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北师大版七年级数学上册同步精品讲义 第19讲+用字母表示数与代数式
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第19讲 用字母表示数与代数式目标导航知识清单知识点01 代数式的概念用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.(单独的一个数或者一个字母也是代数式)知识点02 代数式的书写代数式书写规范:①数和字母相乘,可省略乘号,并把数字写在字母的前面;②字母和字母相乘,乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下,按26个字母的顺序从左到右来写;③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来;④除法运算写成分数形式,即除号改为分数线;⑤带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式;⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写;当“-1”乘以字母时,只要在那个字母前加上“-”号.考点精析考点一 代数式的书写规范例1数字和字母,字母和字母相乘时,乘号可省略或用“”表示,但省略乘号时,______要写在_____前面;字母前面的带分数要写成_______;除法运算时除号写成________;结果是和差,带单位时请_______.【答案】 数字 字母 假分数 分数线 加括号【解析】略例2下列代数式书写正确的是( )【答案】A【分析】根据代数式的书写要求,即可一一判定.【详解】解:A、m+3,书写正确,故此选项符合题意;B、,应写成,故此选项不合题意;C、5×a,应写成5a,故此选项不合题意;D、(a+2b)元,不应有单位,故此选项不合题意;故选:A.例3下列代数式中,书写规范的有( )个①;②;③;④;⑤.【答案】A【分析】根据代数式的书写规则逐个判断即可.【详解】解:①中书写不规范,正确写法是;②中书写不规范,正确写法是;③中书写不规范,正确写法是4ab;④中书写规范;⑤中书写不规范,正确写法是.故选:A.变1下列单项式书写规范的是( )【答案】C【分析】根据单项式的定义以及常规书写形式进行逐一判断.【详解】A书写不规范,应该,不符合题意;B书写不规范,应该,不符合题意;C书写规范,符合题意;D书写不规范,应该,不符合题意;故选C变2下列各式书写符合要求的是( )【答案】D【分析】根据代数式的书写要求判断各项即可.【详解】解:A、原书写不规范,应写为,故此选项不符合题意;B,原书写不规范,应写为,故此选项不符合题意;C、书写不规范,应写为5ab,故本选项不符合题意;D、书写规范,故此选项符合题意.故选:D.变3下列各式:2ab,,,,,其符合代数式书写规范的有______个.【答案】3【分析】根据代数式规范书写的要求:不能出现÷,不能出现带分数等要求去判断.【详解】∵含有除号,不符合;含有带分数,不符合,∴2ab,,是符合书写规范的,故答案为:3.变4将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写:(1)a×5,应写成_______; (2)S÷t应写成_______;(3),应写成_______;(4), 应写成_______.【答案】 5a 【分析】(1)根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果.(2)根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果.(3)根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号,同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果.(4)根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果.【详解】解:(1)a×5=5a,故答案为∶5a;(2)S÷t=,故答案为∶;(3),故答案为∶;(4)故答案为∶.考点二 代数式表示的实际意义例1代数式的正确含义是( )【答案】C【分析】按照代数式的意义和运算顺序即可判断.