北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份北京市海淀区中国人民大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共11页。试卷主要包含了10，用配方法解方程，正确的是，方程的解为______等内容，欢迎下载使用。

第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A.3，1，5B.3，1，C.3，，5D.3，，
2.将抛物线向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A.B.C.D.
3.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.以下剪纸中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
4.用配方法解方程，正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，5为半径作，则（ ）
A.点在上B.点在内
C.点在外D.点与的位置关系无法确定
6.如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ）
A.点B.点C.点D.点
7.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，右面图2中的图案可以由图1中的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角，依次旋转若干次形成，则旋转角的值不可能是（ ）
图1 图2
A.36°B.72°C.144°D.216°
8.已知抛物线上的两点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.点关于原点对称的点的坐标为______.
10.方程的解为______.
11.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______.
12.写出一个开口向下，图象过原点的二次函数的解析式：______.
13.如图，点，，在上，，则的度数为______.
14.在中，，，将绕点逆时针旋转后能与重合，若，则的长为______.
15.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表所示：
则一元二次方程的根是______.
16.在中，，，将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点，间的距离记为，点，间的距离记为，给出下面四个结论：
①的值一直变大；
②的值先变小再变大；
③当时，的值一直变小.
④当时，的值保持不变.
上述结论中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.解方程：.
18.如图，在中，，，在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接.
（1）依题意补全图形；
（2）求证：.
19.已知是方程的一个根，求代数式的值.
20.如图，四边形内接于，为的直径，若平分，，，求度数及线段的长度.
21.如图，小明同学用一张长为11cm，宽为7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）.求剪去的正方形的边长.
22.已知关于的方程.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，求的取值范围.
23.已知二次函数（）的图象经过点，点.
（1）求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数（）的值且不大于5，求的取值范围.
24.如图，是的直径，点是的中点，过作弦，连接，.
（1）求证：是等边三角形；
（2）若点是的中点，连接，过点作，垂足为，若的半径为2，求线段的长.
25.篮球是学生非常喜爱的运动项目之一.篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小明站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点练习定点投篮，篮球从小明正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分.
当篮球运行的水平距离是（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：m）.小明进行了多次定点投篮练习，并做了记录：
（1）第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
①结合表中数据，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式；
②判断小明第一次投篮练习是否投进篮筐，并说明理由；
（2）将小明第次投篮后，篮球运行到最高点时，篮球运行的水平距离记为，小明第二次训练时将球投进了篮筐，已知第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运行到最高点时球心距离地面的竖直高度也相同，则______（填，或）.
26.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上.
（1）①若，求的值；
②若，比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点，也在该抛物线上，若当时，都有，求的取值范围.
27.已知是等边三角形，点在内部，且.
图1 图2
（1）如图1，设，求的度数（用含的式子表示）；
（2）如图2、点是的中点，连接，.用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
28.对于和内一点（与不重合）给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数.
在平面直角坐标系中，已知的半径为3.
（1）若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为______，点关于的相关系数为______；
（2）若点，点为的4属相关点，求线段长的取值范围；
（3）点是轴正半轴上一点，的半径为2，点，分别在与上，点关于的相关系数记为，点关于的相关系数记为.当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且.直接写出点的横坐标的取值范围.
10月统练参考答案
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.10.，11.9
12，答案不唯一，满足，即可13.35°14.
15.，16.①②④
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.（本题满分5分）
解：，，
，
，
18.（本题满分5分）
（1）补图如下图；
证明：依题意得，，，.
.又，..
19.（本题满分5分）
解：原式
是方程的一个实数根，.
原式
20.（本题满分5分）
解：为的直径，.
平分，.
，，
，..
.
在中，，.
解得：.在中，，.
解得：.的长为.
21.（本题满分5分）
解：设剪去的正方形的边长为，根据题意，得.
解得，.
经检验，符合题意，不符合题意，舍去.
答：剪去的正方形的边长为2cm.
22.（本题满分6分）
（1）证明：依题意，得.
该方程总有两个实数根.
（2）解：解方程，得，.方程的两个实数根中有且仅有一个正数，
.解得：.
23.（本题满分5分）
（1）二次函数（）的图象经过点，点.
解得该二次函数的解析式为.函数图象如下图.
（2）.
24.（本题满分6分）
（1）证明：连接，，
点是的中点，于，
. ，.是等边三角形.
.，.
直径于，，.
，
.是等边三角形.
（2）解：连接.的半径为2，.
是的直径，..
..
是的中点，.
是等边三角形，.
.，，.
，.
25.（本题满分6分）
解（1）①篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6m..
依题意，设与的函数解析式为（）.
当时，，.解得.
与的函数解析式为.
②否，理由为：当时，.
小明第一次投篮练习没有投进篮筐.
（2）.
26.（本题满分6分）
解：（1）①点，在抛物线上，且，
抛物线的对称轴为直线.抛物线的对称轴为直线，.
②，理由如下：
点，在抛物线上，
，.
.
，..
（2）抛物线的对称轴为直线，
点在对称轴右侧的抛物线上，
点关于对称轴的对称点在对称轴左侧的抛物线上.
抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，
当时，随的増大而增大.上，且，
解得.
点在抛物线上，且当时，都有，
.解得.综上，的取值范围为.
27.（本题满分7分）
（1）解：，.
是等边三角形，.
，...
（2）线段与的数量关系为：.
证明：如图，延长至点，使，连接.
作，且使，连接，.
是等边三角形，，..
，.
.
是等边三角形. .
是的中点，.
又，，.
，.
①，.
.
②.又③.
由①②③可得：.
..
28.（本题满分7分）
（1），3.
（2）解：设中过点的弦长为，其中最长的弦为过点的直径，最短的弦为过点与直径垂直的弦，则.当时，可知，.
由题意可得，的所有4属相关点组成的图形是以为圆心，为半径的圆，如图.作直线交该圆于点，.
，.，.
当点与点重合时，最短，当点与点重合时，最长.
线段长的取值范围为.
（3）.考生须知
1.本试卷共6页，共两部分，28道题.满分100分.考试时间110分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回.
…
0
1
…
…
0
4
6
6
…
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
B
A
D
A
B