2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）期末数学试卷（B卷）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线x2=8y的准线方程为( )
A. y=−1B. y=−2C. x=−1D. x=−2
2.已知等比数列{an}中，a2a3a4=8，a6=16，则公比q=( )
A. −2B. 2C. 3D. 2或−2
3.双曲线的一个顶点为(2,0)，焦点到渐近线的距离为2 2，则双曲线方程是( )
A. y22−x24=1B. x24−y28=1C. x24−y22=1D. y28−x24=1
4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
．( )
A. 22B. 2−12C. 2− 2D. 2−1
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=20，S20=10，则S30=( )
A. 0B. −10C. −30D. −40
6.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(2,2)，则|PB|+|PF|的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.若函数f(x)=(x+1)lnx−ax+1是(0,+∞)上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,2ln2]B. (0,2ln2]C. (−∞,2]D. (0,2]
8.已知函数f(x)=64x3−48x2+16x−1，则经过函数f(x)图象的对称中心的直线被圆x2+y2=5截得的最短弦长为( )
A. 10B. 5C. 3 74D. 3 72
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义域为[−3,5]的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)在(−2,2)上单调递减
B. f(x)有极小值f(2)
C. f(x)有2个极值点
D. f(x)在x=−3处取得最大值
10.已知椭圆x29+y25=1的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. △ABF2的周长为12
B. 椭圆的离心率为 53
C. △AF1F2面积最大值为2 5
D. |AF2|+|BF2|的最大值为263
11.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S20230，则( )
A. 使an>0的n的最小值为2024B. |a1012|0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线E交于A，B两点(A在第一象限)，O为坐标原点，若|AF|=2|BF|=6，则( )
A. p=4B. 直线l的斜率是±2 2
C. 线段AB的中点到y轴的距离是52D. △OAB的面积是6 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若数列{an}的通项公式是an=(−1)n(2n−1)，则该数列的前100项之和为______ ．
14.函数f(x)=1x+lnxx的单调增区间为______ ．
15.抛物线y=x2上到直线2x−y=4距离最近的点的坐标是_________。
16.一条光线从点A(−4,0)射出，经直线x+y−1=0反射到圆C：x2+(y+2)2=2上，则光线经过的最短路径的长度为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=12(3n−1)，数列{bn}为等差数列，且b2=3，b5=9．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=an+1bn⋅bn+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3+x2−23．
(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
19.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+1，
(1)求通项公式an；
(2)令bn=(2n+1)(an+1)，求数列{bn}前n项的和Tn．
20.(本小题12分)
过点P(1,0)作直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．
(1)若直线l的斜率是1，求弦AB的长度；
(2)设原点为O，问：直线OA与直线OB的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−a(x+1)．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)当x∈(−1,+∞)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右顶点为A，上顶点为B，过A，B两点的直线平分圆(x−1)2+(y− 32)2=1的周长，且与坐标轴时成的三角形的面积为 3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y=x+m与E相交于C，D两点，且点M(0,3m)，当△CDM的面积最大时，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由定义得抛物线x2=8y的准线方程为y=−42=−2．
故选：B．
利用抛物线的定义，即可得出答案．
本题考查抛物线的性质，考查运算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵等比数列{an}中，a2a3a4=8，
∴a33=8，∴a3=2，
∵a6=16，∴q3=a6a3=8，
∴q=2，
故选：B．
利用等比数列的性质求出a3=2，再利用等比数列的通项公式求解即可．
本题考查等比数列的性质和通项公式，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由双曲线的一个顶点为(2,0)，可设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则a=2，
则渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0，
则焦点(±c,0)到渐近线的距离为|±bc| a2+b2=2 2，
又a2+b2=c2，解得b=2 2，
所以所求双曲线的方程为x24−y28=1．
故选：B．
根据题意列出方程求出a，b，即可得解．
本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．
设点P在x轴上方，坐标为(c,b2a)，根据题意可知|PF2|=b2a，|PF2|=|F1F2|，进而根据b2a=2c求得a和c的关系，从而求得离心率．
【解答】
解：设点P在x轴上方，坐标为(c,b2a)，
