2023-2024学年河南省商丘市名校联考高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市名校联考高二（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.圆C：x2+y2−4x−2y+1=0的半径为( )
A. 4B. 2C. 2D. 1
2.已知直线l1：x+y+1=0，l2：x+y−32=0，则l1，l2之间的距离为( )
A. 2 2B. 5 24C. 24D. 2
3.如果直线2x−4y+1=0与直线x+my−1=0垂直，那么m的值为( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
4.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，M是A1D1的中点，N是线段CA1上的点，且CN：NA1=1：4，用a，b，c表示向量NM的结果是( )
A. 45c−45a−310b
B. −15a−15b+45c
C. 15a−310b−15c
D. 12a+b+c
5.圆x2+y2=2与圆x2+y2+2x−2y−a=0(a∈R)的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 内含D. 以上均有可能
6.若圆O：x2+y2=4过双曲线x2a2−y2b2=1的实轴端点，且圆O与直线l：y=x+b相切，则该双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2 2D. 2
7.方程kx−1+ 1−(x−2)2=0有两相异实根，则实数k的取值范围是( )
A. (0,13]B. (−13,0)C. (−13,0)∪{13}D. (0,13]∪{−13}
8.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有AE=BE=CE=DE，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论不正确的是( )
A. AE⋅CD=0B. EA+EB+EC+ED=0
C. |AE|= 62D. AE⋅AC=12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 直线的斜率越大，倾斜角越大
B. 若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则(k,b)在第二象限
C. 过点(−2,−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=−5
D. 已知直线kx−y−k−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为k≥32或k≤−12
10.已知在直角坐标系中，等边△ABC的顶点A与原点重合，且AB的斜率为 32，则BC的斜率可能为( )
A. − 35B. −2 35C. −2 3D. −3 3
11.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点P满足BP=12BC+λBB1，其中λ∈[0,1]，则( )
A. AP⊥BCB. P∈平面BCC1B1
C. BP//AA1D. P∈棱CC1
12.已知直线l：x−y−1=0交椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)于不同两点A，B，且椭圆C经过点(0,1)，( 3,12)，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆C离心率为 22
B. 椭圆C的焦距是2 3
C. △AOB的面积是45(O是坐标原点)
D. 椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为 10+ 22
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.向量m=(0,1,0)，n=(0,1,1)的夹角为______ ．
14.若方程x24−t+y2t−1=1表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是______ ．
15.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，E为PC的中点，设直线PC与平面BDE所成的角为θ，则sinθ= ______ ．
16.定义：圆锥曲线C：x2a2+y2b2=1的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心， a2+b2为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆C的方程为x26+y23=1，P是直线l：3x−2y+9=0上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP(O是坐标原点)，当∠MPN为直角时，kOP的值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知直线l过点P(2,−1)，在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；
(2)已知△ABC中，A(1,0)，B(2, 3)，∠ABC=π3，BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直线的方程．
18.(本小题12分)
已知A(−1,0)，B(2,0)，动点C满足|CA||CB|=12，直线l：mx−y+m+1=0．
(1)求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线；
