2023-2024学年江苏省南通市海门区海门区实验初级中学九年级上学期期末数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区海门区实验初级中学九年级上学期期末数学模拟试题（含解析），共28页。试卷主要包含了在实数，0，，π，中，无理数有，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
（本卷满分150分 考试时间120分钟）
一．选择题（每题3分，共30分）
1．在实数，0，，π，中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列运算正确的是（ ）
A．B． C． D．
3．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为( )
A．53006×10人B．5.3006×105人C．53×104人D．0.53×106人
4．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q<16B．q>16
C．q≤4D．q≥4
5．某商场举办有奖销售活动，办法如下：凡购物满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券中，设特等奖1个、一等奖50个、二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的直径，C是上一点，若，，于点D，则的长为( ).

A．cmB．3cmC．5cmD．6cm
7．如图，把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是（）
A．点O1的坐标是（1，0）
B．点C1的坐标是（2，-1）
C．四边形OBA1B1是矩形
D．若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3
8．已知二次函数(为常数)，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A．B．C．或D．或
9．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞1B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1
10．如图，四边形为菱形，，点、、、四个点在同一个圆上，连接 并延长交于点，连接并延长交于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④当为的直径时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（每题3分，共24分）
11．因式分解： ．
12．方程3x(x-1)=2(x-1)的根是
13．如图，，，则 度
14．一圆的半径是10cm，圆内的两条平行弦长分别为12cm和16cm，则这两条平行弦之间的距离为 ．
15．关于x的方程的解是不小于1的数，则a的取值范围是
16．如图，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为 ．

17．已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ．
18．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线上一个动点．则的最短距离是 ．

三．解答题（共96分）
19．计算
(1) ．
(2)解不等式
20．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，求阴影部分的面积．
21．为了解中考体育科目训练情况，某区从九年级学生中抽取了部分学生进行了一次中考体育科测试（把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)求本次抽样测试的学生人数；
(2)求图1中的度数，并把图2条形统计图补充完整；
(3)该区九年级有学生名，如果全部参加这次体育测试，请估计不及格的人数大约是多少；
(4)测试老师想从4位同学（分别记为、、、，其中为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
22．已知∶如图，为半圆上的一点，，过点作直径的垂线，为垂足，弦分别交于点．
(1)求证∶；
(2)若，，求的长
23．如图，，两城市相距，现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东30°和北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（参考数据：，）

24．在边长为的正方形上，剪去四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（四个顶点正好重合于上底面的一点）；已知在上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设．
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积；
(2)某广告商要求包装盒表面（不含下底面）面积最大，试问应取何值？
25．小张到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：小张的采购价 (元/吨)与采购量(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段所示(不包含端点，但包含端点)．
(1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)已知老王种植水果的成本是元/吨，那么小张的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润最大？最大利润是多少？
26．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从点A出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动．当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
（1）求点P从点A运动到点D所需的时间．
（2）设点P运动时间为t（s），①当t=5时，求出点P的坐标．②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．
答案与解析
1．B
【详解】解：是无限循环小数，是有理数；
0是整数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
π是无理数；
=3，是有理数．
无理数共2个，
故选B．
【点睛】本题考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题关键．
2．D
【分析】本题考查了同底数幂乘法，除法，幂的乘方，合并同类项，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，本选项正确，符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可．
【详解】解：∵530060是6位数，
∴10的指数应是5，
故选B．
【点睛】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键．
4．A
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即82-4q>0，
∴q<16，
故选 A.
5．A
【分析】由于10000张奖券为一个开奖单位，共设1+50+100=151个．所以买100元商品的中奖概率应该是用总共奖项个数除以一个开奖单位，据此解答即可．
【详解】解析：由题意知，每10000张奖券中有151张中奖，故中奖概率是(1+50+100)÷10000=．
故选A.
【点睛】此题考查概率的认识，解题关键在于掌握概率公式.
6．B
【分析】本题考查了圆周角定理、中位线定理以及勾股定理等知识点，根据可求出，再由即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴
解得：,
∵，
∴
故选：B.
7．D
【分析】利用抛物线和平面直角坐标系的性质判断即可．
【详解】解：根据图形可知：点O的坐标是（0，0），点C的坐标是（1，1）．
因为把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，所以点O，C绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到点O1的坐标是（1，0），点C1的坐标是（2，-1），所以选项A，B正确．
根据点O（0，0），B（0，1），A1（2，1），B1（2，0）的坐标可得：四边形OBA1B1是矩形，选项C正确．
根据点O（0，0），C（1，1），A1（2，1），B1（2，0）的坐标可得：梯形OCA1B1的面积等于（1+2）×1=≠3，所以选项D错误．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．D
【分析】本题主要考查二次函数的最值．将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据y的最小值为，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】解：，
故该抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
①若，当时，，
解得：；
②若，当时，，
解得(舍)；
③若，当时，，
解得：或(舍)，
∴m的值为或，
故选：D．
9．D
【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关系是根据函数图象的位置关系确定x的取值范围．
10．D
【分析】结论①：由菱形性质证得，是等边三角形，得到，，，再根据圆内接四边形的对角互补，证得，进而证得，即可证得结论①；
结论②：根据圆周角定理得，再根据全等三角形判定证得，再证明是等边三角形，即可得到，即可证得结论②；
结论③：由，得，再根据平角定义得，由，得，可证得，即可证得结论③；
结论④:当为的直径时，，可证得，进而证得，由等腰三角形“三线合一”定理即可证得结论④；
根据上述所证得的结论进行判断即可得出答案．
【详解】解：四边形为菱形，，
，是等边三角形，
，，
点、、、四个点在同一个圆上，
，
，
，
，
，
在和中，
，