∵△F1PF2为等腰直角三角形，
∴|PF2|=|F1F2|，即b2a=2c，即a2−c2a2=2ca,∴1−e2=2e，
故椭圆的离心率e= 2−1．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，数列{an}为等差数列，则S10，S20−S10，S30−S20成等差数列，
则有S10+(S30−S20)=2(S20−S10)，即20+(S30−10)=2(10−20)，
解可得：S30=−30．
故选：C．
根据题意，由等差数列的性质可得S10，S20−S10，S30−S20成等差数列，由此分析可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：如图，过B作准线x=−1的垂线垂足为B′，交抛物线于P′，
由抛物线的定义，可知|P′F|=|P′B′|，
故|PB|+|PF|≥|P′B|+|P′B′|=|BB′|=2−(−1)=3．
即当P、B′、B三点共线时，距离之和最小值为3．
故选：B．
过B作准线x=−1的垂线垂足为B′，交抛物线于P′，当P、B′、B三点共线时，|PB|+|PF|小值．
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=(x+1)lnx−ax+1是(0,+∞)上的增函数，
所以f′(x)=lnx+1x+1−a≥0在(0,+∞)上恒成立，
即a≤lnx+1x+1在(0,+∞)上恒成立．
令g(x)=lnx+1x+1，x∈(0,+∞)，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，
则当00，则f(x)单调递增，
所以f(−3)0，且yA+yB=20k9+5k2，yAyB=−259+5k2，
而S△ABF2=12|F1F2||yA−yB|=2 (yA+yB)2−4yAyB=60 1+k2(9+5k2)2，
令t=k2+1≥1，则S△ABF2=60 t25t2+40t+16=60 25t+16t+40≤60 2 25t⋅16t+40=3 5，
当且仅当t=45时等号成立，显然等号不成立，
又y=25t+16t在[1,+∞)上递增，即t=1时y最小，此时S△ABF2最大为203，正确．
D：要使|AF2|+|BF2|=12−|AB|最大，只需|AB|最小，根据椭圆性质知：当AB⊥x轴时|AB|min=2b2a=103，故|AF2|+|BF2|的最大值为263，正确．
故选：ACD．
A由椭圆定义求焦点三角形周长；B根据椭圆离心率定义求离心率；C令直线AB：x=ky−2代入椭圆，应用韦达定理、三角形面积公式得到S△ABF2关于k的表达式，研究其最值即可．D当AB⊥x轴求出|AB|最小值，即可得|AF2|+|BF2|最大值．
本题考查椭圆的定义及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
若S20230，
故a10120，且|a1013|>|a1012|，B正确；
故当Sn取最小值时，n=1012，C正确；
同时d=a1013−a1012>0，
Sn=na1+(n−1)n2d=d2n2+(a1−d2)n，d>0，且S20230，
结合二次函数的性质可得使an>0的n的最小值为2024，A正确；
同时，Snn=d2n+(a1−d2)，数列{Snn}为等差数列，其公差为d2>0，是递增数列，D错误．
故选：ABC．
根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由等差数列前n项和公式可得a10120，由此可得B、C正确，进而由Sn和Snn的表达式，分析可得A正确，D错误，综合可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由题意可得直线l的斜率不为0，则可设直线l：x=my+p2,A(x1,y1),B(x2,y2)，
联立y2=2px,x=my+p2,整理得y2−2pmy−p2=0，则y1+y2=2pm,y1y2=−p2，
因为|AF|=2|BF|，所以AF=2FB，所以y1=−2y2，所以−2y2+y2=2pm，
所以y2=−2pm，则y1y2=−2y22=−p2，即−2×(−2pm)2=−p2，解得m2=18，
因为|AF|=2|BF|=6，
所以|AB|= m2+1⋅|y1−y2|=2p(m2+1)=94p=9，解得p=4，则A正确；
对于B，因为m2=18，所以m=± 24，则直线l的斜率是±2 2，因为点A在第一象限，
所以直线l的斜率大于0，所以直线l的斜率是2 2，则B错误；
对于C，设线段AB的中点为M(x0,y0)，则x0=x1+x22=52，即线段AB的中点到y轴的距离是52，则C正确；
对于D，因为p=4,m2=18，
所以|OF|=2,|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2=2p⋅ m2+1=6 2，
则△OAB的面积S=12|OF|⋅|y1−y2|=6 2，故D正确．
故选：ACD．
设直线l：x=my+p2,A(x1,y1),B(x2,y2)，与抛物线方程联立，根据AF=2FB、韦达定理得出m2=18，再由|AB|= m2+1⋅|y1−y2|=9求出p可判断A；求出m可得直线l的斜率，再由点A在第一象限可判断B；设线段AB的中点为M(x0,y0)，根据x0=x1+x22=52求出线段AB的中点到y轴的距离可判断C；利用S=12|OF|⋅|y1−y2|求出△OAB的面积可判断D．
本题考查抛物线的几何性质，属中档题．
13.【答案】100
【解析】解：因为an=(−1)n(2n−1)，
所以a1+a2=2，a3+a4=2，…，a99+a100=2，
所以该数列的前100项之和为a1+a2+⋯+a100=50×2=100．
故答案为：100．
根据通项公式可知相邻奇数项与偶数项两项之和为常数，分组求和即可．
本题靠分组求和法，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
14.【答案】(0,1)
【解析】解：f′(x)=−1x2+1−lnxx2=−lnxx2，
令f′(x)>0，解得：00，
y1+y2=2m，y1y2=−2，
x1x2=(y1y2)24=1，
则kOAkOB=y1y2x1x2=−2，
所以直线OA与直线OB的斜率之积为定值−2．
【解析】(1)求得直线l的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得所求；
(2)设直线l的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得结论．
本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的定义域是R，
f′(x)=ex−a，
(1)a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，
(2)a>0时，令f′(x)>0，解得：x>lna，令f′(x)0，
当x∈(−1,+∞)时，f(x)≥0恒成立，
即a≤exx+1在x∈(−1,+∞)恒成立，
令h(x)=exx+1，x∈(−1,+∞)，
则h′(x)=xex(x+1)2，(x>−1)，
令h′(x)>0，解得：x>0，令h′(x)