2023-2024学年福建省莆田市第五中学高一上学期期中考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市第五中学高一上学期期中考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．集合A的真子集个数为8
【答案】C
【分析】根据集合的交并补的运算判断A，B，C；
根据集合A中元素个数计算出真子集个数判断D.
【详解】解：因为，，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有个，故D错误.
故选：C.
2．命题“，，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,
注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.
故选：B
3．已知函数定义域为为常数，则“”是“为在上最大值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件及函数最值的定义，即可判断.
【详解】由函数的最值的定义知，由，
无法推出为在上最大值，而为在上最大值，
则必有.
故选：B.
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【分析】利用乘“1”法及及基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为.
故选：A
5．已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据作差法即可比较大小.
【详解】解：由，所以．
由，得
所以，
因此
故选：C．
6．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令得，利用配方即可求出函数的值域.
【详解】令，则（）
所以
由
又
所以
即的值域为.
故选C
【点睛】本题主要考查了换元法求函数的值域，解决此类问题时，在换元的过程中注意自变量取值范围的变化.
7．已知函数的定义域为．则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为函数的定义域为，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
故选：D
8．函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.
【详解】二次函数图象的对称轴为：，在上的值域为，，，由图可知.
故选：A.
二、多选题
9．下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．，B．与
C．与D．与
【答案】BC
【分析】判断两函数的定义域与解析式是否一致即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，且函数化简为，
与函数定义域相同，但是函数解析式不一致，故A错误；
对于B：定义域为，与定义域相同且解析式一致，故是同一函数，即B正确；
对于C：与定义域相同且解析式一致，故是同一函数，即C正确；
对于D：函数定义域为，
而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，即D错误；
故选：BC
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质判断A、B，利用作差法判断C，利用特殊值判断D.
【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，又，所以，故B正确；
对于D：因为，，
所以，
所以，故C正确；
对于D：当，，，，满足，，但是，故D错误；
故选：ABC
11．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为B．
C．是偶函数D．是单调函数
【答案】BC
【分析】由分段函数的定义作出判断AB，由偶函数的定义可判断C，由，可知函数不是单调函数.
【详解】的值域为，A错误；
，，所以B正确；
定义域关于数0对称，当时，，则；
当时，，则，所以是偶函数，所以C正确；
，所以不是单调函数，所以D错误．
故选：BC．
12．已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由、结合条件等式可判断A、B，由结合条件等式可判断C、由结合条件等式可判断D.
【详解】对于A，B，由，，利用基本不等式，可得，解得，
又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故B正确，A错误：
对于C，由，，利用基本不等式，
变形得（当且仅当时，等号成立），解得，
即，故C正确；
对于D，由，，利用基本不等式化简
得（当且仅当时，等号成立），
解得，故D错误；
故选：BC
三、填空题
13．已知函数的对应关系如表，函数的图象如图所示的曲线，其中，，，则的值为 ．
【答案】1
【分析】由函数的对应关系求出的值，结合的图象可得的值．
【详解】解：根据题意，由的表格可得：，则，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据函数的图象和函数列表法表示，求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.
14．若幂函数在区间上单调递增，则 ．
【答案】256
【分析】根据幂函数的定义及性质求出，即可得出答案.
【详解】解：因为幂函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以，
则.
故答案为：256.
15．已知，且，则 .
【答案】-13
【分析】设，易证其为奇函数，由已知可得，进而可得，而，代入可得答案．
【详解】设，函数定义域为R，则有，
故函数为奇函数，
由可得，
故.
故答案为：-13．
16．偶函数的定义域为，且对于任意，，均有成立，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为对于任意，，均有成立，
所以在上单调递减，又为定义域为的偶函数，
所以在上单调递增，
不等式即，等价于，
即，即，
解得或，即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．（1）求函数的值域；
（2）已知，求的解折式．
【答案】；
【分析】（1）函数解析式分离常数，变形为，则图象可由平移得到，图象法可得值域；
（2）利用换元法求函数解析式.
【详解】（1）由知，
函数的图象可看作由函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，（如图）
则函数的值域为；
（2），
令，则，
故，
则函数的解折式为.
18．若不等式的解集是．
(1)求实数a，b的值．
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系求解；
(2)将分式不等式转换为一元二次不等式求解.
【详解】（1）因为不等式的解集是，
所以方程的两个根为，且，
所以由韦达定理可得解得.
（2）由(1)可得不等式为不等式，
则有也即，
解得，
所以不等式的解集为.
19．已知命题：，为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；
（2）根据题意可得，结合得到，解得即可．
【详解】（1）因为命题：，为假命题，
所以命题的否定为：，，为真命题，
且，解得．
∴．
（2）由解得，即，
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，
又，所以，解得，
所以实数的取值集合为．
20．已知函数在为奇函数，且
(1)求值；
(2)判断函数在的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式
【答案】(1)
(2)函数在为单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值；
（2）由（1）由此可得出函数的解析式，可判断是奇函数，判断出函数在上是减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）在为奇函数，，解得：，
又，解得：，
故，经检验满足题设.
（2）当时，，

当时函数在为奇函数，
由，判断函数在为单调递减，
证明：，
，
，
，，
，函数在为单调递减，
（3）则，
在为奇函数，，
又函数在为单调递减，
t的不等式的解集为
21．某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）.
(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.
【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解；
（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大
【详解】（1）解：由题意可得：时，，
当时，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
，
（2）解：由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为，
此时时，万元，
当时，，
当且仅当即时等号成立，（万元），
综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.
22．已知函数，．
(1)若函数在区间上的最小值为，求实数m的值；
(2)对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得值.
（2）对进行分类讨论，根据在区间上的“最大值”以及在区间上的最大值求得的取值范围.
【详解】（1）函数的开口向上，对称轴，
当时，在区间上的最小值为：
，符合.
当时，在区间上的最小值为：
，，不符合.
综上所述，的值为.
（2）依题意，对于任意实数，存在实数，不等式恒成立，
所以在区间上的“最大值”小于在区间上的最大值，
对于，任取，
，
由于，
所以，
所以在区间上递增，最大值为.
函数的开口向上，对称轴，
当时，，
则，所以.
当时，，
则，所以.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】含参数的二次函数最值问题，要对参数进行分类讨论，分类标准的制定是关键，分类标准要做到不重不漏，可以考虑二次函数的开口方程、对称轴等方面来制定分类讨论.
1
2
3
2
3
2