，
故结论①正确；
如图，连接，
点、、、四个点在同一个圆上，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故结论②正确；
由，
得，
，，
，
，，
，
，
故结论③正确；
当为的直径时，，
，
，
，
是等边三角形，
，
故结论④正确；
故选：D．
【点睛】本题综合考查了菱形的性质，圆的内接四边形性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等，能灵活运用等边三角形性质、全等三角形的性质及圆的性质找到对应角的关系是解本题关键．
11．
【分析】此题考查了因式分解的方法，利用提公因式法分解因式即可；解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】．
故答案为：．
12．x1=1，x2=.
【分析】先移项然后合并同类项，再因式分解即可求得方程的根.
【详解】3x(x-1)=2(x-1)
3x(x-1)-2 (x-1) =0
（3x-2）(x-1)=0
3x-2=0，x-1=0
解得：x1=1，x2=.
【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程.合并同类项然后因式分解是解题的关键.
13．
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质．根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14．14cm或2cm
【详解】有两种情况：①如图，当AB和CD在O的两旁时，过O作MN⊥AB于M，交CD于N，连接OB，OD，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
由垂径定理得：BM=AB=8cm，DN=CD=6cm，
∵OB=OD=10cm，
由勾股定理得：OM==6cm，
同理ON=8cm，
∴MN=8cm+6cm=14cm，
②当AB和CD在O的同旁时，
MN=8cm−6cm=2cm，
故答案为14cm或2cm.
15．a≤-3且a≠-4
【分析】去分母得：2x+a=x−2，解得：x=−a−2，由分式方程的解是不小于1的数，即可求解；
【详解】去分母得：2x+a=x−2，解得：x=−a−2，
由分式方程的解是不小于1的数，得到−a−2≥1，且−a−2≠2，
解得：a≤−3，且a≠−4，则a的范围是a≤−3且a≠−4，
故答案为：a≤−3且a≠−4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，分式方程的无解条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
16．或或2
【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．分三种情况讨论：①当时，过点D作于点G，根据等腰梯形的性质，易证四边形是矩形，进而证明，得到，的长，由勾股定理求得，然后证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长；②当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而得到，再利用，即可求出得长；③当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而利用勾股定理，得出的长，再利用三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：①如图1，当时，过点D作于点G，

等腰梯形中，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
；
②如图2，当时，

，
等腰梯形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
③如图3，当时，

等腰梯形中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，；
综上所述，CF的长为或或2．
故答案为：或或2．
17．
【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论．
【详解】解：，，
，
四边形四点共圆．
当为直径时，最大，
．
，
，，，
，
．
，
在中，由勾股定理，得
，
．
，
，
．
当点与顶重合时，最小．作于点．

，
．
，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
即．
的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键．
18．
【分析】点B的对称点是点D，连接，交于点P，再得出即为最短，解答即可．
【详解】解：过点D做轴于点F，
∵四边形是菱形，顶点，，
∴中，，，
∴，，
∴点D的坐标为，
连接，交于P，如图，

