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2022-2023学年江西省吉安市峡江县九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江西省吉安市峡江县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程x2−4x=0的根是( )
A. x1=2，x2=−2B. x1=0，x2=2
C. x1=0，x2=4D. x1=0，x2=−4
2.如图是某体育馆内的颁奖台，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.小刘和小李参加九江市创建文明城市志愿服务活动，随机在“维护社区环境卫生”和“维护交通秩序”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择“维护社区环境卫生”的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 34
4.如图，点O是四边形ABCD内一点，A′、B′、C′、D′分别是OA、OB、OC、OD上的点，且OA′：A′A=OB′：B′B=OC′：CC=OD′：D′D=2：1，若四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为( )
A. 18cm2
B. 27cm2
C. 36cm2
D. 54cm2
5.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点(BM>CM)，点P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是( )
A. 72B. 2 73C. 3 55D. 264
6.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3 2，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是
( )
A. 3 105B. 2 2C. 3 54D. 3 22
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD至E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，若添加一个条件后，使四边形DBCE成为矩形，则添加的条件是______．
8.如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是______m.
9.已知一位美女身高154cm，穿上高跟鞋后，肚脐至足底的长度约100cm，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是______ .(精确到1cm)
10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，顶点A，C的坐标分别为A(0,3)，C(3,0)，AC=2BC，函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为______ ．
11.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE=12CD，连接OE交BC于点F，若BC=4，则CF=______．
12.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
13.如图，一次函数y=kx−2(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，且OC=OD，AO= 10．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求反比例函数的表达式和点A，B的坐标；
(3)若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．
四、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
(1)解方程：x2+3x−1=0；
(2)计算：(2020− 7)0+| 3−2|+2sin60°．
15.(本小题6分)
已知2− 3是方程x2−4x+c=0的一个根，求方程另一个根及c的值．
16.(本小题6分)
如图，是由两个等边三角形和一个正方形拼在−起的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
(1)在图①中画一个60°的角，使点C或点E是这个角的顶点，且以CE为这个角的一边；
(2)在图②画一条直线AP，使得AP//CE．
17.(本小题6分)
不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(除颜色外其余都相同)，其中红球2个(分别标有1号、2号)，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14．
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．
18.(本小题6分)
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求出这个函数的表达式；
(2)当气球内气压大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？
19.(本小题8分)
阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个．若设每个电子产品降价x元，
(1)根据题意，填表：
(2)若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？
20.(本小题8分)
如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，D为平面上一动点，在运动过程上保持AD⊥BD于点D，将△BCD沿BD翻折得到△BED，在直线AD上取点F，作CF//DE．
(1)如图1，若AD与BC相交于点G，求证DGCG=BGAG；
(2)猜想△CDF的形状，并说明理由．
21.(本小题8分)
为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线−“共享单车”.图(1)所示的是一辆共享单车的实物图，图(2)是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档AC长为40cm，座杆CE的长为18cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB=60°，∠ACB=75°．