【详解】解:代数式3(y−3)的正确含义应是y与3的差的3倍.故选:C.例2代数式的意义是( )【答案】B【分析】用文字解释代数式的意义即可.【详解】解:代数式的意义是a的平方与b的倒数的差,故选:B.变1代数式的意义是( )【答案】C【分析】说出代数式的意义,实际上就是把代数式用语言叙述出来。叙述时,要求既要表明运算的顺序,又要说出运算的最终结果.【详解】代数式的意义是a与b两数的平方的和.故选:C.变2代数式表示( )【答案】B【分析】根据代数式的意义即可写出.【详解】解:代数式2(a2-b)表示a的平方与b的差的2倍,故选:B.例3某超市的苹果价格如图,试说明代数式100﹣9.8x的实际意义______________. 【答案】用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱【分析】根据题意结合图片得出代数式100﹣9.8x的实际意义.【详解】解:代数式100﹣9.8x的实际意义为:用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱.故答案为:用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱.例4请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子,其中错误的是( )【答案】D【分析】根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得.【详解】解:A.若葡萄的价格是4元/千克,则4a表示买a千克葡萄的金额,原说法正确,故此选项不符合题意;B.若a表示一个正方形的边长,则4a表示这个正方形的周长,原说法正确,故此选项不符合题意;C.一辆汽车以a千米/小时的速度行驶,从A城到B城需4小时,则4a表示A,B两城之间的路程,原说法正确,故此选项不符合题意;D.若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则40+a表示这个两位数,原说法错误,故此选项符合题意;故选:D.例5新冠疫情期间间,某药店店对一品牌橡胶手套进行优惠促销,将原价m元的橡胶手套每盒以()元售出,则以下四种说法中可以准确表达该药店促销方法的是( )【答案】A【分析】根据原价和售价的关系,可得答案.【详解】解:售价为(),是原价m乘以0.6,再减去8,由此可得,促销方式为将原价打6折之后,再降低8元,故选A变3下列表述中,字母各表示什么?(1)正方形的周长为4a;(2)买单价为5元的毛巾,花了5a元钱;(3)某班女生比男生多1人,女生共有(x+1)人.【答案】(1)a表示正方形的边长(2)a表示毛巾的数量(3)x表示男生的人数【分析】(1)根据正方形的周长=边长×4即可得出答案;(2)根据总价=单价×数量即可得出答案;(3)根据女生比男生多1人即可得出答案.(1)解:根据题意可得,a表示正方形的边长;(2)解:根据题意可得,a表示毛巾的数量;(3)解:根据题意可得,x表示男生的人数.变4下列关于“代数式”的意义叙述正确的有( )个.①x的4倍与y的2倍的和是;②小明以x米/分钟的速度跑了4分钟,再以y米/分钟的速度步行了2分钟,小明一共走了米;③苹果每千克x元,橘子每千克y元,买4千克橘子、2千克苹果一共花费元.【答案】B【分析】根据代数式的意义分别对三个叙述进行判断即可.【详解】解:①x的4倍与y的2倍的和是,正确;②小明以x米/分钟的速度跑了4分钟,再以y米/分钟的速度步行了2分钟,小明一共走了米,正确;③苹果每千克x元,橘子每千克y元,买4千克橘子、2千克苹果一共花费元,错误;故正确的有2个故选:B.变5贵阳市“一圈两场三改”落地,幸福生活近在咫尺.周末,小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼,较之前步行去城市运动中心少走了25min.已知小高同学步行的速度为每分钟am,则“一圈两场三改”后,小高同学少走的路程是( )【答案】D【分析】根据“路程=速度×时间”计算即可.【详解】解:根据题意,小高同学步行的速度为每分钟am,较之前步行去城市运动中心少走了25min, 则少走的路程是:m.故选:D.变6在一项居民住房节能改造工程中,某社区计划用a天完成建筑面积为1000平方米的居民住房节能改造任务,若实际比计划提前b天完成改造任务,则代数式“”表示的意义为_____.