辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列各数，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四组数，是勾股数的是（ ）
A．B．C．D．，，
3．《九章算术》是中国传统数学中最早记载无理数的著作．书中对开方开不尽的数叫做“面”．例如面积为3的正方形的边长为3“面”，关于3“面”的说法正确的是（ ）
A．它是无限循环小数B．它是0和1之间的实数
C．它不存在D．它是1和2之间的实数
4．下列结论是真命题的是（ ）
A．B．是5的一个平方根
C．的立方根是D．三角形的一个外角大于任何一个内角
5．平面直角坐标系中，下列在第二象限的点是（ ）
A．B．C．D．
6．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
7．将的三个顶点坐标的纵坐标都乘，并保持横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．将原图形沿轴负方向平移了1个单位
8．小美家（A）、小明家（B）、小丽家（C）在同一个小区，位置如图所示，如果小美家（A）的位置用表示，小明家（B）的位置用表示，那么小丽家（C）的位置可以表示为（ ）
A．B．C．D．
9．下列关于一次函数的结论中，正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小B．图像经过第二、三、四象限
C．与x轴交于点D．与坐标轴围成的面积为4
10．如图，已知正方形的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为．现以A为圆心，为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的左侧），则点E表示的数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分）
11．的相反数是 ．
12．本学期小宇平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果这三项成绩分别按的份额计算他本学期的数学总评分，那么小宇本学期的数学总评分是 分.
13．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则二元一次方程组的解为 ．
14．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为 ．
15．如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为 .
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)
(2)
17．解方程组
(1)
(2)
18．作图题
如图所示，在平面直角坐标系中，已知，．
(1)若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为______；
(2)在平面直角坐标系中画出；
(3)的面积为______；
(4)已知点，则______°．
19．据悉，2022年，我国载人航天空间站工程进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等6次重大任务．为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神·拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分（满分10分）．评分结果有6分，7分，8分，9分，10分五种．每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)所抽取作品成绩的众数为______，中位数为______，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为_______；
(3)已知该校收到书画作品共900份，请估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有多少份？
20．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元.
(1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价.
(2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件.
①求n与m之间的关系式；
②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值.
21．如图，，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．请判断与的数量关系并证明．
22．【问题初探】
工人师傅在铺地面时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2．中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为y，宽为x，且．

（1）请求出图1中y与x的函数关系式；
【策略分析】
（2）求出图2中y与x的函数关系式；
（3）对于（2）中的问题，小明给出解题思路：
由图2得；
整理得：，
由平方根定义可以得出：，
所以图2中与的函数关系式是或．
小明得出的结果正确不?请说明理由．
【拓展研究】
（4）在图3中作出两个函数的图象，求出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；
（5）根据以上讨论补全下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？请说明理由．
23．在平面直角坐标系中，点，，过点，的直线（，为常数，）．过点作直线交轴于点，且．
图1 图2 备用图
(1)求直线的函数表达式和点坐标；
(2)如图1，长方形的一边在轴上，它的对边在轴上方，设的长为，长方形沿轴向右移动得到长方形．当点的对应点移动到轴上时，顶点的对应点恰好落在直线上．
①请用含的代数式表示的长为______；
②若直线与直线交于点，当时，求长方形的面积；
③长方形继续向右移动得到长方形，点的对应点为点，点的对应点为点，当时，如图2所示，连接并延长交轴于点．在平面内存在点，使得与全等，求点的坐标．
答案与解析
1．C
【分析】本题考查了无理数，立方根，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握无理数，立方根，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．计算立方根，利用二次根式的性质进行化简，然后根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、是有理数，故不符合要求；
B、是有理数，故不符合要求；
C、是无理数，故符合要求；
D、是有理数，故不符合要求；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握三个数都是整数，且满足的一组数是勾股数是解题的关键．
根据勾股数的定义进行判断作答即可．
【详解】解：A中不是整数，不是勾股数，故不符合要求；
B中，是勾股数，故符合要求；
C中，不是勾股数，故不符合要求；
D中，不是勾股数，故不符合要求；
故选：B．
3．D
【分析】根据，计算可得，即可判断．
【详解】解：，
，
它是1和2之间的实数，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是确定出．
4．B
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根，三角形外角的性质判断各选项的正误，根据正确的命题是真命题进行作答即可．
【详解】解：，A错误，故不符合要求；
是5的一个平方根，B正确，故符合要求；
的立方根是，C错误，故不符合要求；