(1)求车座点E到车架档AB的距离；
(2)求车架档AB的长．
22.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB⋅AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．
(1)求证：△ADC∽△ACB．
(2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
(3)若AD=4，AB=6，则AFAC= ______ ，CF= ______ ．
23.(本小题12分)
如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
(1)证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：AGBE的值为______：
(2)探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H.若AG=6，GH=2 2，则BC=______．
答案和解析
1.【答案】C
解：∵x2−4x=0，
∴x(x−4)=0，
则x=0或x−4=0，
解得x1=0，x2=4，
故选：C．
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2.【答案】D
解：从左边看，是一个矩形，矩形内部从上往下分别有一条实线和虚线．
故选：D．
找到从左面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】C
解：把“维护社区环境卫生”和“维护交通秩序”分别记为A、B，
画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中小刘和小李两人都选择“维护社区环境卫生”的结果有1种，
∴两人都选择“维护社区环境卫生”的概率是14，
故选：C．
画树状图，共有4种等可能的结果，其中小刘和小李两人都选择“维护社区环境卫生”的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，利用树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
4.【答案】B
解：∵OA′：A′A=OB′：B′B=OC′：C′C=OD′：D′D=2：1，
∴OA′：OA=OB′：OB=OC′：COC=OD′：DO=2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为：4：9，
∵四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，
∴四边形ABCD的面积为：27cm2．
故选：B．
利用位似图形的定义得出四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，进而得出面积比，即可得出四边形ABCD的面积．
本题主要考查了位似变换，根据题意得出两四边形的相似比是解题关键．
5.【答案】A
解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM，
∴当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，
∵CM=13BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC是等边三角形，∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=3 3，
在Rt△DMH中，DM= DH2+HM2= (3 3)2+12=2 7，
∵CM//AD，
∴P′MDP′=CMAD=26=13，
∴P′M=14DM= 72．
故选：A．
如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H.当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．
本题考查轴对称−最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的对应边成比例计算即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3 2，
∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，
∵AF⊥BE，
∴∠EBO=∠GAO，
在△GAO和△EBO中，
∠GAO=∠EBOAO=BO∠AOG=∠BOE,
∴△GAO≌△EBO，
∴OG=OE=1，
∴BG=2，
在Rt△BOE中，BE= 10，
∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，
∴△BFG∽△BOE，
∴BFOB=BGBE，即BF3=2 10，
解得，BF=3 105．
故选A．
7.【答案】AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE//BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
添加AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴▱DBCE为矩形；
添加∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴▱DBCE为矩形；
添加CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴▱DBCE为矩形．
故答案为：AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE．
先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．
8.【答案】12
解：由题意得
∴1.6：1.2=旗杆的高度：9．
∴旗杆的高度为12m．
在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理在实际中的应用．
9.【答案】8cm
解：设她穿的高跟鞋的高度是x cm，
则154+x−100100≈0.618，
解得x≈8，
∴她穿的高跟鞋约是8cm．
故答案为：8cm．
根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
本题主要考查了近似数和有效数字的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
10.【答案】274
