
在中，，
因此，所以,
所以，解得，
则，
（2）连接，设，
在中，，
在中，，
因此，所以,
所以,
因此，
即，
所以.
34．（1） ；（2） a＝1．
【解析】
【分析】
（1）利用降幂公式，诱导公式，三角形内角和定理，余弦定理化简已知可求csB＝ ，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（II）由已知及中线长定理可得：b2＝2a2+5，由余弦定理可得：b2＝a2+9﹣3a，从而可得：a2+3a﹣4＝0，进而解得a的值．
【详解】
解：（1）∵4accs2 ＝a2+c2﹣b2．
∴4accs2 ＝4ac（ ）＝a2+c2﹣b2．可得：b2＝a2+c2+2accsB﹣2ac，
∵由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accsB，
∴2accsB﹣2ac＝﹣2accsB，可得：csB＝ ，
∵B∈（0，π），
∴B＝．
（II）∵c＝3，AC边的中线BM＝，
∴由中线长定理可得：32+a2＝2[（ ）2+（）2]，
∴整理可得：b2＝2a2+5，
又∵B＝，由余弦定理可得：b2＝a2+9﹣3a，
∴2a2+5＝a2+9﹣3a，整理可得：a2+3a﹣4＝0，解得：a＝1或﹣4（舍去）．
35．选择条件见解析；（I）；（II）
【解析】
【分析】
（I）选择条件①时，利用余弦定理将条件化为，从而求得，求得角C；选择条件②时，根据面积相等有，结合余弦定理化简得，从而求得角C；
（II）利用余弦定理得，结合基本不等式，求得最大值，从而求得面积的最大值.
【详解】
（I）若选择条件①，则
即，由余弦定理知，，
又，因此.
若选择条件②，
则，结合余弦定理知，
，即，，
又，因此.
（II）由（I）知，，又，
则由余弦定理知，，
因此，即，当且仅当时，等号成立，
则的面积，
即的面积最大值为：
36．（1）；（2），
【解析】
【分析】
（1）在中，由余弦定理求得，在结合即可得答案；
（2）在在中，设，结合余弦定理得，进而由余弦定理可得，进而得，最后在中利用余弦定理求解即可.
【详解】
解：（1）在中，是的中点，，故，
因为，，
所以由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以
（2）因为在中，，设，
所以由余弦定理得，
整理得，解得，即
因为是的中点，所以，
所以，
所以，
所以在中，
又因为，
所以，
所以在中，由余弦定理得，
所以.
37．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由结合三角恒等变换可得，进而可解得；
（2）由余弦定理结合基本不等式可得，进而可得面积的最大值.
【详解】
（1）由
又因为，所以，解得
.
（2）在中，，且，
.
，，
，
等号当且仅当时成立.
所以面积的最大值为.