∵点B的对称点是点D，
∴，
即为的最小值，
∵点E的坐标为，
∴，
即的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查菱形的性质和最短路径问题，解答关键是利用菱形的轴对称性，将折线段长度转化从线段的长度．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，分式的混合运算，
（1）根据分式的混合运算法则求解即可；
（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
解题的关键是掌握分式的混合运算法则和解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【详解】（1）
（2）
去分母得，
移项，合并同类项得，．
20．48
【分析】根据平移变化只改变图形的位置，不改变图形的形状，从而有两个三角形大小一样，阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB，BE=6，算出HE的长度，再根据梯形的面积公式作答．
【详解】解：∵两个三角形大小一样，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE=AB，BE=6，
∵AB=10，DH=4，
∴HE=DE﹣DH=10﹣4=6，
∴阴影部分的面积=×（6+10）×6=48．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，通过观察图形把阴影部分的面积转化为熟知图形的面积是关键的一步．
21．(1)人
(2)
(3)人
(4)
【分析】（1）用级的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用乘以级别所占的百分比求出的度数，再用总人数减去、、级的人数，求出级的人数，从而补全统计图；
（3）用九年级所有学生数乘以不及格的人数所占的百分比求出不及格的人数；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：本次抽样检测的学生人数是：（人）
（2）解：根据题意得：，
答：图1中的度数是．
C级的人数是：（人）
如图，
（3）解：根据题意得：
（人）
答：不及格的人数为人；
（4）解：根据题意画树状图如下：
共有种情况，选中小明的有6种，
则选中小明的概率为：．
【点睛】本题考查数据的分析和整理，熟练掌握扇形统计图基础及其应用，由部分求整体，根据扇形圆心角，利用树状图求概率是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，然后根据题意得到，然后通过等量代换得到，进而求解即可；
（2）已知，就是已知的正切值，根据，可以根据相似三角形的对应边的比相等求得．
【详解】（1）证明：连接，
，
．
，
．
是直径，
．
，
，
，
，
．
（2）解：，，
．
．
，，
．
，．
．
，，
．
．
．
【点睛】本题主要考查了三角函数的运用，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
23．不会穿越保护区，理由见解析
【分析】如图所示，过点作，是垂足，只需要求出PC的长度即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作，是垂足，则∠ACP=∠BCP=90°，
由题意得∠PAC=60°，∠PBC=45°，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴计划修的这条路不会穿越保护区．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将实际问题转化成函数问题是解答本题的关键．
（1）根据已知得出这个正方体的底面边长，，再利用，求出即可得出这个包装盒的体积；
（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．
【详解】（1）根据题意，设，折成的包装盒恰好是个正方体，
∴这个正方体的底面边长，则，
∴，
正方形纸片边长为，
，
解得：，
则正方体的底面边长，
；
答：这个包装盒的体积是；
（2）设包装盒的底面边长为，高为，则，，
∴表面积，
，
当时，取得最大值．
25．（1）；（2）当小张的采购量为吨时，老王在这次的买卖中获利最大，最大利润为元
【分析】（1）首先根据函数图像分段进行求解函数关系式即可；
（2）结合函数解析式，根据其性质，即可得出最大利润.
【详解】(1)当时，
当时,设与的函数解析式为
把点与点代入上式得：
，解得
所以此时
与的函数解析式为
(2) ①当时，
随的增大而增大
当时为（元）
②当时，


当时
当小张的采购量为吨时，老王在这次的买卖中获利最大，最大利润为元
【点睛】此题主要考查根据函数图象列函数关系式以及利润问题，解题关键是理解题意，分段求解.
26．（1）11秒；（2）①点P的坐标为（12，3）；②当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据矩形的性质得到CD=AB=3，BC=AD=5，利用路程除以速度即可求出时间；
（2）①求出t=5时矩形移动的距离及点P移动的距离，得到点B的坐标，即可求出点P的坐标；②根据点P所在的位置，利用三角形面积公式分情况求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，BC=AD=5，
∴点P从点A运动到点D所需的时间是（3×2+5）÷1=11（秒），
点P从点A运动到点D所需的时间为11秒；
（2）①当t=5时，矩形ABCD向右移动2×5=10个单位长度，同时点P移动了5个单位长度，
此时点P在BC上，与点B相距5−3=2个单位长度，
∵B（10，3）
点P的坐标为（12，3）；
②当时：（如图），此时点P在边AB上，
;
当时：（如图），此时点P在边BC上，
当时：（如图3），此时点P在边CD上，
．
【点睛】此题考查了动点与动图形问题，分段求函数解析式，矩形的性质，正确理解动点与动图形问题画出图形分析解答是解题的关键．