解：过B点作BD⊥x轴于D，如图，
∵A，C的坐标分别是(0,3)，(3,0)．
∴OA=OC=3，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴AC= 2OC=3 2，∠ACO=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴CD=BD= 22BC，
∵AC=2BC，
∴BC=3 22，
∴CD=BD= 22×3 22=32，
∴OD=3+32=92，
∴B(92,32)，
∵函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，
∴k=92×32=274．
故答案为274．
根据A、C的坐标分别是(0,3)、(3、0)可知OA=OC=3，进而可求出AC，由AC=2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.也考查了反比例函数的性质．
11.【答案】1
解：取CD中点G，连接OG，
∵O为BD中点，
即OG为△BDC的中位线，
∴OG//BC，且OG=12BC=2，
又∵CE=12CD，CF//OG，
∴△ECF∽△EGO，
∴CFOG=CEEG=12，
又OG=2，
∴CF=1，
故答案为：1．
取CD中点G，连接OG，可得OG为△BDC的中位线，可得OG=2，再证明△ECF∽△EGO，推出CFOG=CEEG=12，即可得答案．
本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握这些性质并灵活运用是解此题的关键．
12.【答案】8.4或2或12
解：设DP=x，则BP=BD−x=14−x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，
即64=14−xx；
解得x=285，
BP=14−285=8.4；
当ABDP=BPDC时，△ABP∽△PDC，
即6x=14−x4，
整理得x2−14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14−2=12或BP=14−12=2．
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与△ABP相似．
故答案为：8.4或2或12．
设DP=x，则BP=BD−x=14−x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，即64=14−xx；当ABDP=BPDC时，△ABP∽△PDC，即6x=14−x4；然后分别解方程求出x即可．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
13.【答案】解：(1)令y=0，x=2k，x=0，y=−2，
∵OC=OD=2，
∴2=−2k，
∴k=−1，
∴一次函数的表达式：y=−x−2；
(2)过A作AH⊥x轴，
设HC=a，HO=a+2，
∵A在y=−x−2；
∴y=a，
在Rt△AHO中，根据勾股定理得AH2+HC2=AO2，
a2+(−a−2)2=10，
解得a1=−3(舍去)，a2=1，
∵点A在第二象限，
∴A(−3,1)，
∴m=−3，
∴反比例函数的表达式：y=−3x；
∵y=−3xy=−x−2，
∴x1=1，x2=−3，
∵点B在第四象限，
∴B(1,3)；
(3)令x=0，y=−2，
∴D(0,−2)，
∵点F是点D关于x轴的对称点，
∴F(0,2)，
∴DF=4，
∴S△ABF=S△ADF+S△BDF
=12×4×4
=8．
∴△ABF的面积是8．
【解析】(1)先求出y=kx−2与坐标轴的交点，再根据OC=OD，求出k，进而得到一次函数的表达式；
(2)过A作AH⊥x轴，设HC=a，HO=a+2，用勾股定理求得a的值，求出点A的坐标，把函数列成方程组求出B点横坐标，代入反比例函数求出纵坐标；
(3)根据S△ABF=S△ADF+S△BDF，求出△ABF的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
14.【答案】解：(1)∵x2+3x−1=0，
∴b2−4ac=32−4×1×(−1)=13，
∴x=−3± 132，x1=−3+ 132，x2=−3− 132；
(2)(2020− 7)0+| 3−2|+2sin60°=1−( 3−2)+2× 32=1− 3+2+ 3=3．
【解析】(1)用公式法求解即可；
(2)先化简零指数幂，绝对值和特殊角的三角函数值，再按实数的运算顺序计算．
本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，熟练掌握一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
15.【答案】解：设方程的另一根为x1 ，
由题意得：
x1+2− 3=4，x1(2− 3)=c，
解得，x1=2+ 3，c=1，
故方程的另一根为2+ 3，c的值为1．
【解析】设方程的另一根为x1，由根与系数的关系可得出x1+2− 3=4，x1(2− 3)=c，解之即可得出方程的另一个根以及c的值．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1，∠FCE或∠FEC即为所求；
(2)直线AP即为所求．
【解析】(1)在图①中画一个60°的角，使点C或点E是这个角的顶点，且以CE为这个角的一边即可；
(2)在图②画一条直线AP，使得AP//CE即可．
本题考查了作图−复杂作图、等边三角形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是准确画图．
17.【答案】解：(1)设袋中黄球的个数为x个，
∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14，
∴1x+2+1=14，解得：x=1，
∴袋中黄球的个数为1个；
(2)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，
∴两次摸到不同颜色球的概率为：P=1012=56．
【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14，利用概率公式即可得方程：1x+2+1=14，解此方程即可求得答案；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
18.【答案】解：(1)设气压P与气球体积V之间的函数解析式为P=kV，
将A(0.8,120)代入P=kV得：
120=k0.8，
解得：k=96，
∴P=96V；
(2)当P>150KPa时，气球将爆炸，
∴P≤150，即P=96V≤150，
解得：V≥96150=0.64(m3).
故为了安全起见，气体的体积应不小于0.64(m3).