(2)若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|=2 2，求实数m的值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB/​/CD，且CD=2AB=2，BC=2 2,∠ABC=90°，M为BC的中点．
(1)求证：平面PDM⊥平面PAM；
(2)若二面角P−DM−A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点T(2,3)，且有一条倾斜角为120°的渐近线，直线l：y=k(x−2)与C相交于A，B两点．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的已知渐近线垂直，求AB的长度．
21.(本小题12分)
某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO/​/平面GCF；
(2)若二面角A−EF−B的大小为23π，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(a,b)的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且|AB|=2 7，|AF1|+|BF1|=6．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点D(3,0)的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点F1，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若S△GQDS△GPE=52，求PQ所在直线的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：x2+y2−4x−2y+1=0可化为(x−2)2+(y−1)2=4，所以圆半径为r=2，
故选：B．
直接将圆的一般方程化为标准方程即可求解圆的半径．
本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，直线l1：x+y+1=0，l2：x+y−32=0，
则l1，l2之间的距离d=|1−(−32)| 1+1=5 24．
故选：B．
根据题意，由平行线线间的距离公式，计算可得答案．
本题考查平行线线间的距离计算，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题知：2×1+(−4)×m=0，
解得m=12．
故选：C．
利用直线垂直的充要条件，可得答案．
本题考查了两条直线垂直的条件，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：连接MN，在△A1MN中，MN=MA1+A1N，
∵M是A1D1的中点，∴MA1=−A1D12=−AD2=−12b，
∵点N是CA1上的点，且CN：NA1=1：4，
∴A1N=45A1C=45(A1A+A1B1+A1D1)
=45(−AA1+AB+AD)=45(−c+a+b)，
∴MN=MA1+A1N=−12b+45(−c+a+b)=45a+310b−45c，
∴NM=−45a−310b+45c．
故选：A．
连接MN，在△A1MN中，由向量加法的三角形法则知NM=−MN=−(MA1+A1N)，由M是A1D1的中点，用b表示出MA1，由条件：点N是CA1上的点，且CN：NA1=1：4，得到A1N=45A1C，再用a,b,c表示向量A1C即可．
本题考查了空间向量及其线性运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：两个圆的圆心分别为O1(0,0)，O2(−1,1)，
且圆心O2(−1,1)在圆O1上，
因为圆O2的半径不确定，所以均有可能．
故选：D．
利用圆与圆的位置关系求解．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：圆O：x2+y2=4的圆心O(0,0)，半径为r=2，
因为圆O：x2+y2=4过双曲线x2a2−y2b2=1的实轴端点，所以a=2，
又圆O与直线l：y=x+b相切，所以|b| 2=2，则b=2 2，故c=2 3，
所以双曲线的离心率为 3．
故选：B．
根据圆的方程先求a=2，再利用相切可得b=2 2，从而可得离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：方程kx−1+ 1−(x−2)2=0有两相异实根，等价于函数y=kx−1与y=− 1−(x−2)2的图象有两个交点，
作直线y=kx−1与曲线y=− 1−(x−2)2的图象如图，
直线m的斜率k=0+13−0=13，直线n的斜率k=0，
结合图象可以知道，k的取值范围是(0,13]．
故选：A．
方程kx−1+ 1−(x−2)2=0有两相异实根，等价于函数y=kx−1与y=− 1−(x−2)2的图象有两个交点，作直线y=kx−1与曲线y=− 1−(x−2)2的图象，数形结合求解即可．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：如图所示，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，
OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，
则BM=1，OM= 33，OB=2 33，AO= 22−(2 33)2=2 63，
A.∵AE⊥底面BCD，CD⊂底面BCD，∴AE⊥CD，∴AE⋅CD=0，故A正确；
B.∵AE=BE=CE=DE，∴EA+EB=−(EC+ED)，∴EA+EB+EC+ED=0，故B正确；
C.∵AE12AB=ABAO，∴AE=AB22AO= 62，故C正确；
D.∵cs〈AC,AE〉=cs〈AC,AO〉=AOAC= 63，
∴AC⋅AE=|AC||AE|cs〈AC,AE〉=2× 62× 63=2，故D错误．
故选：D．
记O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，求出OM，OB，AO，再结合选项分别判断即可．