三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，D错误，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了真命题，平方根，算术平方根，立方根，三角形外角的性质等知识．熟练掌握真命题，平方根，算术平方根，立方根，三角形外角的性质是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了第二象限点坐标的特征．熟练掌握第二象限点坐标为是解题的关键．
根据第二象限点坐标为进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，是第二象限的点，
故选：D．
6．C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】A、由∠1+∠2=180°，得到AB∥CD，故本选项错误；
B、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故本选项错误；
C、由∠1＝∠2，得AB∥CD，符合平行线的判定定理，故本选项正确；
D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握“同位角相等，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
7．A
【分析】根据关于原点对称，关于轴、轴对称的点的坐标特征判断即可．
【详解】解：将的三个顶点坐标的纵坐标都乘以，并保持横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是关于轴对称，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称，关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称，关于轴、轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
8．B
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，再建立坐标系，进而得出答案．
【详解】解：如图，建立坐标系如下：
∴，
故选B
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
9．D
【分析】根据一次函数图像的性质、一次函数图像所在的象限、一次函数图像与直线的交点以及三角形面积公式进行分析判断即可．
【详解】解：A、由于一次函数y=2x-4中的k=2＞0，b=-4<0，所以y随x的增大而增大，故A错误，不符合题意．
B、由于一次函数y=2x-4中的k=2＞0，b=-4<0，所以函数图像经过第一、三、四象限，故B错误，不符合题意．
C、直线y=2x-4，令y=0可得2x-4=0，解得：x=2，函数图像与x轴的交点坐标为（2，0），故C错误，不符合题意．
D、直线y=2x-4，令x=0可得y=-4，函数图像与坐标轴围成的三角形面积为：×2×4=4，故D正确，符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数图像所在的象限、一次函数图像与直线的交点以及三角形面积公式等知识点，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是，且点E在点A的左侧，
∴点E表示的数为．
故选：C．
11．
【分析】根据相反数的定义直接可得出答案
【详解】解：因为-(﹣1)= 1﹣.
所以﹣1的相反数是1﹣.
故答案为：1﹣
12．102
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：小宇本学期的数学总评分为（分），
故答案为：102．
13．
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系．熟练掌握二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标是解题的关键．
根据二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标，结合图象作答即可．
【详解】解：由图象可知，二元一次方程组的解为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据图形设小长方形的长为，则宽为，然后根据为一个小长方形的长加上三个小长方形的宽列出方程，求出x后，再用大长方形的面积减去五个小长方形的面积即可．
【详解】解：设小长方形的长为，则宽为，
由题意得：，
解得：，
则，
∴阴影部分图形的总面积，
故答案为：．
15．5或20
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键的分两种情况进行讨论．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可．
【详解】解：①若折叠后，直线于点E，
∵，
∴，
若点N在线段上，如图所示：
由折叠的性质可知：，
∴，
在中，，
根据勾股定理，得，
∴，
解得；
②若点N在线段的延长线上，如图所示，
由折叠可知：，
∴，
在中，，
根据勾股定理，得，
∴，
解得．
综上所述，或．
故答案为：5或20．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算、零指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
（1）先化简二次根式，去绝对值，计算零指数幂，再进行加减运算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
17．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法即可解题．
（2）本题解法与（1）类似，注意先将去分母，再利用加减消元法即可解题．
【详解】（1）解：
由得：，
由得：，解得，
将代入中得：，解得，
综上所述，方程组的解为．
（2）解：
由得：，
由得：，解得，
将代入中得：，解得，
综上所述，方程组的解为．
18．(1)
(2)如图所示
(3)2
(4)45
【分析】（1）关于y轴对称，根据“横坐标互为相反数，纵坐标相等”求解即可；
（2）如图，根据点的坐标在平面直角坐标系中找到相应位置，并依次连接即可；
（3）直接利用三角形面积公式求解即可；
（4）如图，连接，，利用对称的性质及平行的性质可得，再利用勾股定理及其逆定理可得，，最后求得的度数即可．
【详解】（1）解：点B与点A关于y轴对称，，
，
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求；

（3）解：，
故答案为：2；
（4）解：如图，连接，，
点B与点A关于y轴对称，
，轴，
，轴，
，
，
，
， ，，
，，
，
，
即，
故答案为：45．

【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征，平行的性质，对称的性质，勾股定理及其逆定理；网格中三角形问题可尝试用勾股定理；求两角差可通过作辅助线转化角来求解，这些都是解决本题的关键．
19．(1)见解析
(2)8分、8分，
(3)660份
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，用10分的份数除以它所占的百分比可得本次抽取的作品总份数，再求出得8分的作品的份数,然后补全条形统计图即可；
（2）根据众数、中位数求法即可求得众数和中位数，然后再求得6分所在的比例，最后用6分所在的比例即可解答；
（3）运用样本估计总体即可解答．
【详解】（1）解：（人）
得8分的作品数为：（份）
补全条形统计图如下：
（2）解：∵所抽取作品成绩出现次数最多的是8分，
∴所抽取作品成绩的众数为8分，
∵共抽取了120份作品，其中成绩排在第60与61名的作品均为8分，
∴所抽取作品成绩的中位数为8分，
∵6分所占的比例为
∴扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为．
故答案为：8分、8分，．
（3）解：（份）．
∴估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有660份.
