专题13 填空题压轴题-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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【答案】
【详解】解：，
，
，

，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
2．已知，则的最小值为______．
【答案】．
【详解】解：，
，
可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和，
当，的最小值为3；
当时，的最小值为6，
的范围为，的范围为，
当，时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
3．已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____．
【答案】2023．
【详解】解：∵，
∴当x＜2时，y＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x，
即当x＝1时，y＝5﹣2＝3；
当x≥2时，y＝x﹣2﹣x+3＝1，
即当x分别取2，3，…，2021时，y的值均为1，
综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是3+2020×1＝2023，
故答案为：2023．
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为________．
【答案】
【详解】解：过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴∠MAD=∠DCB=90°，∠DCA=45°，AD=CH=AB=CD=2，
∴∠NCH=∠MAD=90°，
∵AM=CN，
∴△NCH≌△MAD（SAS），
∴DM=NH，
若使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，如图所示：
∴∠DCA=∠ECH=45°，
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴在Rt△DEH中，；
∴的最小值为；
故答案为．
5．若，则的值为______．
【答案】2022
【详解】解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵，
∴，
，
，
即=2022．
故答案为2022．
6．如图，矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠，得到，则当最小时，折痕长为______．
【答案】
【详解】连接AC，依题意可知：，
如图，当A、C、F三点共线时，取得最小值，
在矩形中，，，,
∴，
由折叠可知：,设，
∴,，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
7．设，，当t为___________时，代数式．
【答案】2
【详解】，
，

，解得（舍去），．
故答案为：2
8．若，，是实数，且，则________．
【答案】21
【详解】∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
9．已知a＝﹣，则代数式a3+5a2﹣4a﹣6的值为_____．
【答案】-4
【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3
＝7a－7－7a+3
＝－4．
故答案为－4．
10．若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为________．
【答案】3
【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3．
故答案为3．
11．已知，则________．
【答案】
【详解】设m＝，n＝，
那么m−n＝2①，
m2＋n2＝()2＋()2＝34②．
由①得，m＝2＋n③，
将③代入②得：n2＋2n−15＝0，
解得：n＝−5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
所以＝n＋2m＝13．
12．若，满足，则的值为_______．
【答案】
【详解】解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：．
13．如图，正方形ABCD中，，点E在AD上，，连接BE将△ABE沿着BE翻折得△FBE，点A的对应点为点F，连接CF，则CF的长为______．
【答案】
【详解】解：如图，过点F作交AD，BC于点M，N，
在正方形ABCD中，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
四边形ABNM为矩形，

