2023-2024学年湖南省郴州市汝城县七中片区九年级（上）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年湖南省郴州市汝城县七中片区九年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知反比例函数y=kxk≠0的图象经过点(2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是( )
A. (−6,1)B. (1,6)C. (2,−3)D. (3,−2)
2.从全市5000份数学试卷中随机抽取400份试卷，其中360份成绩合格，那么可以估计全市数学成绩合格的学生大约有多少人？( )
A. 4500B. 4000C. 3600D. 4800
3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=( )
A. 35
B. 45
C. 34
D. 43
4.一元二次方程x2−8x−1=0配方后可变形为( )
A. (x+4)2=17B. (x+4)2=15C. (x−4)2=17D. (x−4)2=15
5.关于二次函数y=(x−1)2+5，下列说法正确的是( )
A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是(−1,5)
C. 该函数有最大值，最大值是5D. 当x>1时，y随x的增大而增大
6.已知关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m1C. m−1且m≠0
7.△ABC与△DEF是相似三角形，且△ABC与△DEF的相似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△DEF的面积是( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
8.如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )
A. 4 3米B. 6 5米C. 12 5米D. 24米
9.如图所示，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB=1.6 m，BC=12.4 m.则建筑物CD的高是( )
A. 9.3 mB. 10.5 mC. 12.4 mD. 14 m
10.如图，平行于x轴的直线与函数y=k1x(k1>0,x>0)，y=k2x(k2>0,x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4，则k1−k2的值为( )
A. 8
B. −8
C. 4
D. −4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若xy=27，则x+yy=______．
12.已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是______ ．
13.跳高训练时，甲、乙两名同学在相同条件下各跳了10次，统计他们的平均成绩都是1.36米，且方差为S甲2=0.4，S乙2=0.3，则成绩较为稳定的是______ (填“甲”或“乙”)．
14.在△ABC中，若∠A，∠B满足|csA− 32|+(1−tanB)2=0，则∠C= ______ ．
15.已知：如图，在△ABC中，点E在边AB上，点F在AC边上，要使△AFE∽△ABC，则需要增加的一个条件是______.(写出一个即可)
16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=−1，给出下列结果：①b2>4ac；②abc>0；③2a+b=0；④a−b+c0.其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 16−2tan45°+|−3|+(π−2023)0．
18.(本小题6分)
如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(−1,3)，B(−1,1)，C(−3,2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍．
19.(本小题6分)
如图所示，一次函数y1=−x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B(3,−1)．
(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当y1>y2时，求x的取值范围．
20.(本小题8分)
某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名个学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀，良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图所示两幅不完整统计图．
(1)参与本次测试的学生人数为______ ，m= ______ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好(测试成绩能达到良好及以上等级)的学生人数．
21.(本小题8分)
某运动服专卖店在销售中发现，某款运动服每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接国庆节，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件运动服降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价______元时，每天卖出______件，每件可盈利______元；(用x的代数式表示)
(2)若该专卖店计划平均每天盈利1200元，那么每件运动服应降价多少元？
22.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．
23.(本小题8分)
某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73.结果精确到0.1km)．
24.(本小题10分)
某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数，例如：M{1,2,9}=1+2+93=4,min{1,2,−3}=−3．
请结合上述材料，解决下列问题：
(1)M{22, 9,−32}= ______ ；
(2)若M{−2x,x2,3}=2，求x的值；
(3)若a>0，且点P(M{−2,a−1,2a}，min{−2,a−1,2a})在反比例函数y=−2x的图象上，求a的值．
25.(本小题12分)
如图，已知抛物线过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
(3)P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kxk≠0的图象经过点(2,3)，
∴k=2×3=6，
A、∵(−6)×1=−6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
B、∵1×6=6，∴此点在反比例函数图象上；
C、∵2×(−3)=−6≠6，∴此点不在反比例函数图象上；
D、∵3×(−2)=−6≠6，∴此点不在反比例函数图象上．
故选：B．
先根据点(2,3)，在反比例函数y=kxk≠0的图象上求出k的值，再根据k=xy的特点对各选项进行逐一判断．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：5000×360400=4500(人)．
故选：A．
由题意可知：抽取400份试卷中合格率为360400×100%=90%，则估计全市5000份试卷成绩合格的人数约为5000×90%=4500份．
本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义．
在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．
【解答】
解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴tanA=BCAB=43．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：∵x2−8x−1=0，
∴x2−8x=1，
∴x2−8x+16=1+16，即(x−4)2=17，
故选：C．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：y=(x−1)2+5中，
