2023-2024学年江苏省南通市如东县高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如东县高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用交集的定义计算即可.
【详解】由已知可得.
故选：C
2．已知，则“”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件与必要条件的定义判定即可.
【详解】显然由“”不能推出“”，即充分性不成立，
由“”可推出“”成立，满足必要性，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
4．函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由解析式代入计算函数值即可.
【详解】设，得，则.
故选：A.
5．上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根据函数是偶函数结合单调性得出,单调递减,再结合自变量关系即可判断.
【详解】因为上的偶函数, 且对任意，当时都有，所以对任意，当时都有，
,.
故选:D.
6．一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据时可得b，然后可解.
【详解】由题知，当时，，即，解得，
令，解得.
故选：B
7．设，若，则的最小值为（ ）
A．32B．16C．8D．4
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】根据题意易知
，
当且仅当，即时取得最小值.
故选：B
8．已知函数，若，且，设，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合思想，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】设，函数如下图所示：
显然有，
所以直线与函数相交两点记为，
显然，，即，
，对称轴为，
当时，有最小值，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题的关键是由转化为直线与函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据对数的运算性质，结合指数幂的运算性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以本选项说法不正确；
B：因为，所以，因此本选项说法正确；
C：由，所以本选项说法正确；
D：，所以本选项说法正确，
故选：BCD
10．若“，”为假命题，则m的值可能为（ ）
A．0B．C．1D．4
【答案】AC
【分析】将存在命题等价转化为全称命题，再分类讨论参数，结合二次函数性质及即可求解
【详解】因为若“，”为假命题，所以若“，”为真命题，当时显然成立；当时，满足，解得，
故当或1时都满足.
故选：AC
11．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在定义域R上为增函数
C．当时，D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的性质，结合函数的单调性逐一判断即可.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，当时，，
所以当时，，
所以选项C不正确；
因为，所以选项A正确；
二次函数的对称轴为，所以当时，单调递增，
又因为是定义在R上的奇函数，所以，
而是奇函数，它的图象关于原点对称，所以在定义域R上为增函数，因此选项B正确；
因为是奇函数，，所以，
于是由，所以选项 D正确，
故选：ABD
12．对于函数，若，则称是的不动点；若，则称是的稳定点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的不动点为和B．为函数的稳定点
C．存在，有稳定点，无不动点D．存在，其稳定点均为不动点
【答案】ACD
【分析】选项A，由不动点的定义，设不动点，则，解方程即可；选项B，由不动点定义，验证是否成立；选项C，函数，由方程无解知函数无不动点，，均有，故有稳定点；选项D，函数的稳定点即不动点.
【详解】对于A选项，设函数的不动点为，
则，解得或，故A正确；
对于B选项，函数，因为，
所以不是函数的稳定点，故B错误；
对于C选项，对于函数，定义域为，
假设存在不动点，则，得无解，
故不存在不动点；
假设存在稳定点，则，，
所以对，均有，即任意非零实数都是其稳定点；
故无不动点，有稳定点，故C正确；
对于D选项，对于函数，假设存在不动点，稳定点，
则，．由题意，得．
即其稳定点均为不动点，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题
13．已知函数为幂函数，则实数 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义求解即可.
【详解】因为为幂函数，所以，即.
故答案为：
14．函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是 .
【答案】[2,+∞)
【分析】根据绝对值的含义，画出函数图像，根据图像特点求值．
【详解】由图象可知,f(x)的单调递增区间是[2,+∞).
【点睛】含绝对值的函数也称之为“漏斗函数”，是考生必须掌握的函数之一．
15．已知，，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，，
所以，当且仅当时取等号，即时，有最小值，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用等式把代数式变形为.
16．已知函数是定义域为区间，且图象关于点中心对称.当时，，则满足的x的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据一次函数和反比例函数单调性得到当，单调递增，再结合关于点中心对称，所以，且在上单调递增，然后将不等式整理为，然后再利用单调性和定义域列不等式组求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以当，单调递增，
因为关于点中心对称，所以，且在上单调递增，
不等式可整理为，
即，
则，解得，
所以满足的x的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题
17．（1）求值：；
（2）求值：
【答案】（1）100；（2）
【分析】（1）根据根式和指数幂运算化简即可.
（2）根据对数的运算性质求解即可
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．已知不等式的解集为.
(1)求的值；
(2)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式与一元二次方程间的关系，得到的两根为和，方法一，直接代入方程即可求解出结果，方法二，利用韦达定理，建立方程组，即可求出结果；
（2）由（1）知，不等式为，因式分解，再根据条件得，即可求出结果.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
解法一：所以，解得，
解法二：所以，是方程的两根，
则，解得，
（2）由（1）可知：不等式，
即，又，所以不等式，
方程的两根为，，
又，解得，所以不等式解集为.
19．已知函数.
(1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
(2)若存在，使成立，求实数的范围.
【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用单调性定义，令，作差法判断符号，即可得结果；
（2）问题化为成立，即可求参数范围.
【详解】（1）在区间上单调递增.
证明如下：设，则
因为，所以，，，即
所以，故在区间上单调递增.
（2）由（1）可知在上单调递增，
所以，当时，取得最小值，即
又存在，使成立，
所以只需成立，即，解得.
故实数的范围为.
20．第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本）
(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.
【答案】(1)320
(2)售价为145元，利润最大，最大值为80元
【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案；
（2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案.
【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，
销售量为（万套），
供货单价为（元），
总利润为（万元）.
（2）设单套售价为元，此时销售量为万套，
供货价格为元，
同时，所以.
所以单套利润为
，
当且仅当，即时取等号.
所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元.
21．已知正实数，满足.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用已知消元，结合二次函数性质可解；
（2）展开后使用基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
由，为正实数，所以，解得，
则，
当时，有最大值，最大值为.
（2）因为，所以，
则
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
22．已知函数为偶函数，且时，.
(1)求时，的解析式；
(2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或.
【分析】（1）由函数的奇偶性求出函数在上的解析式；
（2）换元法求出时函数的最值，结合函数的奇偶性得到在上的值域为，结合题目条件得到的值域是的值域的子集，分和，两种情况，结合的单调性得到相应的值域，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）时，，
所以，
因为为偶函数，所以，
则，；
（2）因为为偶函数，所以在和上的值域相同，
当时，，
令，则，，
所以函数化为，，
所以时，；时，，
即在上的值域为.
又对，，使得成立，
所以的值域是的值域的子集，
①当时，在上的值域为
则，解得
②当时，在上的值域为，
则，解得
综上所述，实数的取值范围为或.