2024届上海市格致中学高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市格致中学高三上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已如全集，集合，则 ．
【答案】
【分析】解出集合，利用补集的定义可求得集合.
【详解】由可得，解得或，则或，
又因为全集，则.
故答案为：.
2．已知复数（是虚数单位），则 .
【答案】
【分析】利用复数的四则运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得.
【详解】因为，则，
因此，.
故答案为：.
3．若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ．
【答案】/
【分析】由三角函数的定义求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得，
由二倍角的余弦公式可得.
故答案为：.
4．已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】由指数函数单调性、基本不等式即可得解.
【详解】因为在单调递增，所以，
而当时，由基本不等式可得，等号成立当且仅当，
综上所述，函数的值域为.
故答案为：.
5．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则 .
【答案】
【详解】易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以
6．已知的角A、B、C对应边长分别为a、b、c，，，，则
【答案】/
【分析】由余弦定理求出，由平方关系求得结果.
【详解】由余弦定理可得，
，又，
.
故答案为：.
7．已知向量满足，，，则与的夹角为 ．
【答案】
【分析】利用模长的平方等于向量的平方和向量数量积运算法则求解即可.
【详解】因为，，，
所以，解得，
所以，
又，故.
故答案为：.
8．给出下面四个命题：
①过一个球的球心和球面上任意两个点，有且只有一个平面；
②若直线直线，直线平面，则直线平面；
③若直线直线，直线直线，直线平面，则直线平面；
④若直线垂直于直线在平面内的射影，则直线直线．
则上述结论不正确的有 ．（填原号）
【答案】①②③④
【分析】对于①，由构成平面的定义举出反例即可；对于②，有线面平行的判定定理举出反例即可；对于③，由线面垂直的判定定理举出反例即可；对于④，当直线平面时，即可举出反例.
【详解】对于①，当两点为球的直径的两个端点时，过球心与这两点有无数的个平面，故命题①不正确；
对于②，若直线直线，直线平面，则直线平面或直线平面，故命题②不正确；
对于③，若直线直线，直线直线，直线平面，则可能直线平面，故命题③不正确；
对于④，设是平面的垂线，是平面的斜线（与平面相交但不垂直），此时直线垂直于直线在平面内的射影，但与斜线不垂直，故命题④不正确．
故答案为：①②③④.
9．过直线上的一点作圆的两条切线，，当直线，关于对称时，它们之间的夹角为 ．
【答案】
【详解】不妨设与交点为，圆心，当，关于对称时，则直线，则，设在上的切点为，则，∴，∴，故，夹角为，故答案为.
10．已知，其中，若，，则实数的最大值为 ．
【答案】23
【分析】为的系数，由二项式定理求得的系数，由，可得的不等关系，从而求得实数的最大值.
【详解】因为展开式中的系数为，
展开式中的系数为，
所以展开式中的系数为
.
要使，则为奇数，且，
所以，则，则的最大值为.
故答案为：.
11．设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ．
【答案】
【分析】结合函数定义域得，代入函数及导函数可得方程组，求解可得.
【详解】由题意得，的定义域为，所以，
由图可知，解得，
则，因为，则有①，
由在上严格递减，在和上严格递增，
则，
由，则，
则，则②，
由①②解得（舍），或，
则.
故答案为：.
12．2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，己知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所排水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为 米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）．
【答案】
【分析】问题转化为横、纵、竖三个方向三个函数的最值求解即可.按分段函数零点大小将函数解析式变形，都可转化为三对绝对值的和的最小值问题，利用绝对值的和的几何意义分别求最小值，且能够同时取到等号，再相加可得函数最小值.同理可得另两个函数的最小值，三个函数的最小值相加即得.
【详解】设水源接入口的坐标为，
；
；
则6处喷淋与水源接入口所管的总长度为，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，的最小值为；
同理，由零点分段函数最值求法可知，
当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
故水管总长度的最小值为（米）.
故答案为：.
二、单选题
13．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】若ab2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.
14．由方程确定函数，则在上是（ ）
A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数
【答案】B
【分析】先分类得到与的关系，结合圆与双曲线的图象可得函数的图象，进而可得.
【详解】当且时，，
当且时，，
当且时，，
当且时，无意义，
如图：
结合图象可知，在上是减函数.
故选：B
15．已知函数，，下列四个结论中，正确的结论有（ ）
①方程有2个不同的实数解；
②方程有2个不同的实数解；
③方程有且只有1个实数解；
④当时，方程有2个不同的实数解.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据复合方程的求解方法，结合正弦函数、余弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】对于①，，则，
又，所以，所以，所以，
所以方程有2个不同的实数解，正确；
对于②，，则，
又，所以，无解，所以方程无解，错误；
对于③，，则，
又，所以，所以，所以，
所以方程有且只有1个实数解，正确；
对于④，，则，
又，所以，
所以当时，，方程无解，
当时，，方程的解为，
当时，方程的解为，
所以当时，方程至多有2个不同的实数解，错误；
故选：C
【点睛】关键点睛：对于复合函数零点求解方程，利用整体思想，从外到内，数形结合即可求解.
16．设圆和圆是两个定圆，动圆与这两个定圆都相切，则动圆的圆心的轨迹不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】按动圆与圆、圆内切、外切情况分类，结合椭圆、双曲线定义确定轨迹的可能情况即得.
