2022-2023学年北京市十一学校高一（直升班）上学期第2学段IID教与学诊断（期末）数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市十一学校高一（直升班）上学期第2学段IID教与学诊断（期末）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列函数，是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】根据函数相等的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；
对于选项B：、的定义域均为，
但，所以不是同一个函数，故B错误；
对于选项C：与的定义域均为，
且，所以是同一个函数，故C正确；
对于选项D：因为的定义域为，的定义域为，
定义域不相同，所以不是同一个函数，故D错误；
故选：C.
2．下列函数，是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据所给条件，利用奇函数的定义逐一分析各项即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以函数不具有奇偶性，错误；
对于B，函数的定义域是，
，，则，
故函数不具有奇偶性，错误；
对于C，令得，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数，正确；
对于D，函数的定义域为R，但，故函数不具有奇偶性，错误.
故选：C
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】指数式改为对数式，有换底公式及对数运算法则变形．
【详解】，则，，即，
，
故选：A．
4．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质结合复合函数单调性分析求解.
【详解】由题意可知：在上恒成立且在区间上单调递减，
则，解得，
所以的取值范围为.
故选：B
5．函数的零点个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】数形结合，结合指数函数和二次函数的变化趋势分析两函数交点情况，进而确定零点个数.
【详解】由，得，
令，，
在同一直角坐标系中画出两函数图象，如下：
当时，两图象由一个交点，
当时，函数上升趋势明显大于，故无交点，
所以两函数有一个交点，所以函数的零点个数是1.
故选：A
6．已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立.设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的对称性可得，，再根据函数单调性比较即可.
【详解】因为当时，恒成立.
所以函数在上单调递减，
又因为函数的图像关于直线对称，
所以，，
因为，
所以，即.
故选：B
7．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域是，则的定义域是
B．函数的值域是
C．“有反函数”是“在定义域内单调”的充分不必要条件
D．“”是“是奇函数”的必要不充分条件
【答案】B
【分析】由抽象函数求定义域方法判断A；设，借助二次函数求出的值域，进而求出原函数的值域，由此判断B；举反例判断C，D.
【详解】对于A，因为函数的定义域是，
所以，所以，
故，解得，所以的定义域是，故A错误；
对于B，令，则，
又，所以，
所以，即，
所以，所以，
所以函数的值域是，故B正确；
对于C，若，则有反函数，但是在定义域内不是单调函数，故C错误；
对于D， 是奇函数，但，故D错误.
故选：B
8．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，结合一元二次方程有两个不等的正实根求解即得.
【详解】由函数为“倍缩函数”，得存在，使在上的值域是，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递增，因此在上是增函数，
则，即，
于是是方程的两个不等实根，设，有，
则方程有两个不等的正实根，因此，解得，
所以满足条件的取值范围是.
故选：B
【点睛】思路点睛：正确理解“倍缩函数”的定义，结合单调性，构建出方程组，借助一元二次方程实根分布求解.
二、填空题
9．函数（且）的图象经过的定点是 .
【答案】
【分析】利用指数型函数过定点问题求解即得.
【详解】函数（且）中，当时，对任意的且，恒有，
所以函数（且）的图象过定点.
故答案为：
10．计算： .
【答案】
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可求解.
【详解】原式
，
故答案为： .
11．函数的单调增区间是 .
【答案】
【分析】求出函数定义域，再利用复合函数单调性求出单调增区间即得.
【详解】函数的意义，则，即，解得或，
即函数的定义域为，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上单调递减，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：
12．比较大小： .
【答案】
【分析】通过作商法，利用对数的运算性质，结合基本不等式比较大小.
【详解】因为，，且，
又，
所以，即，故.
故答案为：
13．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用分段函数的单调性，结合对数函数单调性，列出不等式组求解即得.
【详解】由函数是上的单调递增函数，得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．函数经过一、三、四象限，则的取值范围分别是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，借助函数单调性确定，由函数图象与y轴交点位置确定即得.
【详解】函数经过一、三、四象限，则随的增大，函数图象上升，
即函数在定义域上单调递增，则，
函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，则，解得，
所以的取值范围分别是.
故答案为：
15．函数在区间上的最小值是，则的值是 .
【答案】或
【分析】分和两种情况讨论，结合复合函数单调性即可求解.
【详解】令，则，其对称轴为，
当时，因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，解得，
当时，因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，解得.
综上，所以或.
故答案为：或
16．若函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用对数函数的定义，可得的取值集合包含区间，再列出不等式求解即得.
【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含区间，
因此，且，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
17．已知，若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则 .