∵AD=BC=AB=3，DE=2AE，
∴AE=1，DE=2，
由翻折可知：EF=AE=1，BF=AB=3，∠EFB=∠A=90°，
设
则
∴
解得：，（不符合题意的根已舍去）
∴
∴CN=DM=DE-EM=2-=，
在Rt△FCN中，根据勾股定理得：
故答案为：．
14．如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是_________．
【答案】
【详解】解：由题意可知△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形
∵A1（1，1）
∴OB1＝2
设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1
解得m1或（舍去）
∴OB2＝2
设A3（a，2a），则有a（2a）＝1
解得a或（舍去）
∴OB3＝2
同理可得OB4＝2
∴OBn＝2
∴Bn（0，2）
∴B2022（0，2）
故答案为：．
15．已知是方程的一个根，则____．
【答案】
【详解】∵是方程的一个根．
∴，即．
将等号两边同时乘得：
，即．
∴．
故答案为：-2021．
16．已知a、b、c满足，，，则_______．
【答案】3
【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
，
即，
∴，
∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
17．设实数满足，则的最大值为_______.
【答案】6
【详解】
两边同乘以2得：
整理得：
令，则
代入得：
化简得：
由题意可知，关于a的一元二次方程有实数根
则方程的根的判别式
解得：，即
所以的最大值为6
故答案为：6.
18．已知：(x2+y2)(x2+y2-4)-12=0,则x2+y2的值为_____________.
【答案】6
【详解】解：设x2+y2=t，代入方程得：
t(t-4)-12=0
t2-4t-12=0
（t-6）（t+2）=0
t=6或t=-2（舍去）
故答案为6
19．设实数s、t分别满足，并且st≠1，求____
【答案】-5
把方程转化为
∴s与是方程的两个根
∴，
∴=-5
20．如图，矩形的两个顶点、分别落在、轴上，顶点、位于第一象限，且，，对角线交于点，若曲线经过点、，则______．
【答案】
【详解】解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，
∴，
设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵曲线经过点C、G，
∴，解得，
作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
21．如图，正方形的边长为6，对角线交于点O，点E在边上，连接，在上取点F，连接，若，，则的长为_________．
【答案】
【详解】解：设与 相交于点H，如图所示：
四边形为正方形，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得：
，
，
又，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
22．如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转90°，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是______．
【答案】
【详解】解：由题意可得：
∵是的中点
∴
∵
∴
如图：∵，
∴
∴，即，即
过点F作于G，
∵，
∴
∴即
∴，，
∴
∵
∴．
故答案为．
23．如图，矩形中，，交于E、F，则的最小值是___________．
【答案】5
【详解】解：如图所示：
设，则，
过点C作，且，连接，
当点A、F、G三点共线时，的最值小；
∵，且，
∴四边形是平行四边形；
∴，
又∵点A、F、G三点共线，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
，
在中，由勾股定理得：
，
又∵，则，
∴，解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：5．
24．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且，过点E作DE的垂线交正方形外角的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为_____．
【答案】
【详解】解：作交于点H，作于点K，
∵BF平分，，
∴四边形BHFK是正方形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，，
∴，
设，则，
∴，解得，即；
∵，
∴。
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，解得，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
25．如图，等腰中，，，D是三角形外一点，，连接AD，点E在AD上，连接CE，，若，，则线段AC的长度等于______．
【答案】
【详解】解：如图，过点作，连接，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴是等腰直角三角形,
∴
又∵
∴，
∴，
∵等腰直角三角形,
∴
即
过点作于点
∵，
∴，
∴，
∴，即，
设，在中，，，设，
∴，
又，
∴，解得或（舍去）
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
26．等腰直角中，，，为的中点，交射线于，连接，若，求线段的长为__________．
【答案】
【详解】如图，过点A作于点M，过点D作于点N．
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵为的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
27．如图，已知，是斜边AB的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，分别记的面积为．若，则_______．
【答案】
【详解】解：由题意得：BC，
∴与同底同高，面积相等，以此类推；根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知： =BC， =AC， =；
∴在△ACB中，为其重心，
∴，
∴，，，
∵ =2：3， =1：2，
∴=3，
∴=3：4，
∴，，…，
∴；
当n=2022时，，
故答案为：．
28．如图，已知四边形ABCD是边长为8的正方形，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF相交于点G，连接DE，交BF于点H，则GH的长为_______．
【答案】
【详解】解：取线段DE的中点M，连接MF，
∵点F为线段DC的中点，
∴MF是△DEC的中位线，
∴MFEC，，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴CF＝BE＝4，BC＝AB＝8，∠BCF＝∠ABE＝90°，
∴BF4，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∴，即，
解得BG，
∵，
∴△BEH∽△FMH，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴FHBF，
∴GH＝BF﹣BG﹣FH＝4，
故答案为：．
29．如图已知中，，，，P是线段BC上的动点，则的最小值是______．
【答案】
【详解】解：在BC上取一点P，使CP=AP，
过B作BD⊥AP交AP的延长线于点D，
则∠D=∠C=90°
∴△BDP∽△ACP，
∴，即DP=BP，
∴PA+PB=PA+DP=AD，
设CP=a，则AP=3a，
∴a2+42=（3a）2，
∴a=，
∴AP=3，
∴BP=3-，DP=1-，
∴PA+PB=3+1-=
故答案为：．
30．如图，直线AB的解析式为y＝x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，当线段EF的长度最小时，△OEF的面积为_______．
【答案】
【详解】解：∵一次函数y＝x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣3，
∴A（0，4），B（﹣3，0）．
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴四边形PEOF是矩形，且EF＝OP，
∵O为定点，P在线段上AB运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，
∵A（0，4），点B坐标为（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵∠BOA＝90°，OP⊥AB，
∴∠BOA＝∠BPO＝90°，∠BOP＝∠BAO，
∴△BOP∽△BAO，
∴，
∴AB•OP＝OA•OB，
∴OP＝．
∵∠BOP＝∠BAO，∠BOA＝∠PFO＝90°，
∴△BOA∽△PFO，
∴，
∴OF＝，PF＝，
∴S△OEF＝OE•OF＝PF•OF＝．
故答案为：．
31．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝6，当四边形APQE的周长最小时，BP＝_____．
【答案】4
【详解】解：如图，在上截取线，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点．
矩形中，，
四边形是矩形，，，
，，，
点为边的中点，，
由轴对称的性质得：，
，
，
，
，即，解得，
，
故答案为：4．
32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点，，分别在AC、BC、AB上，且四边形C是正方形，点，，分别在、，上，且四边形是正方形，则线段的长度是_______．
【答案】
【详解】解：∵∥BC，
∴△A∽△ACB，
∴，
设=x，则，解得：x＝，
∴＝BC﹣x＝4﹣＝，
同理，，
=，
⋯，
∴的长度是＝=，
∴线段的长度是：．
故答案为：．
33．如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，
作点B关于CE的对称点F，BF交CE于点H，连接AF交CE于点P，过点F作FG⊥x轴于点G，
∴BP=FP
根据“两点之间，线段最短”可知，的最小值为AF的长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=5，
∴ A（0，5）
∵点E为AB的贵点，
∴,
由勾股定理得，
又，
∴
∴
∴
∴
∴
∵,
∴，
∴,
∴
∴F（8，4）
又A（0，5）
∴,
∴的最小值为，
故答案为
34．如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2020个内接正方形的边长为_______．
【答案】
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，BC，
∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG，
∴∠B＝∠BGD＝45°，∠C＝∠CFE＝45°，DG＝EF，
∴EF＝EC＝DG＝BD，
∴DEBC，
∴DE＝2，
∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，
∴，
∴∠EKI=∠PEF，
又∵∠EIK=∠PFE=90°，
∴△FPE∽△IEK，
∴，
∴EIKIHI，
∵DH＝EI，
∴HIDE，
则第n个内接正方形的边长为：2，
∴第2020个内接正方形的边长为22．
故答案为：．
35．如图，点的坐标为（1，0），在y轴的正半轴上，且，过点作，垂足为，交x轴于点；过点作，垂足为，交y轴于点；过点作，垂足为，交x轴于点；过点作，垂足为，交y轴于点……此规律进行下去，则点的坐标为___________．
【答案】
【详解】解：∵，点的坐标为，
∴
∴点的坐标为，
∵，
∴
∴
∴点的坐标为
同理可得；，，，，
∴，，，（n为自然数）
∵，
∴，
故答案为