人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）达标测试，共6页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示．
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝lg2(x＋1)B．y＝2x－1
C．y＝2x－1D．y＝(x－1)2＋1
【答案】D
【解析】代入数值检验，把x＝2代入可排除A，B，C，把x＝1，2，3代入D选项，符合题意．
2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x
【答案】D
【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；…；经过x年，y＝a(1＋5%)x．
3．(2023年肇庆检测)sigmid函数f(t)＝ eq \f(K,1＋eg(t))是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmid函数模型f(t)＝ eq \f(K,1＋e－0.2(t－63))，当f(t*)＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为(ln 9≈2.2)( )
A．90B．83
C．74D．63
【答案】C
【解析】由题意得f(t*)＝ eq \f(K,1＋e－0.2(t*－63))＝0.9K，整理得 eq \f(1,1＋e－0.2(t*－63))＝0.9，即e－0.2(t*－63)＝ eq \f(1,9)，可得－0.2(t*－63)＝－ln 9≈－2.2，解得t*＝74．
4．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是( )
A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝lg2t
C．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2
【答案】A
【解析】由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图象过点(1，2)，所以图象由指数函数来模拟比较好．
5．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与 eq \f(P,Q)最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．1045B．1051
C．1056D．1059
【答案】B
【解析】由题知 eq \f(P,Q)＝ eq \f(24 423－1,24 253－1)≈2170，令2170＝k，则lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又因为lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以与 eq \f(P,Q)最接近的数为1051．
6．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg eq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A． eq \f(7,6)倍B．10倍
C．10 eq \f(7,6)倍D．ln eq \f(7,6)倍
【答案】B
【解析】依题意可知，η1＝10·lg eq \f(I1,I0)，η2＝10·lg eq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lg eq \f(I1,I0)－10·lg eq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以 eq \f(I1,I2)＝10．故选B．
7．(多选)图片所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at，则以下叙述正确的有( )
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍面积会超过30 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
【答案】AB
【解析】∵点(1，2)在函数图象上，∴a1＝2，即a＝2，故A正确．∵函数y＝2t在R上为增函数，且当t＝5时，y＝32，故B正确．当t＝2时，y＝4，经过1.5月后面积是23.5＜12．故C不正确．根据图象1～2月增加2 m2，2～3月增加4 m2，故D不正确．
8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．
【答案】 eq\r(3,2)－1
【解析】设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x＝ eq\r(3,2)－1．
9．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b．现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为________万件．
【答案】1.75
【解析】由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝0.5a＋b，,1.5＝0.25a＋b，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间(结果精确到0.1)?
解：由题意知40－24＝(88－24) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(20,h))，即 eq \f(1,4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(20,h))．
解得h＝10，故T－24＝(88－24)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(t,10))．
当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(t,10))，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(t,10))＝ eq \f(11,64)．
两边取对数，解得t≈25.4．
因此，约需要25.4 min咖啡可降温到35 ℃．
B级——能力提升练
11．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg 2≈0.301 0，100.0075≈1.017)( )
A．1.5%B．1.6%
C．1.7%D．1.8%
【答案】C
【解析】由题意得(1＋x)40＝2，所以40lg (1＋x)＝lg 2，即lg (1＋x)≈0.007 5，所以1＋x＝100.007 5，解得x≈0.017＝1.7%．故选C．
12．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为回报．根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是( )
A．投资3天以内(含第3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案二
D．投资10天，采用方案二
【答案】ABC
【解析】由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，故A正确；在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，故B正确；在第五天到第八天，方案二最多，故C正确；第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，故D不正确．故选ABC．
13．某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0且a≠1)，x∈N*．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为________元．
【答案】40.5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(81,2)))
【解析】由题意可得方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k×a1＝96，,k×a3＝54，))结合a＞0且a≠1，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,4)，,k＝128，))即y＝128× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(x)，则该商品上架第4天的价格为128× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up12(4)＝ eq \f(81,2)＝40.5，即该商品上架第4天的价格为40.5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(81,2)))元．
14．某地区发生里氏8.0级特大地震，地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表所示．
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数)，则a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
【答案】 eq \f(2,3)
【解析】由记录的部分数据可知，当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5.0＝a lg (1.6×1019)＋b①，,5.2＝a lg (3.2×1019)＋b②，))②－①，得0.2＝a lg eq \f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝a lg 2．所以a＝ eq \f(0.2,lg 2)≈ eq \f(0.2,0.3)＝ eq \f(2,3)．
15．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D(分贝)由公式D＝a lg I＋b(a，b为非零常数)给出，其中I(W/cm2)为声音能量．
(1)当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
(2)当人们低声说话，声音能量为10－13 W/cm2时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为10－12 W/cm2时，声音强度为40分贝．当声音强度大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．
解：(1)∵D1＋2D2＝3D3，
∴a lg I1＋b＋2(a lg I2＋b)＝3(a lg I3＋b)，
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，∴I1·I eq \\al(2,2) ＝I eq \\al(3,3) ．
(2)由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－13a＋b＝30，,－12a＋b＝40，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝10，,b＝160，))
∴100＜10lg I＋160＜120，
∴10－6＜I＜10－4．
故当声音能量I∈(10－6，10－4)时，人会暂时性失聪．
x
1
2
3
…
y
1
2
5
…
强度/J
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级/里氏
5.0
5.2
5.3
5.4