2024届北京市东城区第五十五中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届北京市东城区第五十五中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题，证明题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数型函数的定义域以及根式的性质化简集合，即可根据交运算求解.
【详解】由可得，
所以
故选：A
2．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论.
【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；
由三角函数单调性可知；
利用指数函数为单调递增可得；
所以.
故选：C
3．在的展开式中，若第3项的系数为10，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】展开式的通项为，故，.
故选：B
4．在中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求解，即可根据正弦定理求解.
【详解】由余弦定理可得,
由正弦定理可得,
故选：B
5．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】判断命题“角与角的终边关于轴对称”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】由题意知，角与角的终边关于轴对称时，则 ，
故，则，即；
当时，此时，角与角的终边不关于轴对称，
即“”成立不能得出“角与角的终边关于轴对称”成立，
故“角与角的终边关于轴对称”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
6．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为的面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.
7．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再把所有棱长相加即可得解.
【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，
所以.
因为平面，平面，所以，
因为，平面，，
所以平面，因为平面，所以，.
同理：，又，故四边形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因为，
所有棱长之和为.
故选：C
8．如图，F1，F2分别是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A．B．2
C．D．
【答案】D
【分析】连接，利用三角形边之间的关系得到，，代入离心率公式得到答案.
【详解】连接，依题意知：
，，
所以
.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，利用三角形边之间的关系和双曲线性质得到的关系式是解题的关键.
9．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
【答案】B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
10．在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列：
②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差
③若数列满足,
则该数列不是比等差数列：
④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
【答案】D
【分析】①由等比数列的特点，代入可知满足新定义，若等差数列的公差时满足题意，当时，不是比等差数列，可知正确；②代入新定义验证可知，不满足；③由递推公式计算数列的前4项，可得，故该数列不是比等差数列；④可举为常数列0，则数列常数列0，显然不满足定义．
【详解】①若数列为等比数列，且公比为，则，为常数，故等比数列一定是比等差数列，
若数列为等差数列，且公差为，当时，，为常数，是比等差数列，
当时，不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；
②若数列满足，则不为常数，故数列不是比等差数列，故错误；
③若数列满足，，，可得，，故，,显然，故该数列不是比等差数列，故正确；
④若是等差数列，是等比数列，若，则数列为各项均为0的常数列，显然不满足定义，即数列不是比等差数列，故错误．
故选：D
二、填空题
11．若复数为纯虚数，则实数a的值为 .
【答案】-2
【分析】解不等式组得解.
【详解】因为复数为纯虚数
所以，所以.
故答案为：
12．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，则，的夹角的余弦为 ．

【答案】/
【分析】如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为，利用坐标法求解即可.
【详解】如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，
则，即，
故，
所以，即，的夹角的余弦为.
故答案为：.

13．已知直线（其中）与圆交于M、N，O是坐标原点，则为
【答案】
【分析】先根据圆的方程写出圆心坐标和半径；再根据点到直线距离求出，求出；最后根据三角形内角和即可求出.
【详解】
由圆：，得：圆心坐标为，半径为.
则圆心到直线（）的距离为
.
因为在中，，
所以，即.
所以在等腰中，.
故答案为：.
三、双空题（新）
14．小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为 ；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为 （用m，k表示）.
【答案】 28
【解析】根据题意得到akbk＝1表示第k天预报正确，akbk＝﹣1表示第k天预报错误，从而得到，根据得到该月气象台预报准确的的总天数.
【详解】依题意，若（），则表示第天预报正确，
若（），则表示第天预报错误，
若，
假设其中有天预报正确，即等式的左边有个，个，
则，解得，
即气象台预报准确的天数为；
于是若，
则气象台预报准确的天数为.
故答案为：，.
【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.
四、填空题
15．已知集合.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：
①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；
②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；
④白色“水滴”图形的面积是.
其中正确的有 .
【答案】②③④
【分析】①方程中，令求得y的取值范围，得出最高点的坐标；
②利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值；
③求出知最高点C与最低点D的距离；
④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成.
【详解】对于①中，方程中，
令，得，
所以，其中，所以，所以，
解得；
所以点，点，点，点，所以①错误；
对于②中，由，设，
则点M到原点的距离为
，
当时，，d取得最大值为3，所以②正确；
对于③中，由①知最高点为，最低点为，
所以，③正确；
对于④中，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；
计算它的面积是，
所以④正确；
综上知，正确的命题序号是②③④.
故答案为：②③④.
【点睛】本题主要考查了以集合为背景的命题的真假判定，其中解答中涉及到三角函数的性质，圆的参数方程，以及圆的面积公式等知识点的综合考查，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
五、解答题
16．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求函数的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为.
【分析】（1）观察图象知函数最小正周期为，为函数单调递减区间上的零点，且过(0，1)点，分别求出的值；
（2）由（1）中，代入并化简求得解析式，再由复合函数单调性列不等式求出单调增区间即可.
（3）由（1）中，代入并化简求得解析式，化简为关于sinx的二次函数求最值.
【详解】（1）解：由图知：
的最小正周期为，
故，所以，
又为单调递减区间上的零点，
故，又解得：.
又图象过(0，1)点，所以，解得.
所以函数的解析式为：.
（2）由（1）知
令
解得：
故函数的单调递增区间为：
（3）
当时，最小值为；
当时，最大值为；
故：最大值为，最小值为.
六、证明题
17．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，．