x2的系数为1，1>0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是(1,5)，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x=1，x1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及单调性即可求解．
本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△>0，即22−4⋅m⋅(−1)>0，解得m>−1，
∴m的取值范围为m>−1且m≠0．
∴当m>−1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根．
故选：D．
由关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△>0，即22−4⋅m⋅(−1)>0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△0,x>0)的比例系数．△ABC的面积等于AB与点A的纵坐标的乘积的一半．
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
11.【答案】97
【解析】解：设x=2k，y=7k，
则x+yy
=2k+7k7k
=9k7k
=97，
故答案为：97．
设x=2k，y=7k，再求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ab=cd，那么ad=bc．
12.【答案】5
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得−4t=−20，
解得t=5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得−4t=−20，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
13.【答案】乙
【解析】解：∵S甲2=0.4，S乙2=0.3，
∴S甲2>，S乙2，
∴乙同学的成绩较为稳定．
故答案为乙．
根据方差的意义进行判断．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14.【答案】105°
【解析】解：∵|csA− 32|+(1−tanB)2=0，
∴csA− 32=0，1−tanB=0，
则csA= 32，tanB=1，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°−30°−45°=105°．
故答案为：105°．
直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值得出∠A=30°，∠B=45°，进而得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
15.【答案】∠AEF=∠C，∠AFE=∠B或AEAF=ACAB
【解析】【分析】
此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．
根据相似三角形的判定解答即可．
【解答】
解：∵∠A=∠A，
∴添加∠AEF=∠C，∠AFE=∠B或AEAF=ACAB，
∴△AFE∽△ABC，
故答案为：∠AEF=∠C，∠AFE=∠B或AEAF=ACAB．
16.【答案】①④⑤
【解析】解：∵图象和x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，∴①正确；
∵从图象可知：a>0，c0，
∴abc0
∴2a+b=4a>0，∴③错误；
∵x=−1时，y0，
把b=2a代入得：3a+c>0，选项⑤正确；
故答案为①④⑤．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=−1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
17.【答案】解： 16−2tan45°+|−3|+(π−2023)0
=4−2×1+3+1
=6．
【解析】先计算开方、绝对值、零指数幂、特殊的三角函数值，再合并即可．
此题考查的是算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．
18.【答案】解：(1)∵A(−1,3)，B(−1,1)，C(−3,2)关于y轴的对称点为A1(1,3)，B1(1,1)，C1(3,2)，
∴在平面直角坐标系中描出A1，B1，C1，顺次连接A1，B1，C1，即得△A1B1C1，如图

(2)∵以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，A1(1,3)，B1(1,1)，C1(3,2)，
∴A2(2,6)，B2(2,2)，C2(6,4)，或者A2(−2,−6)，B2(−2,−2)，C2(−6,−4)，
【解析】(1)根据A(−1,3)，B(−1,1)，C(−3,2)，得到关于y轴的对称点为A1(1,3)，B1(1,1)，C1(3,2)，描出A1，B1，C1，并顺次连接，即得△A1B1C1；
(2)根据原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到A2(2,6)，B2(2,2)，C2(6,4)或者A2(−2,−6)，B2(−2,−2)，C2(−6,−4)，描出并顺次连接A2，B2，C2，即得△A2B2C2，
本题主要考查了网格作图．解决问题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点坐标特征，以原点为位似中心的位似图形的性质及坐标特征．
19.【答案】解：(1)∵一次函数y1=−x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B(3,−1)，
∴−1=−3+m，−1=k3，
解得m=2，k=−3，
∴反比例函数的解析式为y2=−3x；
(2)解方程组y=−x+2y=−3x，得x=−1y=3或x=3y=−1，
∴A(−1,3)，
观察图象可得，当y1>y2时，x的取值范围为xa−1>−2，
∴M{−2,a−1,2a}=−2+a−1+2a3=a−1，min{−2,a−1,2a}=2，
∴点P(a−1,−2)．
∵点P在反比例函数y=−2x的图象上，
∴−2(a−1)=−2，
∴a=2．
(1)根据新定义列式计算即可；
(2)根据新定义可得方程−2x+x2+33=2，解方程即可得到答案；
(3)先证明2a>a−1>−2，进而得到M{−2,a−1,2a}=a−1，min{−2,a−1,2a}=2，则点P(a−1,−2)，再把点P坐标代入反比例函数解析式中进行求解即可．
本题主要考查了新定义，解一元二次方程，反比例函数的性质等等，正确理解新定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0)，
设抛物线解析式为y=ax(x−4)，把A(5,5)代入，得5a=5，
解得：a=1，
∴y=x(x−4)=x2−4x，
故此抛物线的解析式为y=x2−4x；
(2)∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B(2,m)(m>0)，
设直线OA的解析式为y=kx，
则5k=5，
解得：k=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H(2,2)，
∴BH=m−2，
∵S△OAB=15，
∴12×(m−2)×5=15，
解得：m=8，
∴点B的坐标为(2,8)；
(3)设直线AB的解析式为y=cx+d，把A(5,5)，B(2,8)代入得：5c+d=52c+d=8，
解得：c=−1d=10，
∴直线AB的解析式为y=−x+10，
当PA−PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴y=−x+10y=x2−4x，
解得：x1=−2y1=12，x2=5y2=5(舍去)，
∴P(−2,12)，
此时，PA−PB=AB= (5−2)2+(5−8)2=3 2．
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)设B(2,m)(m>0)，运用待定系数法求得直线OA的解析式为y=x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H(2,2)，BH=m−2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
(3)运用待定系数法求得直线AB的解析式为y=−x+10，当PA−PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，由点的坐标，勾股定理可求得AB，即PA−PB的最大值．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键．