【详解】设动圆的半径为，圆和圆的半径分别是，
①当，且两圆外离时，，
若圆与圆、圆都外切或都内切，则有或，
于是，此时点的轨迹是线段的中垂线；
若圆与圆、圆一个外切一个内切，则有或，
于是，此时点的轨迹是双曲线，
因此此时点的轨迹是一条直线和一个双曲线，B可能；
②当，且两圆内含时(不妨设)，，
若圆与圆、圆都内切，则有，即有，此时点轨迹为椭圆；
若圆与圆内切、与圆外切时，则有，即有，此时点轨迹为椭圆；
因此点轨迹为两个椭圆，C可能；
③当两圆且两圆外离时(不妨设，，
若圆与圆、圆都外切或都内切，则有或，
有，点轨迹为双曲线；
若圆与圆、圆一个外切一个内切，则有或，
有，点轨迹为双曲线，
因此点轨迹为两个双曲线，D可能；
而两个圆相交或相外切时，点轨迹是被直线分成的不连续的两段图形，轨迹不可能是完整的椭圆
两圆内切时，点轨迹是直线被其中较大的圆分成的在该圆外部的两条射线（不含端点），A不可能.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及轨迹形状的判断问题，利用基本轨迹定理、椭圆、双曲线及抛物线定义是求解问题的关键.
三、解答题
17．如图，在长方体中，，，，点是棱的中点．
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小；
（2）利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】（1）解：在长方体中，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，点是棱的中点，
则、、、、，
，，
所以，，
因此，异面直线与所成角为.
（2）解：设平面的法向量为，，，
则，取，则，
又因为，所以，点到平面的距离为.
18．小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是，每遇到一次红灯的平均等待时间是1分钟．
(1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率；
(2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率；
(3)求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间的分布、期望、方差．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列为，，．
【分析】（1）由独立事件乘法公式、对立事件概率公式即可求解.
（2）由独立事件乘法公式、对立事件概率公式即可求解.
（2）先求出的所有可能取值，然后求出相应的概率，从而即可得到分布列，进而由均值，方差公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得.
（2）由题意可得.
（3）；；
；.
所以的分布如下：，符合二项分布，
故；．
19．已知直线与曲线交于两点.
(1)当时，有，求曲线的方程；
(2)当时，求的面积的最大值；
(3)当实数为何值时，对任意，都有为定值?指出的值.
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）联立直线与曲线方程求出坐标，然后利用向量夹角公式列式计算即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求弦长，点到直线距离求高，进而求出三角形面积表达式，利用基本不等式求解最值即可；
（3）联立方程，韦达定理结合数量积的坐标运算得，利用系数成比例求出参数a和定值即可.
【详解】（1）当时，将直线代入得，由题意，
解得，所以不妨设，则，
因为，所以
，所以，所以曲线的方程为，即；
（2）当时，曲线，设，
则由可得，
此时恒成立，则，
，
到的距离为，
故的面积，
当且仅当，即时，等号成立；
（3）设，则由可得，
此时，则，
，要使为定值，则需，即，此时，
当时，，满足，符合题意，
所以当时，，.
20．在直角坐标平面中，已知点，，，，，其中是正整数.对平面上的任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，，为关于点的对称点，.
(1)设，求向量的坐标；
(2)对任意偶数，试问：和之间有怎样的关系；
(3)对任意偶数，用表示向量的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用中点坐标公式求出的坐标，再利用向量的坐标公式求解即可；
（2）设，，，利用对称性及向量坐标运算得，从而得.
（3）利用向量坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式即可化简求解.
【详解】（1）依题意可得，，又，所以；
（2）设，，，
则根据题意可得和.
作差得，即.
而，所以.
（3）由（2）可得：对任意偶数，有，
所以，，，
累加得，
故.
21．设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
(1)判断点是否为函数的1度点，请说明理由；
(2)若点是的“度点”，求自然数的值；
(3)求函数的全体2度点构成的集合．
【答案】(1)点是函数的1度点
(2)
(3)或
【分析】（1）设，求曲线在点处的切线方程，再求该切线过点时的值，进而得到答案.
（2）设，求曲线在点处的切线方程，将点代入该切线方程得，令并求导判断单调性，最值，即可得到的值.
（3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于t的方程恰有两个不同的实数解，设，分与三种情况，进行求解.
【详解】（1）设，由得在处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为.
点代入切线方程，，即，因为，所以，即.
则该切线过点当且仅当.
故点是函数的一个1度点.
（2）设，则，故曲线在点处的切线方程为.
该切线过点，当且仅当，即①.
设，其中.
则当时，，故在区间上严格递增.
而，因此当时，，故①恒不成立，即点是的一个0度点，也即.
（3）对任意，由得曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
设点为函数的一个2度点，等价于“关于的方程恰有两个不同的实数解”.
设，等价于“函数两个不同的零点”.
若，则在R上严格递增，只有一个实数解，不符合要求；
若时，因为，解得有两个零点.
当时，由或时，得严格递增；
而当时，得严格递减.
故在时，取得极大值，在时取得极小值.
故当有两个不同的零点时，当且仅当或.
若，同理可得有两个不同的零点时，当且仅当或.
综上所述：的全体2度点构成的集合为或.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.