2023-2024学年天津市第五十五中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市第五十五中学高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若某直线过(3,2),(4,2+)两点,则此直线的倾斜角为( ).
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】通过斜率公式得到，进而得到倾斜角.
【详解】直线过(3,2),(4,2+)两点,则直线的斜率为
倾斜角为：60°.
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了直线倾斜角和斜率间的关系，较为简单.
2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解.
【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；
故选：B.
3．已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.
【详解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为
因为切线过点P(2，2)，所以
因为与圆相切，所以
故选：C
4．已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】首先由条件求得，再求，最后根据双曲线的渐近线方程，直接求解.
【详解】由条件可知双曲线的焦点在轴，并且直线中，当时，，所以，那么，解得：，且，
所以双曲线的渐近线方程是.
故选：A
5．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，且点在C上，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出双曲线方程，半焦距c，根据给定条件建立方程求解作答.
【详解】依题意，设双曲线C的标准方程为，半焦距c，
则离心率，有，
而点在C上，即，即，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
故选：B
6．如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.
【详解】结合图形，易得
又因为点M，N分别为，的中点，
故，，，
所以.
故选：A.
7．圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（ ）
A．B．C．3D．3或
【答案】D
【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线与,轴交点的坐标，进而可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，圆与圆，
即，两式相减可得：，
即两圆的公共弦所在的直线的方程为，
该直线与轴的交点为，与轴的交点为，
若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有，
变形可得：，
解可得：或；
故选：D
8．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及点到直线的距离公式，结合双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点.
当时，可得点到渐近线的距离为，
即，整理可得，即
所以的离心率为
故选：A.
9．如图，圆O与离心率为的椭圆T：(a>b>0)相切于点M(0，1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则的最大值是（ ）
A．4B．5
C．D．
【答案】C
【分析】依据题意可得椭圆方程，假设点P(x0，y0)并得到＋＝|PM|2，然后根据椭圆方程以及－1≤y0≤1，计算即可.
【详解】由题可知：
所以椭圆C的方程为＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1，
设P(x0，y0)，因为l1⊥l2，则＋＝|PM|2＝＋(y0－1)2，
因为＋＝1，所以＋=4－4＋(y0－1)2＝－3＋，
因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，＋取得最大值，
此时点P．
故选：C．
二、双空题
10．双曲线的虚轴长为 ，焦点坐标为
【答案】
【分析】根据双曲线的定义求解.
【详解】由题可得，，
所以虚轴长为，
焦点坐标为.
故答案为: ;.
三、填空题
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线的定义求解.
【详解】因为双曲线的实轴长，解得，
所以双曲线方程为，则，
根据双曲线的定义可知，，
所以，
解得，，
所以的周长为,
故答案为: .
12．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则
【答案】
【分析】利用椭圆的点差法求斜率即可求解.
【详解】设，
则，作差得，，
所以，
因为的中点坐标为，所以，
所以，
故答案为: .
13．已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．
【详解】若，，且，
则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，，
∴，，∴双曲线方程为，
其渐近线方程为，
则曲线上存在点满足，
等价于与双曲线相交，∴．
故答案为：．
四、双空题
14．椭圆上的点到焦点的距离最大值为 ，一个圆经过该椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为
【答案】
【分析】设椭圆上一点，表达出到焦点的距离，结合求出最大值；设出圆心，利用半径相等列出方程，求出圆心和半径，得到答案.
【详解】由题意得，故的焦点为，
设椭圆上一点，，则，
则到焦点的距离为
，
因为，所以当时，取得最大值，
最大值为；
一个圆经过该椭圆的三个顶点，如图，，
设圆心，则，即，
解得，
故该圆的圆心为，半径为，
则该圆的标准方程为.
故答案为：，
五、填空题
15．已知，是椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则 ．
【答案】0
【分析】依题意可得，即点，，三点共线，设，，即可得到与，从而得解.
【详解】解：依题意、为椭圆和双曲线的公共顶点，
、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，
由，，
即，
可得，则点，，三点共线．
设，，
则，
同理可得，
，，，
，
．
故答案为：．
六、解答题
16．已知椭圆：过点，且短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的性质求解；
（2）利用直线与椭圆的位置关系，结合韦达定理，求弦长.
【详解】（1）由题可知，，
所以椭圆方程为.
（2）右焦点为，所以倾斜角为的直线的方程为，
设，
联立，可得，，
所以，
所以.
17．已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(3)设点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)或
(3)．
【分析】(1)先设出圆心，再根据圆的圆心在直线上且与轴切于点建立方程即可求解.
(2)先讨论斜率存在，设出直线方程，根据弦长公式建立方程，求出斜率;再讨论斜率不存在时，求出直线方程，验证是否存在即可.
(3)先设点的坐标为，根据相关点法即可求出的轨迹方程.
【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，
设圆心坐标为，则，
解得，，
圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）点，直线过点，
设直线的斜率为存在）则方程为，
又圆的圆心为，半径，弦长为，
故弦心距，
故，解得，
所以直线方程为，
即，
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，
故的方程为或.
（3）设点的坐标为，点的坐标为，．
由于，且为的中点，
，
于是有①，
在圆上运动，
，
将①代入上式得，
即点的轨迹方程为．
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（），已知，
(1)求；
(2)求a，c的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出；
（2）由三角形面积公式得出，再由余弦定理得出，进而得出a，c的值；
（3）计算，再由差角公式求解即可.
【详解】（1），，
又，.
（2），又，
，①
，即②
又，由①②可得，
（3），
，
.
19．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(2)求点到平面的距离.
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在点，且
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求二面夹角的余弦值；
（2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离；
（3）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解,
【详解】（1）取中点为，连接，
因为，且，，，所以,
又因为平面，平面，
所以,
所以以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则
设平面的一个法向量为，
,
所以令则，所以，
设平面的一个法向量为，
,
所以令则，所以，
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
（2）,
所以点到平面的距离为.
（3）假设存在点，设,
因为,
所以，,
由（1）知，平面的一个法向量为，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，，解得，（舍），
所以存在点，.
20．如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，焦点，其中，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．
(1)求椭圆的离心率；
(2)证明：；
(3)设三角形的面积为，四边形的面积为，若的最小值为1，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，由条件可得，再由离心率的公式，即可得到结果；
（2）根据条件可得，联立直线与椭圆的方程即可求出点的坐标，从而可得直线的斜率，再根据直线的斜率，即可证明；
（3）根据题意，表示出，再由的最小值为1，即可求出的值，从而求出椭圆的标准方程.
【详解】（1）因为，则，所以，则.
（2）因为，则，∴椭圆的方程为，
由，整理得：，
由 可得，则点的坐标是，故直线的斜率为，
∵直线的斜率为
∴，∴.
（3）由（2）知， ，
∴.
∴当时，，∴ ，
∴椭圆方程为.