微专题20　圆锥曲线的基本问题

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【真题体验】
1.(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝eq \r(3)e1，则a＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D.eq \r(6)
2.(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A.1 B.2
C.4 D.5
3.(2023·全国乙卷)已知点A(1，eq \r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________.
4.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为eq \f(1,2).过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________.
【热点突破】
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
例1 (1)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋eq \r(2)，则该椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
(2)(2023·金华模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3，2)，点P为该抛物线上一动点，则△PAF周长的最小值是( )
A.3＋2eq \r(2) B.3
C.4＋2eq \r(2) D.2＋2eq \r(2)＋2eq \r(3)
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
训练1 (1)(2023·天津卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1
(2)(2023·日照模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点
A(－2，2)为椭圆C内一点，点Q(a，b)在双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1上，若椭圆上存在一点P，使得|PA|＋|PF2|＝8，则a的取值范围是( )
A.(eq \r(5)＋1，5] B.[3，5]
C.(eq \r(5)＋1，2eq \r(5)] D.[eq \r(3)，eq \r(5)]
热点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
(1)直接利用公式：椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))(01).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
考向1 离心率问题
例2 (1)已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B.若|AB|＝|AF|，则C的离心率e＝( )
A.eq \f(4\r(15),15) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \f(\r(5),2) D.2
(2)(2023·邵阳二模)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得eq \f(a,sin ∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.[eq \r(2)－1，1) B.(eq \r(2)－1，1)
C.(0，eq \r(2)－1) D.(0，eq \r(2)－1]
考向2 椭圆、双曲线的几何性质
例3 (1)(2023·威海模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，M为C上一点，M关于原点的对称点为N.若∠MF1N＝60°，且|F1N|＝2|F1M|，则C的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \f(\r(3),3)x B.y＝±eq \r(3)x
C.y＝±eq \f(\r(6),6)x D.y＝±eq \r(6)x
(2)椭圆C：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,b2)＝1(b2<18且b>0)的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D在椭圆内，平面四边形ABCD满足∠BAD＝∠BCD＝90°，且S△ABC＝2S△ADC，则该椭圆的短轴长为________.
规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求eq \f(c,a)的值或范围.
2.求双曲线渐近线方程的关键在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
训练2 (1)(多选)(2023·武汉质检)已知曲线C1：5x2＋y2＝5，C2：x2－4y2＝4，则( )
A.C1的长轴长为eq \r(5)
B.C2的渐近线方程为x±2y＝0
C.C1与C2的离心率互为倒数
D.C1与C2的焦点相同
(2)(2023·淄博模拟)直线x－2y＋2＝0经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若eq \(FM,\s\up6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(17)＋\r(5),8) B.eq \f(\r(17)－\r(5),4)
C.eq \f(\r(17)－\r(5),2) D.eq \f(\r(17)＋\r(5),9)
热点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α).
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p).
(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－eq \f(p,2)相切.
例4 (1)(2023·沈阳调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(x0，2eq \r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0>\f(p,2)))是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝eq \f(p,2)交于E，G两点.若sin∠MFG＝eq \f(1,3)，则抛物线C的方程是( )
A.y2＝x B.y2＝2x
C.y2＝4x D.y2＝8x
(2)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为抛物线上的点，且MF与x轴不垂直，M在直线x＝－2上的射影为N.若△MNF的垂心在抛物线C上，则|MF|＝( )
A.9 B.10
C.11 D.12
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来得到已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
训练3 (1)(2023·常德模拟)已知抛物线的方程为x2＝4y，过其焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，且|MF|＝5，O为坐标原点，则△MOF的面积与△NOF的面积之比为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4)
C.5 D.4
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0，2)，与抛物线C的准线交于点N，eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5),5)eq \(MN,\s\up6(→))，则p的值等于( )
A.eq \f(1,8) B.2
C.eq \f(1,4) D.4