【解析】(1)先设出反比例函数解析式，再把A点坐标代入解析式，用待定系数求解析式即可；
(2)依题意P≤150，即P=96V≤150，解不等式即可．
本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
19.【答案】(1)80−x， 30−x ，160+10x， (80−50−x)，(160+20×x2) ;
(2)根据题意得，(80−50−x)(160+20×x2)=5200，
解得x1=10，x2=4(不合题意舍去)，
答：每个电子产品应降价10元．
解：(1)
故答案为：80−x，30−x，160+10x，(80−50−x)(160+20×x2)；
(2)见答案．
(1)根据题意列出代数式即可；
(2)根据销量×每个的利润=盈利列方程即可得到结论．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确利用销量×每个的利润=盈利得出方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
又∵∠BGD=∠AGC，
∴△BDG∽△ACG，
∴DGCG=BGAG；
(2)△CDF为等腰直角三角形，
理由：由(1)得DGCG=BGAG．
又∵∠CGD=∠AGB，
∴△CDG∽△ABG，
∴∠ADC=∠ABC=45°，即∠BDC=135°，
由翻折得∠BDE=∠BDC=135°．
∴∠CDE=90°，
∵CF//DE，
∴∠DCF=∠CDE=90°，
∴∠CFD=45°，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
∴CF=CD，
∴△CDF为等腰直角三角形．
【解析】(1)证明△BDG∽△ACG即可得到结论；
(2)先证明△CDG∽△ABG，可得∠ADC=∠ABC=45°，即∠BDC=135°，由翻折得∠BDE=∠BDC=135°，进一步得到∠CDE=90°，由CF//DE，可得∠DCF=∠CDE=90°，即∠CFD=45°，进而可得△CDF为等腰直角三角形．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，图形的翻折等，利用相似的条件，证明三角形的相似是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)作EF⊥AB于点F，
∵车架档AC长为40cm，座杆CE的长为18cm，∠CAB=60°，
∴AE=58cm，
∴EF=AE⋅sin60°=58× 32=29 3cm，
即车座点E到车架档AB的距离是29 3cm；
(2)作CG⊥AB于点G，
∵AC=40cm，∠CAB=60°，∠ACB=75°，
∴∠B=45°，CG=AC⋅sin60°=40× 32=20 3cm，AG=20cm，
∵∠B=45°，∠CGB=90°，
∴CG=GB=20 3cm，
∴AB=AG+GB=(20+20 3)cm，
即车架档AB的长是(20+20 3)cm．
【解析】(1)作EF⊥AB于点F，然后锐角三角函数即可得到EF的长，从而可以得到车座点E到车架档AB的距离；
(2)作CG⊥AB，然后根据锐角三角函数，可以得到CG和AG的长，然后根据等腰三角形的性质，可以得到GB的长，从而可以得到AB的长．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
22.【答案】47 6 67
【解析】(1)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AC2=AB⋅AD，
∴ACAB=ADAC，
∴△ADC∽△ACB；
(2)CE//AD，
理由如下：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE=AE=12AB，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE//AD；
(3)由(2)得，CE=12AB=3，
∵CE//AD，
∴CFAF=CEAD=34，
∴AFAC=47，
∵AC2=AB⋅AD，AD=4，AB=6，
∴AC=2 6，
∴AF=47×2 6=8 67，
∴CF=AC−AF=6 67，
故答案为：47，6 67．
(1)根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
(2)根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明；
(3)根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形的相似是解题的关键．
23.【答案】(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
② 2 ；
(2)连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
CECG=cs45°= 22、CBCA=cs45°= 22，
∴CGCE=CACB= 2，
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=CACB= 2，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= 2BE；
(3) 3 5
解：(1)①见答案；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴CGCE= 2，GE//AB，
∴AGBE=CGCE= 2，
故答案为： 2；
(2)见答案；
(3)∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴AGAC=GHAH=AHCH，
设BC=CD=AD=a，则AC= 2a，
则由AGAC=GHAH得6 2a=2 2AH，
∴AH=23a，
则DH=AD−AH=13a，CH= CD2+DH2= 103a，
∴AGAC=AHCH得6 2a=23a 103a，
解得：a=3 5，即BC=3 5，
故答案为：3 5．
(1)①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得CGCE= 2、GE//AB，利用平行线分线段成比例定理可得；
(2)连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；
(3)证△AHG∽△CHA得AGAC=GHAH=AHCH，设BC=CD=AD=a，知AC= 2a，由AGAC=GHAH得AH=23a、DH=13a、CH= 103a，由AGAC=AHCH可得a的值．
本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．进价(元)
售价(元)
每件利润(元)
销量(个)
总利润(元)
降价前
50
80
30
160
30×160
降价后
50
______
______
______
______
进价(元)
售价(元)
每件利润(元)
销量(个)
总利润(元)
降价前
50
80
30
160
30×160
降价后
50
80−x
30−x
160+10x
(80−50−x)(160+20×x2)
1.一元二次方程x2−4x=0的根是( )
A. x1=2，x2=−2B. x1=0，x2=2
C. x1=0，x2=4D. x1=0，x2=−4
2.如图是某体育馆内的颁奖台，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.小刘和小李参加九江市创建文明城市志愿服务活动，随机在“维护社区环境卫生”和“维护交通秩序”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择“维护社区环境卫生”的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 34
4.如图，点O是四边形ABCD内一点，A′、B′、C′、D′分别是OA、OB、OC、OD上的点，且OA′：A′A=OB′：B′B=OC′：CC=OD′：D′D=2：1，若四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为( )
A. 18cm2
B. 27cm2
C. 36cm2
D. 54cm2
5.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点(BM>CM)，点P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是( )
A. 72B. 2 73C. 3 55D. 264
6.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3 2，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是
( )
A. 3 105B. 2 2C. 3 54D. 3 22
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD至E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，若添加一个条件后，使四边形DBCE成为矩形，则添加的条件是______．
8.如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是______m.