【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运、众数、中位数等知识点，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．(1)A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元
(2)①；②，最大利润为1900元
【分析】(1)设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，根据购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元，列出方程组，解方程组即可；
(2)①该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，购进A种礼品m个，B种礼品n个，结合（1）中求出的进价，得到购进A种礼品需要元，B种礼品需要元，列出二元一次方程，整理可得n关于m的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出W与m的关系式，根据W随m的变化情况及m的取值范围求最大利润即可．
本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，列出二元一次方程或方程组，一次函数关系式，并根据函数值的增减性和自变量的取值范围求出函数最值．
【详解】（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元，
依题意得，，
解得，
故A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元；．
（2）(2)①依题意得，，
∴．
②∵W表示所获得的利润，
∴，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∵，
∴当时，W取得最大值．即A礼品进货100件时，该店获利最大，
最大利润为， (元)．
21．，证明见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质．根据三角形的外角，得到，平行线的性质，得到，根据，即可得出结论．掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：，证明如下：
∵，，是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（1）；（2）；（3）不正确，理由见解析；（4）作图见解析，交点坐标为，交点坐标的实际意义为：瓷砖的长和宽分别为5和3时，能围成图1，图2中的图形；（5）表格见解析，理由见解析
【分析】（1）由组成长方形的长度关系可得，然后整理即可；
（2）依题意得，，整理得，，结合，确定y与x的函数关系式即可；
（3）理由见（2）；
（4）描点，连线作图象即可，联立得，，计算求解可得交点坐标，然后进行作答即可；
（5）根据图2中y与x的函数关系式，分别求解不同正方形边长，不同长方形宽度下的长方形的长，填表格，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴；
（2）解：依题意得，，整理得，，
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：不正确，理由如下：
∵，
∴，
∴，不符合题意；
∴，即；
（4）解：如图3，

联立得，，
解得，，
∴交点坐标为，交点坐标的实际意义为：瓷砖的长和宽分别为5和3时，能围成图1，图2中的图形；
（5）解：由题意得，当阴影部分边长为1，时，；
当阴影部分边长为2，时，则，此时满足要求的；
当阴影部分边长为3，时，则，此时满足要求的；
当阴影部分边长为4，时，则，此时满足要求的；
填表如下：
由表格可知，，
∴当长方形的长、宽满足时，能拼成类似图1和图2的图形；当长方形的长、宽不满足时，不能拼成类似图1和图2的图．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象，二元一次方程组的应用．熟练掌握一次函数的应用，利用面积的关系求表达式是解题的关键．
23．(1)直线的函数表达式为，点坐标为．
(2)①．②长方形的面积为．③点的坐标为或或．
【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式，将点，代入直线中，即可求得解析式，再结合，即可求得点．
（2）①利用平移的性质和矩形的性质，得出，在利用在直线上求得的横坐标，再结合平移的性质和矩形的性质，得到，即可解题．
②通过点、求得直线，再结合直线求出点，可得到、的长，利用建立方程即可求得，可表示出、的长，即能求得长方形的面积．
③本题通过点、求得直线，可表示出点，利用与全等，哪些对应的角相等，对应的边相等，根据对应的边等，建立等式，即可解题．．
【详解】（1）解：将点，代入直线的函数表达式中，
有，解得，
直线的函数表达式为．
，且，
，解得，
点坐标为．
（2）①解：四边形为长方形，
，
由平移的性质可知，，
当时，有，解得，
，
由平移的性质可知，，
故答案为：．
②解：设直线的解析式为，
将，代入中，
有，解得，
直线的解析式为，
当时，有，解得，
，，，
，
，解得，
，，
长方形的面积为．
③解：，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入中，
有，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，，，
，
平面内存在点，使得与全等，
当点使得与全等时，
有，，
，即，
，，
，
，
当点使得与全等时，
有，，
，
，即，
，
，
当点使得与全等时，
有，，
，
、、同在轴上，
，
．
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质、平移的性质和全等三角形的性质和判定综合，解题的关键在于结合图形和图形的变换过程，建立线段之间的等量关系，即可解题．
图（2）中小正方形边长（阴影部分）
1
2
3
4
…
x
3
6
9
…
y
…
图（2）中小正方形边长（阴影部分）
1
2
3
4
…
x
3
6
9
…
y
5
…