本题考查了空间向量的运算和空间向量的数量积，考查了转化思想，属基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，在[0°,90°)内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；
在(90°,180°)时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；
在[0°,180°)时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，选项A错误；
对于B，若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，
则k0，所以点(k,b)在第二象限，选项B正确；
对于C，当直线过原点时，直线方程为y=32x，选项C错误；
对于D，直线kx−y−k−1=0可化为k(x−1)−(y+1)=0，所以直线恒过定点P(1,−1)，
kPM=−1−11+3=−12，kPN=−1−21−3=32，直线与线段相交，所以k≥32或k≤−12，选项D正确．
故选：BD．
由直线倾斜角与斜率的关系即可判断A，由直线的斜截式即可判断B，当直线过原点时，即可判断C，求得kPM，kPN，即可判断D．
本题考查了直线的斜率，倾斜角问题，考查直线恒过定点以及直线的截距式方程，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：根据题意，设AB的倾斜角α，BC的倾斜角β，
则β=α+π3或β=2π3+α，tanα= 32，
如图所示，分2种情况讨论：
或
当β=α+π3时，tanβ=tan(π3+α)= 3+ 321−32=−3 3，
当β=2π3+α时，tanβ=tan(2π3+α)=− 3+ 321+32=− 35．
故选：AD．
根据题意，分析直线AB，BC倾斜角之间的关系，然后结合两角和的正切公式即可求解．
本题考查直线的倾斜角与斜率关系的应用，还考查了两角和的正切公式，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于选项A，由12(BP−BC)+12BP=λBB1，得12CP+12BP=λBB1，得λBB1=−12(PC+PB)，
设BC的中点为O，则λBB1=−PO，
∴BB1//PO，
∴OP⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，
∴OP⊥BC，
连接OA，则OA⊥BC，
又∵OA∩OP=O，OP，OA⊂平面AOP，
∴BC⊥平面AOP，又∵AP⊂平面AOP，
∴AP⊥BC，故选项A正确；
对于选项B，由BP=12BC+λBB1，得BP，BC，BB1共面，又三个向量共起点，
∴B，P，C，B1共面，∴P∈平面BCC1B1，故选项B正确；
对于选项D，由选项A可知，BB1//PO，
∵BB1⊥BC，∴OP⊥BC，
即P在BC的中垂线上，故P∉棱CC1，故选项D错误；
对于选项C，OP//AA1，又∵BP∩OP=P，
∴BP，AA1不平行，故选项C错误．
故选：AB．
根据线面垂直和线面平行的判定定理逐个判断各个选项．
本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对AB选项，将两点(0,1)，( 3,12)坐标代入椭圆方程中，
得b2=13a2+14b2=1，解得a=2，b=1，可得c= 3，
于是e=ca= 32，焦距为2 3，从而知A选项错误，B选项正确；
对C选项，记A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的方程为x=y+1，
由x2+4y2=4x=y+1，消去x得5y2+2y−3=0，解得y1=−1，y2=35，
直线l与x轴交于点P(1,0)，则S=12|OP||y1−y2|=12×1×85=45，故C选项正确．
对D选项，设与l：x−y−1=0平行的直线为l′：x−y+m=0(m≠−1)，
当l′与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，
联立x−y+m=0与x2+4y2=4可得，5x2+8mx+4m2−4=0，
由Δ=64m2−20(4m2−4)=0，可得m=± 5，
当m= 5时，直线l′：x−y+ 5=0，此时两平行线距离为| 5+1| 1+1= 10+ 22，
当m=− 5时，直线l′：x−y− 5=0，此时两平行线距离为|− 5+1| 1+1= 10− 22，
故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为 10+ 22，故D选项正确．
故选：BCD．
对AB选项，待定系数法得到椭圆方程，进而得到离心率和焦距；对C选项，联立直线x−y−1=0与椭圆方程，求出A，B两点纵坐标，进而由S=12|OP||y1−y2|求出答案；对D选项，设出与l：x−y−1=0平行的直线l′，当l′与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立l′与椭圆方程，由根的判别式等于0求出l′的方程，从而求出答案．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，方程思想，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】π4
【解析】解：因为向量m=(0,1,0)，n=(0,1,1)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=0×0+1×1+0×11× 12+12=1 2= 22，
由于∈[0,π]，
所以两向量夹角大小为π4．
故答案为：π4．
利用空间向量夹角运算公式直接求解即可．
本题考查的知识要点：空间向量的夹角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14.【答案】(1,52)∪(52,4)
【解析】解：当曲线表示椭圆时，需4−t>0t−1>04−t≠t−1，解得1