9.已知一位美女身高154cm，穿上高跟鞋后，肚脐至足底的长度约100cm，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是______ .(精确到1cm)
10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，顶点A，C的坐标分别为A(0,3)，C(3,0)，AC=2BC，函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为______ ．
11.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE=12CD，连接OE交BC于点F，若BC=4，则CF=______．
12.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
13.如图，一次函数y=kx−2(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，且OC=OD，AO= 10．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求反比例函数的表达式和点A，B的坐标；
(3)若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．
四、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
(1)解方程：x2+3x−1=0；
(2)计算：(2020− 7)0+| 3−2|+2sin60°．
15.(本小题6分)
已知2− 3是方程x2−4x+c=0的一个根，求方程另一个根及c的值．
16.(本小题6分)
如图，是由两个等边三角形和一个正方形拼在−起的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
(1)在图①中画一个60°的角，使点C或点E是这个角的顶点，且以CE为这个角的一边；
(2)在图②画一条直线AP，使得AP//CE．
17.(本小题6分)
不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(除颜色外其余都相同)，其中红球2个(分别标有1号、2号)，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14．
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．
18.(本小题6分)
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求出这个函数的表达式；
(2)当气球内气压大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？
19.(本小题8分)
阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个．若设每个电子产品降价x元，
(1)根据题意，填表：
(2)若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？
20.(本小题8分)
如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，D为平面上一动点，在运动过程上保持AD⊥BD于点D，将△BCD沿BD翻折得到△BED，在直线AD上取点F，作CF//DE．
(1)如图1，若AD与BC相交于点G，求证DGCG=BGAG；
(2)猜想△CDF的形状，并说明理由．
21.(本小题8分)
为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线−“共享单车”.图(1)所示的是一辆共享单车的实物图，图(2)是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档AC长为40cm，座杆CE的长为18cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB=60°，∠ACB=75°．
(1)求车座点E到车架档AB的距离；
(2)求车架档AB的长．
22.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB⋅AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．
(1)求证：△ADC∽△ACB．
(2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
(3)若AD=4，AB=6，则AFAC= ______ ，CF= ______ ．
23.(本小题12分)
如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
(1)证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：AGBE的值为______：
(2)探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H.若AG=6，GH=2 2，则BC=______．
答案和解析
1.【答案】C
解：∵x2−4x=0，
∴x(x−4)=0，
则x=0或x−4=0，
解得x1=0，x2=4，
故选：C．
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2.【答案】D
解：从左边看，是一个矩形，矩形内部从上往下分别有一条实线和虚线．
故选：D．
找到从左面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】C
解：把“维护社区环境卫生”和“维护交通秩序”分别记为A、B，
