2023-2024学年江苏省无锡市天一中学高一上学期期中考试数学含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再根据交集定义求解即可.
详解】由，解得，所以，
又，
则.
故选：C.
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的定义域求出的定义域，结合，求出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为，
又因为，即，
所以函数的定义域为，
故选：A.
3. 函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的解析式确定图象.
【详解】由题可得，，解得，
所以函数的定义域为，
又因为，
所以函数为奇函数，排除选项A；
当时，，所以，排除选项B；
当时，，所以，排除选项C,D正确；
故选:D.
4. 已知函数，若，则（）
A. B. 0C. 或0D.
【答案】A
【解析】
【分析】对进行分类讨论，直接计算可求解.
【详解】时，，则，
进一步分类讨论，时，即时，，整理得，根据条件得；
时，即时，，得，不符题意；
时，，，
进一步分类讨论，时，即时，与不符；
时，即，所以时，有，得，与题意不符；
故选：A
5. 己知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次函数的性质求得命题中的的范围，再由p是q是成立的必要不充分条件，判断求解即可.
【详解】对于，即，
所以，解得或，
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以，
所以区间D可以为.
故选：B.
6. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得.
【详解】因为函数满足对任意的，（），都有，
所以在上单调递减，
又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，作函数的草图如图，
所以，当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当或或时，.
综上，不等式的解集为.
故选：C．
7. 已知，则的最小值为（）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时，即时，取等号.
故选：B
8. 已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数新定义可推得，恒成立，即，的值域M，满足，求出M，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得定义在上的函数具有性质，
即，满足，
即，恒成立；
记函数，的值域为M，，
则由题意得,
当，即时，在单调递减，
则，即,此时不满足，舍去；
当，即时，在时取得最大值，
即，即 ,
要满足，需，解得或，
而，故，即m的取值范围为，
故选：D
【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出，恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得，有选错的得0分，部分选对的得.
9. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】分别判断个选择项的奇偶性，排除A，再判断B、C、D的单调性，排除B．
【详解】A项，函数的图象不过原点，不关于原点对称，故不是奇函数，故A项错误；
B项，函数是奇函数，但是在和上是减函数，
定义域上不具有单调性，故B项错误；
C项，设，因为，是奇函数，
由幂函数知：是增函数，故是减函数，故C项正确；
D项，函数可化为，
其图象如图：
故既是奇函数又是减函数，故D项正确．
故选：CD．
10. 已知函数，则（）
A. 的值域是R
B. 存在，且，有
C. 若函数满足，函数与的图像相交于点，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】分离常数法求函数的值域，故选A；通过单调性分析当时，判断B；函数满足，得到和都关于中心对称，判断C；作差法判断D.
【详解】对于A，，定义域为，
值域为，故A错误；
对于B，，在和单调递减，
且当，，当，，
所以当时，，故B正确；
对于C，若函数满足，，则和都关于中心对称，
所以，所以，故C正确；
对于D，
,
因为，所以，，
所以，即，故D正确，
故选：BCD.
11. 已知实数x，y满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得，结合进行求解即可判断D.
【详解】对于A，由
当且仅当时等号成立，即，故A错误；
对于B，由，得，
即，
当且仅当时等号成立，即，故B正确；
对于C，由，得，
当且仅当时等号成立，即，故C正确；
对于D，由，得，
即，即，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（）
A. B. 0C. D. 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】由奇偶性联立方程得出，进而由得出，构造函数，讨论可能值即可.
【详解】由题意得：为奇函数，；为偶函数，；
将代入到得：，
与原式联立可得：，
又因为，等价于
整理得，令，则在为单调递减，
当时，，所以函数为减函数加减函数，则在为单调递减，则A正确；
当时，，则在为单调递减，则B正确；
当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，所以在为单调递减，C正确.
当时，为对勾函数，根据对勾函数的性质可知，，即，在为单调递增，D错误.
故选：ABC
【点睛】方法点睛：利用单调性解决函数中的参数问题，关键在于运用奇偶性解出对应的函数解析式，在把不等式转换为函数单调性对应的式子进行单调性分析.
三、填空题：本题共4小题，每小题，共20分．
13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，那么当时，_______.
【答案】
【解析】
【分析】设，则，代入解析式得；再由是定义在上的奇函数，即可求得答案.