(1)求证：：
(2)从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体ABCDEF存在．求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．
条件①：平面平面
条件②：平面平面
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可得，利用线面平行判定定理证明平面，结合图形即可证明；
（2）选择①，根据面面垂直的性质得线面垂直，进而可判断线线垂直，进而判断五面体不存在，若选择②③，根据面面垂直的性质建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出线面角的正弦值．
【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以；
（2）若选条件①：平面平面，
则平面平面，, 平面，
所以平面平面所以,
但是，因此不可能，所以选择条件①的五面体不存在，
若选择条件②：平面平面
取的中点，的中点，连接，，
则，由，得，且，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
建立如图空间直角坐标系，,0,,,0,,,4,,,4,,,0,,,2,,
则，
设为平面的一个法向量，
则,令，得，，所以，
，
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

若选择条件③：
由于，,平面，
所以平面，平面，所以平面平面，
以下如选择条件②相同.
18．不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测，本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标．其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐磨性”检测结果的数据如下：
（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）
(1)从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率：
(2)从前六个品牌、后六个品牌中各随机选取两个品牌的数据，求两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌个数恰为2个的概率；
(3)顾客甲从品牌中随机选取1个品牌，用“”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级，“”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”不都是Ⅰ级（k=1，4，7，10）．写出方差的大小关系（结论不要求证明）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接计算事件发生概率；
（2）根据分步分类计数原理，结合排列组合即可求解，
（3）分别计算出概率，计算期望值，再比较大小．
【详解】（1）“不粘性”性能都是Ⅰ级的品牌有5个，
记事件为两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级，
则．
（2）前六个品牌中性能都是Ⅰ级的品牌有3个，后六个品牌性能都是Ⅰ级的品有2个，
记事件B为两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌个数恰为2个，
则；
（3）品牌123中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有2个，品牌456中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有1个，品牌789中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有2个，品牌123中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有0个，
所以分布列为
分布列为
分布列为
分布列为
所以
七、问答题
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数a使得对恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由．
【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】，理由见解析
【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
（3）依题意，将不等式等价转化为在R恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值的范围，进而求解.
【详解】（1），
，
，又，
所求切线方程为，即.
所以切线方程为.
（2）令，
则，
当时，即时，，，
所以，在上单调递增.
又，，
，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，
，
所以函数在区间上的最大值为.
（3）不等式恒成立等价于恒成立,
令，当时，，恒成立；
当时，令，则,
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
当时，；
当时，，
的值域为.
，.
综上所述，a的最大整数值为.
【点睛】用导数解决恒成立问题求参数的取值范围，常见两种方法：
（1）利用分类讨论思想求出函数的单调性及最值，进而求参数范围；
（2）利用分离变量思想，构造新的函数，运用导数求新的函数的最值，进而求参数的范围.
20．如图，点是圆：上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)点为轨迹与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)直线过定点.
【分析】（1）利用定义法求点的轨迹的方程；
（2）直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再根据得，即得解.
【详解】（1）解：由题得,
所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆.
所以，
所以椭圆的方程为.
所以点的轨迹的方程为.
（2）解：由题得点,设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程为得，
所以.
设，所以.
所以直线方程为，
令得，同理,
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以直线的方程为，
所以直线过定点.
21．设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记
（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素
（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；
（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.
【答案】（1）； （2）的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，； （3）中的元素个数最大值为.
【分析】（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据，得到的关系式，再求解的最值；（Ⅲ）通过对集合的拆分，逐一求解.
【详解】(Ⅰ)满足的元素为
（Ⅱ）记，，
注意到，所以，
所以
因为，所以
所以中有个量的值为1，个量的值为0.
显然
，
当，时，
满足，.所以的最大值为
又
注意到只有时，，否则
而中个量的值为1，个量的值为0
所以满足这样的元素至多有个，
当为偶数时，.
当时，满足，且.
所以的最小值为
当为奇数时，且，这样的元素至多有个，
所以.
当，时，满足，.
所以的最小值为
综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.
（Ⅲ）中的元素个数最大值为
设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个
记 ，
显然
集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个
，则
则中至少存在两个元素
，
因为，所以不能同时为
所以对中的一组数而言，
在集合中至多有一个元素满足同时为
所以集合中元素个数不超过个
所以集合中的元素个数为至多为 .
记 ，则中共个元素，
对于任意的，，.
对，记其中，，
记，
显然，，均有.
记，中的元素个数为，且满足，，均有.
综上所述，中的元素个数最大值为.
【点睛】本题主要考查集合新定义及数论.难度较大，根据集合元素特征及定义的运算规则逐步突破.
检测结果
检测结果
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
1
品牌1
Ⅰ级
Ⅰ级
7
品牌7
Ⅰ级
Ⅰ级
2
品牌2
Ⅱ级
Ⅰ级
8
品牌8
Ⅰ级
Ⅰ级
3
品牌3
Ⅰ级
Ⅰ级
9
品牌9
Ⅱ级
Ⅱ级
4
品牌4
Ⅱ级
Ⅱ级
10
品牌10
Ⅱ级
Ⅱ级
5
品牌5
Ⅰ级
Ⅰ级
11
品牌11
Ⅱ级
Ⅱ级
6
品牌6
Ⅱ级
Ⅰ级
12
品牌12
Ⅱ级
Ⅱ级
0
1
0
1
0
1
0
1
0