画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中小刘和小李两人都选择“维护社区环境卫生”的结果有1种，
∴两人都选择“维护社区环境卫生”的概率是14，
故选：C．
画树状图，共有4种等可能的结果，其中小刘和小李两人都选择“维护社区环境卫生”的结果有1种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，利用树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
4.【答案】B
解：∵OA′：A′A=OB′：B′B=OC′：C′C=OD′：D′D=2：1，
∴OA′：OA=OB′：OB=OC′：COC=OD′：DO=2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为：4：9，
∵四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，
∴四边形ABCD的面积为：27cm2．
故选：B．
利用位似图形的定义得出四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，进而得出面积比，即可得出四边形ABCD的面积．
本题主要考查了位似变换，根据题意得出两四边形的相似比是解题关键．
5.【答案】A
解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM，
∴当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，
∵CM=13BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC是等边三角形，∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=3 3，
在Rt△DMH中，DM= DH2+HM2= (3 3)2+12=2 7，
∵CM//AD，
∴P′MDP′=CMAD=26=13，
∴P′M=14DM= 72．
故选：A．
如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H.当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．
本题考查轴对称−最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的对应边成比例计算即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3 2，
∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，
∵AF⊥BE，
∴∠EBO=∠GAO，
在△GAO和△EBO中，
∠GAO=∠EBOAO=BO∠AOG=∠BOE,
∴△GAO≌△EBO，
∴OG=OE=1，
∴BG=2，
在Rt△BOE中，BE= 10，
∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，
∴△BFG∽△BOE，
∴BFOB=BGBE，即BF3=2 10，
解得，BF=3 105．
故选A．
7.【答案】AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE//BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
添加AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴▱DBCE为矩形；
添加∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴▱DBCE为矩形；
添加CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴▱DBCE为矩形．
故答案为：AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE．
先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．
8.【答案】12
解：由题意得
∴1.6：1.2=旗杆的高度：9．
∴旗杆的高度为12m．
在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理在实际中的应用．
9.【答案】8cm
解：设她穿的高跟鞋的高度是x cm，
则154+x−100100≈0.618，
解得x≈8，
∴她穿的高跟鞋约是8cm．
故答案为：8cm．
根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
本题主要考查了近似数和有效数字的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
10.【答案】274
解：过B点作BD⊥x轴于D，如图，
∵A，C的坐标分别是(0,3)，(3,0)．
∴OA=OC=3，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴AC= 2OC=3 2，∠ACO=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴CD=BD= 22BC，
∵AC=2BC，
∴BC=3 22，
∴CD=BD= 22×3 22=32，
∴OD=3+32=92，
∴B(92,32)，
∵函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，
∴k=92×32=274．
故答案为274．
根据A、C的坐标分别是(0,3)、(3、0)可知OA=OC=3，进而可求出AC，由AC=2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.也考查了反比例函数的性质．
11.【答案】1
