高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步训练题，共4页。试卷主要包含了以A和B为直径端点的圆的方程是，一圆与圆C等内容，欢迎下载使用。

1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
【答案】A 【解析】因为m2＋25>24，所以点P在圆外．
2．以A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝25B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100D．(x－1)2＋(y－2)2＝100
【答案】A 【解析】由题意可得，圆心为线段AB的中点C(1，2)，半径为r＝ eq \f(1,2)|AB|＝ eq \f(1,2) eq \r(82＋62)＝5，故要求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( )
A．－1C．－1【答案】D 【解析】因为点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋(a－1－1)2<5，整理得5a2－4a－1<0，解得－ eq \f(1,5)4．一圆与圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3为同心圆且面积为圆C面积的两倍，此圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝6B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝9
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝12D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝18
【答案】A 【解析】圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3，此圆的半径为 eq \r(3)，而要求的圆的面积是已知圆的面积的两倍，所以所求圆的半径为 eq \r(2)× eq \r(3)＝ eq \r(6).所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝6.
5．圆心在x＋y＝0上，并且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5B．(x－1)2＋(y＋1)2＝ eq \r(5)
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋1)2＋(y－1)2＝ eq \r(5)
【答案】A 【解析】由题意得圆心在直线x＝－1上，又因为圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1).又因为A(－3，0)，半径|AM|＝ eq \r((－1＋3)2＋(1－0)2)＝ eq \r(5)，则圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5.
6．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为 eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝5 B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x－2)2＋y2＝9 D．(x＋2)2＋y2＝9
【答案】C 【解析】设C(a，0)(a>0)，由题意知 eq \f(|2a|,\r(5))＝ eq \f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以r＝ eq \r(22＋5)＝3.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
7．(多选)瑞士数学家欧拉(Lenhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A．(2，0) B．(0，2)
C．(－2，0) D．(0，－2)
【答案】AD 【解析】设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点M(－1，1)，∴|MC|＝|MA|＝ eq \r(10)，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10①.由A(－4，0)，B(0，4)，△ABC重心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－4,3)，\f(y＋4,3)))，代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0②.由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2.
8．圆心在x轴上，半径长为 eq \r(2)，且过点(－2，1)的圆的方程为________________________．
【答案】(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2 【解析】设圆心坐标为(a，0)，则由题意知 eq \r((a＋2)2＋(0－1)2)＝ eq \r(2)，解得a＝－1或a＝－3，故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2.
9．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝________．
【答案】4 eq \r(6) 【解析】由已知得kAB＝ eq \f(3－2,1－4)＝－ eq \f(1,3)，kCB＝ eq \f(2－(－7),4－1)＝3，所以kAB·kCB＝－1.所以AB⊥CB，即△ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径r＝5.所以外接圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.令x＝0，得y＝±2 eq \r(6)－2.所以|MN|＝4 eq \r(6).
10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
解：(1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2.
又由a>0，可得a＝ eq \r(10).
(2)由两点间距离公式可得
|PN|＝ eq \r((3－5)2＋(3－6)2)＝ eq \r(13)，
|QN|＝ eq \r((5－5)2＋(3－6)2)＝3，
因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆内，另一个在圆外．
由于3< eq \r(13)，所以3故a的取值范围是(3， eq \r(13)).
B级——能力提升练
11．已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么 eq \r(x2＋y2)的最小值为( )
A．5 B．8 C．13 D．18
【答案】B 【解析】由题意得 eq \r(x2＋y2)＝ eq \r((x－0)2＋(y－0)2)，表示点P(x，y)到原点的距离，所以 eq \r(x2＋y2)的最小值表示圆(x＋5)2＋(y－12)2＝25上一点到原点距离的最小值．又因为圆心(－5，12)到原点的距离为 eq \r((－5)2＋122)＝13，所以 eq \r(x2＋y2)的最小值为13－R＝8.
12．(多选)(2022年深圳期末)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是
( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
【答案】ABD 【解析】圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两不等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.
13．已知圆C经过点A(1，4)，B(3，－2)，圆心C到直线AB的距离为 eq \r(10)，则圆C的方程为______________________________．
【答案】(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20 【解析】方法一，设圆心C(a，b)，半径为r，易得线段AB的中点为M(2，1).因为CM⊥AB，kAB＝ eq \f(－2－4,3－1)＝－3，所以kCM＝ eq \f(b－1,a－2)＝ eq \f(1,3)，即3b＝a＋1①.又因为|CM|＝ eq \r(10)，所以(a－2)2＋(b－1)2＝10②.联立①②，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝2，))即C(－1，0)或C(5，2)，所以r2＝|CA|2＝20.故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20.
方法二，因为A(1，4)，B(3，－2)，所以直线AB的方程为3x＋y－7＝0.因为线段AB的中点为M(2，1)，所以圆心C落在直线AB的中垂线x－3y＋1＝0上．不妨设C(3b－1，b).所以 eq \f(|3(3b－1)＋b－7|,\r(32＋12))＝ eq \r(10)，解得b＝0或b＝2，即C(－1，0)或C(5，2)，所以r2＝|CA|2＝20.故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20.
14．已知点A(－2，0)，△ABC的两条内角平分线BE，CF所在的直线方程分别为y＝－x＋1，x＝0，则△ABC的内切圆圆心I的坐标为____________，圆I的标准方程为____________.
【答案】(0，1) x2＋(y－1)2＝ eq \f(5,2) 【解析】联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋1，,x＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))所以I(0，1)，依题意知A(－2，0)关于CF对称的点M(2，0)在直线BC上，设A(－2，0)关于BE的对称点N(a，b)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－0,a＋2)＝1，,\f(b＋0,2)＝－\f(a－2,2)＋1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3，))即N(1，3)，则N(1，3)也在直线BC上，所以直线BC的方程为y－0＝ eq \f(0－3,2－1)(x－2)，即3x＋y－6＝0，圆I的半径r＝ eq \f(|0＋1－6|,\r(9＋1))＝ eq \f(\r(10),2)，所以圆I的方程为x2＋(y－1)2＝ eq \f(5,2).
15．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
解：(1)根据题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点．
因为AB中点为(1，2)，斜率为1，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－1)，
即y＝－x＋3.
联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋3，,x＋3y＝15，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝6，))即圆心C(－3，6)，
半径r＝ eq \r((－3＋1)2＋(6－0)2)＝2 eq \r(10)，
所以所求圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.
(2)|AB|＝ eq \r(42＋42)＝4 eq \r(2)，
圆心到AB的距离为d＝4 eq \r(2)，
因为点P到AB距离的最大值为d＋r＝4 eq \r(2)＋2 eq \r(10)，
所以△PAB面积的最大值为 eq \f(1,2)×4 eq \r(2)×(4 eq \r(2)＋2 eq \r(10))＝16＋8 eq \r(5).