2023-2024学年广东省肇庆市肇庆鼎湖中学高二上学期期中质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省肇庆市肇庆鼎湖中学高二上学期期中质量检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】关于轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．
【详解】关于轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数．
所以点关于轴对称的点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．
2．直线在轴上的截距为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取计算得到答案.
【详解】直线在轴上的截距：
取
故答案选A
【点睛】本题考查了直线的截距，属于简单题.
3．已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（ ）
A．6B．9C．10D．18
【答案】A
【分析】由椭圆的定义可知，椭圆上任何一点到其两焦点的距离之和为定值，且定值为长轴的长度，由此即可得解.
【详解】由题意可知椭圆：中的长半轴长，设其两焦点分别为，
又因为点是椭圆：上的一点，
所以点到两焦点的距离之和是.
故选：A.
4．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（ ）
A．2B．2或18C．4D．18
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义即可求解.
【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足.
故选：B
5．若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式，求解即可．
【详解】解：点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，
可得3，解得a＝2，
故选：A．
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故选：C.
7．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用两点关于直线对称可求得圆心的坐标，进而可得出圆的方程.
【详解】记点，设圆心的坐标为，则，可得，
线段的中点在直线上，则，即，
所以，，解得，即圆心，
因此，圆的方程为.
故选：A.
8．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长均为2，活动弹子在线段上移动（包含端点），弹子分别固定在线段的中点处，且平面，则当取最大值时，多面体的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据题意确定点的位置，再计算可求多面体的体积即可.
【详解】因为平面，平面，所以，
所以为直角三角形，所以当最短时，取最大值，
即时，取最大值，
因为分别固定在线段的中点处，
所以，所以，
因为为锐角，所以，所以，
所以多面体的体积为，
故选：A
二、多选题
9．已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意可得到、的值，计算可得的值，分析焦点的位置，可得椭圆的标准方程.
【详解】由题意有，则，
离心率，，
，.
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为.
故选：AB．
10．已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为1B．虚轴长为2
C．离心率D．渐近线方程为
【答案】BCD
【分析】根据双曲线的性质求解.
【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为，
离心率，渐近线方程为，即.
故选：BCD
11．已知圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．两圆的圆心距
B．直线AB的方程为
C．圆上存在两点P和Q使得
D．圆上的点到直线AB的最大距离为
【答案】BD
【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；将两圆方程作差即得公共弦AB的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.
【详解】对于A，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，A不正确；
对于B，将两圆方程作差可得，
即得公共弦AB的方程为，故B正确；
对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，
对于圆上的任意两点、，，C不正确；
对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D正确.
故选：BD.
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；
在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；
在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.
【详解】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知直线，，则，之间的距离为 .
【答案】
【分析】由两平行线距离公式进行计算.
【详解】由两平行线距离公式得：.
故答案为：
14．已知方程表示圆，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据解不等式即可．
【详解】由题意得，，解得，
故答案为：．
15．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.
【详解】
所以，所以.
【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.
16．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有一千多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则 .

【答案】/
【分析】根据正弦定理，结合椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，
由正弦定理得：
，
所以，
故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理、两角和的正弦公式.
四、解答题
17．已知的三个顶点的坐标分别为．求：
(1)过点且与直线平行的直线方程一般式；
(2)边的中垂线的一般式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两直线平行的斜率关系及点斜式计算直线方程，再化为一般式即可；
（2）利用两直线垂直的斜率关系及中点坐标公式、点斜式计算直线方程，再化为一般式即可.
【详解】（1）由知，边所在直线的的斜率为，
又因为直线过，
则为，化为一般式为；
（2）设线段的中点为，则点，即，
由上可知，所以其中垂线斜率为，
则可得中垂线的方程为．
整理得边的中垂线的一般式方程是．
18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可；
（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，
所以设椭圆的标准方程为：，
因为椭圆的离心率为且过点，
所以，所以椭圆的标准方程为：；
（2）由（1）可知：，
所以直线的方程为：，代入椭圆方程中，得
，设，
所以，
因此.
19．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点到点与点的距离之比为2，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作曲线的切线，求切线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）设动点的坐标为，由题意得，化简得，即为动点的轨迹方程；
（2）分类讨论过点的直线斜率不存在与存在两种情况，再利用圆心到直线的距离等于半径求解，即可得到答案.
【详解】（1）设动点的坐标为，则，，
由题意得，化简得，
因此，动点的轨迹方程为；
（2）当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离等于2，此时直线与曲线相切；
当过点的直线斜率存在时，不妨设斜率为，
则切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得.
所以，切线方程为.
综上所述，切线方程为或.
【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，及直线与圆相切求切线，求圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题.
20．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦、面面夹角的余弦得解.
【详解】（1）在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，令直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
（2）由（1）知，平面的法向量，而平面的法向量，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.我们可以把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成（如图2）.已知圆锥高为3，圆柱高为5，底面直径为8.
(1)求圆锥的母线长；
(2)设为半圆弧的中点，求到平面的距离.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）根据母线长与圆锥的高和底面半径形成直角三角形求解即可；
（2）先根据线面垂直的判定与性质可得的高为，再利用等体积法，根据求解即可.
【详解】（1）由题意，圆锥的母线长.
（2）连接，因为为半圆弧的中点，故，.又圆柱中平面，平面，故.
又，，平面，故平面.
故的高为，且.
设到平面的距离为，则，
即，故.
故到平面的距离为
22．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②不存在，理由见解析
【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可；
（2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出，与矛盾，从而得出结论．
【详解】（1）由题意知，焦距，故，又，故，
所以，故椭圆C的方程为．
（2）①由消去y，化简得：，
设，，则，
，，
故，
因为，所以，
所以，
坐标原点到直线l的距离为，
所以的面积为，
故的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，
设，则，
又因为，即，得，
与矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．