解：取CD中点G，连接OG，
∵O为BD中点，
即OG为△BDC的中位线，
∴OG//BC，且OG=12BC=2，
又∵CE=12CD，CF//OG，
∴△ECF∽△EGO，
∴CFOG=CEEG=12，
又OG=2，
∴CF=1，
故答案为：1．
取CD中点G，连接OG，可得OG为△BDC的中位线，可得OG=2，再证明△ECF∽△EGO，推出CFOG=CEEG=12，即可得答案．
本题主要考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握这些性质并灵活运用是解此题的关键．
12.【答案】8.4或2或12
解：设DP=x，则BP=BD−x=14−x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，
即64=14−xx；
解得x=285，
BP=14−285=8.4；
当ABDP=BPDC时，△ABP∽△PDC，
即6x=14−x4，
整理得x2−14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14−2=12或BP=14−12=2．
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与△ABP相似．
故答案为：8.4或2或12．
设DP=x，则BP=BD−x=14−x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，即64=14−xx；当ABDP=BPDC时，△ABP∽△PDC，即6x=14−x4；然后分别解方程求出x即可．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
13.【答案】解：(1)令y=0，x=2k，x=0，y=−2，
∵OC=OD=2，
∴2=−2k，
∴k=−1，
∴一次函数的表达式：y=−x−2；
(2)过A作AH⊥x轴，
设HC=a，HO=a+2，
∵A在y=−x−2；
∴y=a，
在Rt△AHO中，根据勾股定理得AH2+HC2=AO2，
a2+(−a−2)2=10，
解得a1=−3(舍去)，a2=1，
∵点A在第二象限，
∴A(−3,1)，
∴m=−3，
∴反比例函数的表达式：y=−3x；
∵y=−3xy=−x−2，
∴x1=1，x2=−3，
∵点B在第四象限，
∴B(1,3)；
(3)令x=0，y=−2，
∴D(0,−2)，
∵点F是点D关于x轴的对称点，
∴F(0,2)，
∴DF=4，
∴S△ABF=S△ADF+S△BDF
=12×4×4
=8．
∴△ABF的面积是8．
【解析】(1)先求出y=kx−2与坐标轴的交点，再根据OC=OD，求出k，进而得到一次函数的表达式；
(2)过A作AH⊥x轴，设HC=a，HO=a+2，用勾股定理求得a的值，求出点A的坐标，把函数列成方程组求出B点横坐标，代入反比例函数求出纵坐标；
(3)根据S△ABF=S△ADF+S△BDF，求出△ABF的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
14.【答案】解：(1)∵x2+3x−1=0，
∴b2−4ac=32−4×1×(−1)=13，
∴x=−3± 132，x1=−3+ 132，x2=−3− 132；
(2)(2020− 7)0+| 3−2|+2sin60°=1−( 3−2)+2× 32=1− 3+2+ 3=3．
【解析】(1)用公式法求解即可；
(2)先化简零指数幂，绝对值和特殊角的三角函数值，再按实数的运算顺序计算．
本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，熟练掌握一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
15.【答案】解：设方程的另一根为x1 ，
由题意得：
x1+2− 3=4，x1(2− 3)=c，
解得，x1=2+ 3，c=1，
故方程的另一根为2+ 3，c的值为1．
【解析】设方程的另一根为x1，由根与系数的关系可得出x1+2− 3=4，x1(2− 3)=c，解之即可得出方程的另一个根以及c的值．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1，∠FCE或∠FEC即为所求；
(2)直线AP即为所求．
【解析】(1)在图①中画一个60°的角，使点C或点E是这个角的顶点，且以CE为这个角的一边即可；
(2)在图②画一条直线AP，使得AP//CE即可．
本题考查了作图−复杂作图、等边三角形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是准确画图．
17.【答案】解：(1)设袋中黄球的个数为x个，
∵从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14，
∴1x+2+1=14，解得：x=1，
∴袋中黄球的个数为1个；
(2)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有10种情况，
∴两次摸到不同颜色球的概率为：P=1012=56．
【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)首先设袋中黄球的个数为x个，由从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14，利用概率公式即可得方程：1x+2+1=14，解此方程即可求得答案；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
18.【答案】解：(1)设气压P与气球体积V之间的函数解析式为P=kV，
将A(0.8,120)代入P=kV得：
120=k0.8，
解得：k=96，
∴P=96V；
(2)当P>150KPa时，气球将爆炸，
∴P≤150，即P=96V≤150，
解得：V≥96150=0.64(m3).
故为了安全起见，气体的体积应不小于0.64(m3).