【答案】
【分析】根据幂函数的性质分析求解.
【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则，
当，在区间上单调递增，符合题意；
当，的定义域为，不合题意；
当，的定义域为，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
18．已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，.则下列说法正确的是 .
①；②；③当时，；④在上是减函数；⑤存在实数使得函数在上是减函数.
【答案】①③⑤
【分析】对①②，利用赋值法，令，求出，再令，进行检验，即可判断；对③，当时，则，故，令，得出与关系，进而得出的范围，即可判断；对④，利用函数单调性的定义，由，结合已知条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断；对⑤，因为函数在上为增函数，若在上递减，则时，，则，由此可求得，即可判断．
【详解】对①②：令，则，
即，解得或，
当时，令，，
则，解得，
与时，矛盾，所以，故①正确，②错误；
对③：当时，则，故，
令，则，
整理得，则，
因为，则，，所以，故③正确；
对④：由②可知：，
设，则，
则
，
∵，则，可知，，
则，即，
所以函数在上单调递增，
即在上是增函数；故④错误；
对⑤：由④可知：函数在上单调递增，
则在上也为增函数，
若在上递减，则时，，
则时，，即，
又因为当时，，即，
所以，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三、解答题
19．已知函数其中且.
(1)求的单调区间；
(2)判断并证明的奇偶性；
(3)求函数的反函数；
(4)求使的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)为奇函数，证明见解析；
(3)；
(4)见解析
【分析】（1）令，则，利用复合函数单调性的判断方法，分和两种情况讨论即可；
（2）利用奇偶性定义证明即可；
（3）根据反函数定义即可求；
（4）根据函数单调性解不等式即可.
【详解】（1）由解得或，
令，则，
所以函数的减区间为和，
而当时，函数在上单调递减，
则函数的增区间为和；
当时，函数在上单调递增，
则函数的减区间为和；
综上，所以当时，函数的增区间为和，无减区间；当时，函数的减区间为和，无增区间.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知，函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数.
（3）令，则，所以，
所以函数的反函数为.
（4）当时，由可得，，解得，
当时，由可得，，解得，
所以，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
20．已知定义在上的函数满足对任意的实数均有，且，当时，.
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数为R上的奇函数，证明见解析
(2)在上的单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）令结合得，利用奇函数定义即可证明；
（2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可；
（3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可.
【详解】（1）函数为R上的奇函数.证明如下：
易知函数的定义域为，令，则，
又，所以，所以函数为奇函数.
（2）在上的单调递增，证明如下：
由（1）知，，
当时，，所以，
从而，
，则
，
因为，所以，又当时，，
所以，所以，所以，
故在上的单调递增.
（3）由（1）知，函数为奇函数，所以，
由（2）知，当时，，且在上的单调递增，
所以在上的单调递增，
所以当时，函数的最大值为，最小值为，
又任意，总有恒成立，
所以，即，
由题意，对恒成立，令，则，
所以，解得或，故实数的取值范围是.
21．已知函数.
(1)若函数在上具有奇偶性，求的值；
(2)当且时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)试求函数在的最大值.
【答案】(1)是偶函数时，，是奇函数时，；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义计算即得.
（2）根据已知结合单调性得，恒成立，再借助二次函数求解即得.
（3）令，把问题转化为二次函数在上的最大值求解
【详解】（1）依题意，，，若函数是偶函数，则，
即，，整理得，显然不恒为0，因此；
若函数是奇函数，则，即，，
整理得，显然，因此，
所以是偶函数，，是奇函数，.
（2）函数在定义域上单调递增，
不等式，
依题意，，恒成立，则，又，
显然无解，所以的取值集合是.
（3）函数，令，，
当时，函数在上单调递增，；
当时，，，
当或时，函数在上单调递增，，
当时，则当时，取得最大值，即，
所以.
【点睛】结论点睛：二次项系数为正的二次函数在闭区间上的最大值总是在区间的端点取得.
22．设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知.
(1)若，求函数的准不动点；
(2)若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，当时，可得，可解得函数的准不动点；
（2）先根据对数的性质可得在内恒成立，即在内恒成立，可得；再由在区间上存在准不动点可得与在内有交点，分析求解即可．
【详解】（1）若时，则，
因为在内均单调递增，则在内单调递增，
且，则的解集为，
即的定义域为，
令，
即，解得，
故当，函数的准不动点为．
（2）因为在内恒成立，则在内恒成立，
因为在内均单调递增，可知在内单调递增，
且，则，解得；
令，则，
整理得，可知与在内有交点，
且，结合的单调性可得，解得；
综上所述：实数的取值范围为．