第一章 三角函数（A卷·知识通关练）-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）

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核心知识1任意角
1．(2022秋·陕西宝鸡·高一宝鸡市渭滨中学校考阶段练习)下列命题中正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角D．终边相同的角一定相等
2．(2022·全国·高三专题练习)将-885∘化为α+k⋅360∘k∈Z，α∈0∘，360∘的形式是( )
A．-165°+-2×360°B．195°+-3×360°
C．195°+-2×360°D．165°+-3×360°
3．(2022·高一课时练习)已知α∈α45°+k⋅360°≤α≤90°+k⋅360°，则角α的终边落在的阴影部分是( )
A．B．
C．D．
4．(2022秋·山东东营·高一统考期中)若α是锐角，则θ=kπ+α，(k∈Z)是( )
A．第一象限角B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角
5．[多选](2022秋·山东东营·高一统考期中)与2022∘终边相同的角是( )
A．-138∘B．-72∘C．42∘D．222∘
6．(2022·全国·高一假期作业)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为______．
7．(2021·高一课前预习)在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的非负半轴上；
(2)终边在y=xx≥0上．
核心考点2 弧度制
题型一、弧度概念及换算
1．(2022秋·江西上饶·高一校联考期末)时针经过四个小时，转过了( )
A．2π3radB．-2π3radC．5π6radD．-5π6rad
2．(2022·全国·高一专题练习)下列结论错误的是( )
A．－150°化成弧度是-7π6radB．-10π3rad化成度是－600°
C．67°30'化成弧度是3π8radD．π12rad化成度是15°
3．(2022·全国·高一专题练习)已知角α的终边与5π3的终边重合，则α3的终边不可能在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．[多选](2021春·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考阶段练习)已知角θ是第二象限角，则角θ2所在的象限可能为( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．[多选](2022春·山东临沂·高一校考阶段练习)下列结论中正确的是( )
A．终边经过点m，mm>0的角的集合是αα=π4+2kπ，k∈Z；
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是π3；
C．若α是第三象限角，则α2是第二象限角，2α为第一或第二象限角；
D．M=xx=45°+k⋅90°，k∈Z，N=yy=90°+k⋅45°，k∈Z，则M⊆N
6．(2022·高一课时练习)若α=k⋅360∘+24∘，k∈Z，试确定2α，α2分别是第几象限角．
7．(2022·高一课时练习)如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)
(2)
8．(2022·高一课时练习)已知角α的集合为M=αα=30°+k⋅90°，k∈Z，回答下列问题：
(1)集合M中有几类终边不相同的角？
(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)求集合M中的第二象限角β．
题型二、弧长及圆心角的有关计算
1．(2022秋·广东广州·高一执信中学校考期中)在半径为10的圆中，4π3的圆心角所对弧长为( )
A．40π3B．20π3C．200π3D．400π3
2．(2022春·江西九江·高三校考阶段练习)设r为圆的半径，弧长为πr的圆弧所对的圆心角为( )
A．90°B．180°C．270°D．360°
3．(2022春·陕西咸阳·高一校考阶段练习)下面关于弧度的说法，错误的是( )
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180=απ.
C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2π3
D．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π16cm.
4．(2022春·浙江杭州·高一杭州高级中学统考期末)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A．4sin1B．2sin1C．2sin1D．4sin1
5．(2022·全国·高一专题练习)折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1)，图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角)，则l、d和θ所满足的恒等关系为( )．
A．2sinθ2θ=dlB．sinθ2θ=dl
C．csθ2θ=dlD．2csθ2θ=dl
6．(2022春·福建龙岩·高一上杭县第二中学校考阶段练习)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形ABCD是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中|AB|=16，则图中的斐波那契螺旋线的长度为( )
A．11πB．12πC．15πD．16π
题型三、扇形面积的有关计算
1．(2022秋·浙江杭州·高二校考期中)已知扇形的半径为2cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度数为( )
A．1B．2C．3D．4
2．(2022春·山西太原·高一校考阶段练习)一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A．12B．23C．32D．2
3．(2022春·北京·高一北京市陈经纶中学校考阶段练习)以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为π，则该勒洛三角形的面积为( )
A．π-3B．π-32C．π-32D．π2-34
4．(2022秋·陕西咸阳·高一统考期末)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB后的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA，记实际弧长为l.当OA=2，∠AOB=60°时，l-s的值约为( )(参考数据：π≈3.14，3≈1.73)
A．0.01B．0.05C．0.13D．0.53
5．[多选](2022春·河北保定·高一校联考阶段练习)小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形OAB中，∠AOB=π3，OB=OA=2，则( )
A．∠AOB=30°B．弧长AB=2π3
C．扇形OAB的周长为2π3+4D．扇形OAB的面积为4π3
6．[多选](2022春·河北廊坊·高一校考阶段练习)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为5-12时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是(参考数据：5≈2.236)( )
A．S1S2=θ2π-θ
B．若S1S2=12，扇形的半径R=3，则S1=2π
C．若扇面为“美观扇面”，则θ≈138∘
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R=20，则此时的扇形面积为2003-5
7．(2022·全国·高一假期作业)我国古代数学著作《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢2).如图所示的弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离(等于半径长与圆心到弦的距离之差)，现有一圆弧所对圆心角为2π3，弧长为8π3的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是______.