【解析】(1)先设出反比例函数解析式，再把A点坐标代入解析式，用待定系数求解析式即可；
(2)依题意P≤150，即P=96V≤150，解不等式即可．
本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
19.【答案】(1)80−x， 30−x ，160+10x， (80−50−x)，(160+20×x2) ;
(2)根据题意得，(80−50−x)(160+20×x2)=5200，
解得x1=10，x2=4(不合题意舍去)，
答：每个电子产品应降价10元．
解：(1)
故答案为：80−x，30−x，160+10x，(80−50−x)(160+20×x2)；
(2)见答案．
(1)根据题意列出代数式即可；
(2)根据销量×每个的利润=盈利列方程即可得到结论．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确利用销量×每个的利润=盈利得出方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
又∵∠BGD=∠AGC，
∴△BDG∽△ACG，
∴DGCG=BGAG；
(2)△CDF为等腰直角三角形，
理由：由(1)得DGCG=BGAG．
又∵∠CGD=∠AGB，
∴△CDG∽△ABG，
∴∠ADC=∠ABC=45°，即∠BDC=135°，
由翻折得∠BDE=∠BDC=135°．
∴∠CDE=90°，
∵CF//DE，
∴∠DCF=∠CDE=90°，
∴∠CFD=45°，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
∴CF=CD，
∴△CDF为等腰直角三角形．
【解析】(1)证明△BDG∽△ACG即可得到结论；
(2)先证明△CDG∽△ABG，可得∠ADC=∠ABC=45°，即∠BDC=135°，由翻折得∠BDE=∠BDC=135°，进一步得到∠CDE=90°，由CF//DE，可得∠DCF=∠CDE=90°，即∠CFD=45°，进而可得△CDF为等腰直角三角形．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，图形的翻折等，利用相似的条件，证明三角形的相似是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)作EF⊥AB于点F，
∵车架档AC长为40cm，座杆CE的长为18cm，∠CAB=60°，
∴AE=58cm，
∴EF=AE⋅sin60°=58× 32=29 3cm，
即车座点E到车架档AB的距离是29 3cm；
(2)作CG⊥AB于点G，
∵AC=40cm，∠CAB=60°，∠ACB=75°，
∴∠B=45°，CG=AC⋅sin60°=40× 32=20 3cm，AG=20cm，
∵∠B=45°，∠CGB=90°，
∴CG=GB=20 3cm，
∴AB=AG+GB=(20+20 3)cm，
即车架档AB的长是(20+20 3)cm．
【解析】(1)作EF⊥AB于点F，然后锐角三角函数即可得到EF的长，从而可以得到车座点E到车架档AB的距离；
(2)作CG⊥AB，然后根据锐角三角函数，可以得到CG和AG的长，然后根据等腰三角形的性质，可以得到GB的长，从而可以得到AB的长．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
22.【答案】47 6 67
【解析】(1)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AC2=AB⋅AD，
∴ACAB=ADAC，
∴△ADC∽△ACB；
(2)CE//AD，
理由如下：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE=AE=12AB，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE//AD；
(3)由(2)得，CE=12AB=3，
∵CE//AD，
∴CFAF=CEAD=34，
∴AFAC=47，
∵AC2=AB⋅AD，AD=4，AB=6，
∴AC=2 6，
∴AF=47×2 6=8 67，
∴CF=AC−AF=6 67，
故答案为：47，6 67．
(1)根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
(2)根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明；
(3)根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形的相似是解题的关键．
23.【答案】(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
② 2 ；
(2)连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
CECG=cs45°= 22、CBCA=cs45°= 22，
∴CGCE=CACB= 2，
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=CACB= 2，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= 2BE；
(3) 3 5
解：(1)①见答案；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴CGCE= 2，GE//AB，
∴AGBE=CGCE= 2，
故答案为： 2；
(2)见答案；
(3)∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴AGAC=GHAH=AHCH，
设BC=CD=AD=a，则AC= 2a，
则由AGAC=GHAH得6 2a=2 2AH，
∴AH=23a，
则DH=AD−AH=13a，CH= CD2+DH2= 103a，
∴AGAC=AHCH得6 2a=23a 103a，
解得：a=3 5，即BC=3 5，
故答案为：3 5．
(1)①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得CGCE= 2、GE//AB，利用平行线分线段成比例定理可得；
(2)连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；
(3)证△AHG∽△CHA得AGAC=GHAH=AHCH，设BC=CD=AD=a，知AC= 2a，由AGAC=GHAH得AH=23a、DH=13a、CH= 103a，由AGAC=AHCH可得a的值．
本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．进价(元)
售价(元)
每件利润(元)
销量(个)
总利润(元)
降价前
50
80
30
160
30×160
降价后
50
______
______
______
______
进价(元)
售价(元)
每件利润(元)
销量(个)
总利润(元)
降价前
50
80
30
160
30×160
降价后
50
80−x
30−x
160+10x
(80−50−x)(160+20×x2)
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