安徽省合肥八中2023-2024学年高三上学期七省联考全真模拟（二）数学试卷

这是一份安徽省合肥八中2023-2024学年高三上学期七省联考全真模拟（二）数学试卷，共19页。试卷主要包含了已知非零向量与满足，若，则，已知函数，则函数的大致图象为，在的展开式中常数项为，设，则的大小关系为，下列结论正确的是，已知函数的部分图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知非零向量与满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数，则函数的大致图象为（ ）
A.B.
C.D.
4.已知某圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，若该圆台的外接球球心为，且，则（ ）
A. B.3 C. D.2
5.若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ）

6.在的展开式中常数项为（ ）
A.721 B.-61 C.181 D.-59
7.在数列中，，则数列的前12项和为（ ）
A.76 B.78 C.80 D.82
8.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是（ ）
A.若随机变量满足，则
B.若随机变量，且，则
C.若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（，可判断有的把握认为与有关
10.已知函数的部分图象如图所示.则（ ）
A.的图象关于中心对称
B.在区间上单调递增
C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D.方程在区间上有5个根
11.已知圆与圆相交于两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线为切点），则说法正确的是（ ）
A.直线的方程为 B.线段的长为
C.直线过定点 D.的最小值是2.
12.已知函数的定义域均为，它们的导函数分别为，且，若是偶函数，则下列正确的是（ ）
A. B.的最小正周期为4
C.是奇函数 D.，则
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则的值为__________.
14.如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有__________种不同的涂色方案？
15.正三棱台中，，点分别为棱的中点，若过点作截面，则截面与上底面的交线长为__________.
16.如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.如图，在中，，点在线段上.
（1）若，求的长.
（2）若的面积为，求的值.
18.已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足求数列的前项和.
19.如图，底面是边长为2的菱形，平面，与平面所成的角为.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.已知
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，关于的方程恒有正数解，求的取值范围.
21.当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表
（1）根据表中数据判断，与（其中…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求y关于x的回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲､乙､丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率.
参考数据：，，，（其中）.
附：样本的最小二乘法估计公式为，.
22.已知椭圆，椭圆上有四个动点与相交于点.如图所示.
（1）当恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线与的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
（2）若点的坐标为，求直线的斜率.
合肥八中2024届高三“七省联考”全真模拟卷数学（二）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】由已知复数在复平面内对应点的坐标为，
则，
所以.
故选：A.
2.【答案】B
【解析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知及数量积定义求夹角余弦值.
【详解】因为，所以，
所以，而，所以，
所以.
故选：B
3.【答案】D
【解析】由题可知：函数定义域为，
，
所以，故该函数为奇函数，排除
又，所以排除，
故选：D
4.【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到，进而求得的值.
【详解】由圆台的上底面圆心为，半径为，下底面圆心为，半径为，高为，
如图所示，因为，所以，
所以，解得，所以.
故选：B.
5.【答案】A
【解析】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则
故所求概率
故选：A.
6.【答案】D
【解析】
【分析】先求出展开式的通项公式，
其中的展开式的通项公式为，令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值.
【详解】的展开式的通项公式为
，
其中的展开式的通项公式为，
当时，，常数项为；
当时，，常数项为；
当时，，常数项为；
故常数项为.
故选：D
7.【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，.
8.【答案】D
【解析】设，作出单位圆，与轴交于点，则，
过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作轴于点，
由三角函数定义可知，
设扇形的面积为，则，即，故，
因为，所以，
又，由得，即，
令，
则，当时，，
故在上单调递减，
所以，所以，
故，
综上，.
故选：D
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】BCD
【解析】对，由方差的性质可知，若随机变量满足，则
，故A错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；
对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C正确；
对D，由可判断与有关，故D正确.
故选：BCD.
10.【答案】ABD
【解析】由图象可知，解得，
又，所以，即，结合，可知，
所以函数的表达式为，
对于A，由于，即的图象关于中心对称，
故A正确；
对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；
对于，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；
对于D，函数的周期是，且，故D正确.
故选：ABD.
11.【答案】BC
【解析】由题知，联立，
两式相减得，
即直线的方程为错；
联立，
解得或，
所以，B正确；
对于，设，
因为为圆的切点，
所以直线方程，
直线的方程为，
又设，
所以，
故直线的方程为，
又因为，
所以，
由得，
即直线过定点正确；
因为，
所以当最小时，最小，
且最小为，
所以此时错.
故选：BC
12.【答案】ABD
【解析】A选项，为偶函数，故，
两边求导得，，
令得，解得正确；
B选项，因为，
所以①，
因为，所以②，
则①②相减得，③，
又④，
则③④相减得，即，
又，故的最小正周期为正确；
C选项，假如为奇函数，则，
当时，可得，
但，当可得，
显然不满足要求，故不是奇函数，错误；
D选项，因为，所以，
又，故，
由B选项得，故，解得，
且，
由选项知的一个周期为4，故，
所以，
则，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】因，即，又，则
，
所以
.
故答案为：
14.答案：恰好用3种不同颜色涂四个区域，则区域或区域或区域必同色，
由分类加法计数原理可得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案
15.【答案】
【解析】连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接，如图，
则线段即为截面与上底面的交线，
因为为的中点，，
所以
过点作的平行线交于点，
因为，
所以，
在中，
.
故答案为：
16.【解析】
设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，
则，
由及双曲线的定义可知，
，
故四边形是正方形，
得，于是，
故，所以，
于，在中，
由余弦定理可得，
从而，所以.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）在中，
.
在中，由正弦定理可得.
（2）的面积为，则
，
由余弦定理得.
由正弦定理可得.
又
.
18.【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，
时，，
两式相减得，
，
相乘得，所以，
当时符合上式，
所以；
（2），
当为奇数时，
.
19.【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）平面平面.
.
又底面是菱形，.
平面，
设交于，取的中点，连，
，四边形是平行四边形
平面
平面，
又因平面，
平面平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系
与平面所成的角为
.
设平面法向量为
设平面的法向量
设二面角的大小为.
.
20.【答案】（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）运用导数分别研究时函数的单调性即可.
（2）当时，运用导数研究在上的最小值即可求得结果.
【详解】（1）.
①时，由在上单调递增.
②时，由得或得，
所以在上单调递增；在上单调递减.
③时，由得或得，
所以在上单调递增；在上单调递减.
综述：①时，在上单调递增；
②时，在上单调递增；在上单调递减；
③时，在上单调递增；在上单调递减.
（2）时，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意
，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，
因为对任意，关于的方程恒有正数解，所以.
21.【答案】（1）适宜；
（2）
【解析】（1）根据表中数据适宜预测未来几年我国区块链企业总数量.
∵，∴，
令，则，
，
，
由公式计算可知
∴，即.
（2）设事件“甲公司获得“优胜公司””，事件“在一场比赛中，甲胜乙”，
事件“在一场比赛中，甲胜丙”，事件“在一场比赛中，乙胜丙”，
则，
因为两两独立，两两互斥，
由概率的加法公式与乘法公式得
，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为.
22.【答案】（1）是定值，定值为（2）
【解析】（1）由题意知，，所以，所以，
设直线的方程为，设，
联立直线与椭圆的方程，整理得，
由，解得，且，
则，
所以
故直线与的斜率之积是定值，且定值为.
（2）设，记，
得.所以.
又均在椭圆上，所以，
化简得，
因为，所以，
同理可得，
即直线，
所以的斜率为.年份
2017
2018
2019
2020
2021
编号x
1
2
3
4
5
企业总数量y（单位：千个）
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224