8．(2022春·青海海南·高三海南藏族自治州高级中学校考阶段练习)已知扇形的周长为20cm，则当扇形的圆心角α=________扇形面积最大．
9．(2022·高一课时练习)求出下列条件中扇形的弧长与面积.
(1)扇形的圆心角是3π4，半径是8；
(2)扇形的圆心角是75°，半径是6.
10．(2022春·海南海口·高一海口一中校考阶段练习)已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
(1)若α=100°，r=2，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
11．(2022·全国·高三专题练习)如图，点A，B，C是圆O上的点.
(1)若AB=4，∠ACB=π6，求劣弧AB的长；
(2)已知扇形AOB的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
核心考点3 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
题型一、单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数
1．(2022秋·北京·高一北师大实验中学校考期中)若α为第四象限角，则( )
A．csα>0，sinα>0B．csα>0，sinα0，φ0)的图象相邻两支截直线y=1所得线段长为π2，则下列结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π2B．函数f(x)在区间-π6，π6上单调递增
C．函数f(x)的图像与直线x=π6不相交D．函数f(x)的图像关于点π4，0对称
6．(2022秋·陕西渭南·高一渭南高级中学校考阶段练习)已知函数fx=tanπ2x+π3，则下列结论正确的是( )
A．函数fx的定义域为R
B．函数fx的最小正周期为4
C．函数fx的单调递增区间为-53+2kπ，13+2kπ，k∈Z
D．函数fx图像的对称中心为k-23，0，k∈Z
7．(2022春·河北石家庄·高三校考开学考试)已知函数fx=tan2x-π4，下列说法正确的有( )
①函数fx最小正周期为π2；
②定义域为x|x∈R，x≠kπ2+π8，k∈Z
③fx图象的所有对称中心为kπ4+π8，0，k∈Z；
④函数fx的单调递增区间为kπ2-π8，kπ2+3π8，k∈Z．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．(2022春·天津·高一统考期末)函数fx=2x⋅tanx-1≤x≤1的图象大致是( )
A．B．
C．D．
9．(2022·浙江·高三专题练习)y=tanxx，x∈-π2，0∪0，π2的大致图象是( )
A．B．
C．D．
10．[多选](2022春·云南昆明·高三校考阶段练习)已知函数fx=tan2x-π6，则( )
A．f0=33
B．fx的最小正周期为π2
C．把fx向左平移π6可以得到函数gx=tan2x
D．fx在-π6，0上单调递增
11．[多选](2022·高一课时练习)已知函数fx=tanx+π4，则( )
A．fx的图像关于y轴对称
B．fx的最小正周期为π
C．fx在区间0，π4上单调递增
D．fx的图像关于点3π4，0对称
12．(2022·高一课时练习)函数y=|tanx|，y=tanx，y=tan(-x)，y=tan|x|在-3π2，3π2上的大致图象依次是___________(填序号).
51．(2022秋·山东济宁·高一统考期中)已知函数f(x)=-tan12x-π4
(1)求f(x)的定义域和最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间．
核心考点7 三角函数的简单应用
1．(2022春·江西赣州·高三校联考期中)在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20∘C，但当气温上升到31∘C时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时∼14时的气温T(单位：∘C)与时间t(单位：小时)近似满足函数关系式T=25+10sinπ8t+3π4，则在6时∼14时中，观花的最佳时段约为( )(参考数据：sinπ5≈0.6)
A．6.7时∼11.6时B．6.7时∼12.2时
C．8.7时∼11.6时D．8.7时∼12.2时
2．(2022春·上海嘉定·高三校考期中)如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是( )
A．H=55cs(π15t-π2)+650≤t≤30
B．H=55sin(π15t-π2)+650≤t≤30
C．H=-55cs(π10t+π2)+650≤t≤30
D．H=-55sin(π10t+π2)+650≤t≤30
3．(2022秋·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习)如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面的高度满足y=Asinωt+φ+B，A>0，ω>0，φ∈-π，π，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点，则y(米)关于t(分钟)的解析式为( )
A．y=60-50sinπ5t(t>0)B．y=60-50csπ5t(t>0)
C．y=60-50csπ10t(t>0)D．y=60-50sinπ10t(t>0)
4．(2022秋·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习)一半径为4.8m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A．点P第一次到达最高点需要10s
B．在水轮转动的一圈内，点P距离水面的高度不低于4.8m共有10s的时间
C．点P距离水面的距离d(单位：m)与时间t(单位：s)的函数解析式为d=4.8sinπ30t-π6-2.4
D．当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面2.4m
5．[多选](2021·全国·高一专题练习)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(00，φ∈0，2π，已知该摩天轮的旋转半径为60m，最高点距地面135m，旋转一周大约30min，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15min时，乙距离地面的高度为75+302m，则乙所乘坐的舱号为( )
A．6B．7C．15D．16
7．(2022·高一课时练习)筒车是我国古代发明的一种水利工具．如图筒车的半径为4m，轴心O距离水面2m，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的距离z(单位：m．在水面下时z为负数)表示为时间t(单位：分钟)的函数；
(2)已知盛水筒Q与P相邻，Q位于P的逆时针方向一侧．若盛水筒P和Q在水面上方，且距离水面的高度相等，求t的值．
8．(2022秋·陕西汉中·高一统考期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y(单位：m)(在水面下则y为负数)，若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t(单位：min)之间的关系为y=Asinωt+φ+bA>0，ω>0，φ0，φ