【详解】设，则：，
所以：，
又因为：是定义在上的奇函数，
所以：，
所以：.
故答案为：.
14. 己知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】关于x的不等式的解集为，可得且，由二次不等式的解法，求不等式的解集.
【详解】不等式即，由不等式解集为，
则有且，且，
令，解得或，
由可知，不等式的解集为.
故答案为：
15. 已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论研究函数的单调性，由是函数减区间的子区间可得a的范围.
【详解】由题意得，，
当时，，不符合题意；
当时，，由，
当时，开口向下，对称轴为，
则在单调递增，在单调递减，
由在单调递减得，，
解得；
当时，开口向上，对称轴为，
则在单调递增，不存在单调递减区间；
当时，，由，
由，只需研究在区间的单调性，
当时，开口向下，对称轴为，
则在单调递增，在单调递减，
则在单调递减恒成立.
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可.
【详解】由，则函数单调递增，
且当时，；当时，.
由在时恒成立，
则当时，恒成立；
当时，恒成立.
故有时，，则有，
则有，当且仅当等号成立.
故答案为：.
四、解题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 己知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围，
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求集合，，然后根据集合的交补运算可得；
（2）根据集合的包含关系求参数即可.
【小问1详解】
，
当时，，
故或，
所以或
【小问2详解】
，
，
因为，所以，得，
故a的取值范围为
18. 已知，命题p：关于x的方程在有两个不相等的实数根；命题q：函数的定义域为R．
（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；
（2）若命题p与命题q恰有一个为真，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由关于x的方程在有两个不相等的实数根，列出不等式组求解即可.
（2）命题p与命题q恰有一个为真，分别有p真q假，p假q真，列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意知，
，
【小问2详解】
命题q为真，
对恒成立，
①当时成立
②当，即
．
当p真q假时
，
当p假q真时
，
综上，或.
19. 已知定义在上的函数满足：．
（1）求函数的解析式；
（2）已知，解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）换元法解出函数解析式即可；
（2）根据判别式讨论的范围即可.
【小问1详解】
因为定义在上的函数满足：①，将替代x入上式可得②，
联立①②可得
【小问2详解】
即
①，即，解集为R
②，即，解集为
③，即，解集为或
20. 设矩形ABCD（）的周长为，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，设，记的面积为函数．
（1）求的解析式，并写出其定义域；
（2）求的最大面积及相应x的值．
【答案】（1）
（2）最大面积为，
【解析】
【分析】（1）由题意可得，结合即可求得函数定义域，结合勾股定理得到，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意，，
则，所以定义域为，
设，由得，
在中，，解得，
所以，
即.
【小问2详解】
由，
等号当且仅当，即时取得等号，
所以的最大面积为，此时.
21. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并求的值域；
（2）设函数，求的最大值，并求的最小值．
【答案】（1）为偶函数，
（2），
【解析】
【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，然后对平方，借助的值域求的值域.
（2）由（1）知，得，令，转化为求函数在上最大值，分，和三种情况讨论，即可求出，然后求出的最小值．
【小问1详解】
由且，得．
则函数的定义域为，
，所以为偶函数.
，且，
得，
则函数的值域为.
【小问2详解】
令，所以
可转化为函数，
易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线．
①若，即，则；
②若，即，则；
③若，即，则．
综上可得，
当时，；
当时，，当且仅当，即，所以等号取不到；
当时，；
所以时，取到最小值，且最小值为.
22. 己知函数为定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围；
（3）若，，使得不等式成立，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可，由此可得出函数的解析式；
（2）由已知可得出，利用双勾函数的单调性求出在上的值域，可得出在有解，由此可求得实数的取值范围；
（3）由已知可得出，化简得出，令，可得出，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
解：为上的奇函数，所以，得，则，
又，所以，所以，
对任意的，，
所以，函数为奇函数，合乎题意，
综上所述，.
【小问2详解】
解：当时，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当或时，.
所以，所以．
不等式，即，
得在有解，所以且，即
【小问3详解】
解：因为，所以，
，恒成立，所以，
则，
而
设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立，
因为，则，
所以，，
因为在上单调递增，
所以，函数在上单调递减，可得，
所以，即的最小值为．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.