【答案】实际每天完成的改造任务【分析】根据计划完成建筑面积为1000平方米的居民住房节能改造任务需要a天,实际提前b天,可知实际完成需要(a﹣b)天,从而可以得到代数式“”表示的意义.【详解】解:∵计划完成建筑面积为1000平方米的居民住房节能改造任务需要a天,实际提前b天,∴实际完成需要(a﹣b)天,∴代数式“”表示的意义是实际每天完成的改造任务,故答案为:实际每天完成的改造任务.考点三 根据条件列代数式类型一 根据条件列代数式(1)例1一个两位数,十位数字是b,个位数字是a,这个两位数可表示为( )【答案】C【分析】根据数的表示,两位数=10×十位数字+个位数字,将对应字母或数值代入即可求解.【详解】解:由题意可知,该两位数可表示为:,故选:C.【点睛】本题主要考查的是列代数式,重点在于掌握多位数用字母表示.例2一个三位数的个位数字是a,十位数字是0,百位数字是b,则这个三位数可表示为( )【答案】D【分析】根据数的表示,三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字,将对应字母或数值代入即可求解.【详解】解:由题意可知,该三位数表示为:,故选:D.变1一个三位数,百位上数字是,十位上数字是,个位上数字是,用整式表示这个三位数是( ).【答案】C【分析】将各个数位上的数字乘以对应的数值后相加即可得到这个三位数.【详解】解:∵一个三位数,百位上数字是 a ,十位上数字是 b ,个位上数字是 c ,∴这个三位数是100a+10b+c,故选:C.变2一个三位数,百位的数字是a,十位的数字是b,个位的数字是c,那么这个三位数的十位数字和百位数字对调后所得的三位数是( )【答案】D【分析】根据题意得出对调后,百位的数字是b,十位的数字是a,个位的数字是c,然后表示出来即可.【详解】解:∵一个三位数,百位的数字是a,十位的数字是b,个位的数字是c,∴十位数字和百位数字对调后,百位的数字是b,十位的数字是a,个位的数字是c,∴这个三位数表示为100b+10a+c,故选:D.例3如图,下列四个式子中,不能表示阴影部分面积的是( ) 【答案】C【分析】根据图形列出各个算式,再得出答案即可.【详解】解:阴影部分的面积S=+3(2+x)=x(x+3)+3×2=(x+3)(x+2)﹣2x,故A、B、D都可以表示阴影部分面积,只有C不能,故选:C.例4方孔铜钱应天圆地方之说,古代入们认为天是圆的(圆形),地是方的(正方形),所以秦朝以后铸钱大多以“外圆内方”为型.如图中是一枚清代的“乾隆通宝”,“外圆”直径为a,内方边长为b,则这枚钱币的面积可以表示为( ) 【答案】C【分析】用外圆面积减去里面正方形面积即可.【详解】解:由题意得:钱币的面积为:,故选C.变3如图,一块长为m,宽为n的长方形草坪,上下开辟的花园,都是由等半径的两个四分之一圆和一个半圆组成,那么中间草坪的面积是 . 【解题思路】直接利用总面积减去两个圆的面积得出答案.【解答过程】解:由题意可得,中间草坪的面积是:mn﹣2π()2=mn.故答案为:mn.变4如图,阴影部分面积的表达式为( ) 【解题思路】直接利用矩形面积减去圆的面积进而得出答案.【解答过程】解:阴影部分面积的表达式为:ab﹣π×()2=abπa2.故选:D.类型二 根据条件列代数式(2)例1“a的相反数与b的3倍的差”,用代数式表示为_________.【答案】【分析】a的相反数为-a,b的3倍3b,然后表示出差即可.【详解】解:a的相反数为-a,b的3倍3b,则a的相反数与b的3倍的差表示为:.故答案为.【点睛】本题考查了列代数式,解题的关键是正确理解文字语言中的关键词,比如该题中的“倍”、“差”等,从而明确其中的运算关系,正确地列出代数式.变1用含有x的代数式表示:7减去x的3倍差的立方_________.【答案】##【分析】根据题意,列出代数式,即可求解.【详解】解:根据题意得:. 故答案为:变2“的平方与5的和的相反数减去的差”用代数式表示为( )【答案】A【分析】根据“x的平方与5的和”为,在用相反数的定义,最后计算的是差;【详解】解:由题意得:,故选:A.例2一家商店把一种旅游鞋按成本价元提高50%标价,然后再以8折优惠卖出,则这种旅游鞋每双的售价是_________.【答案】元【分析】根据每件成本价a元,提高50%得出标价的价格,再根据按标价的8折出售,即可列出代数式.【详解】根据题意可得:,故这种旅游鞋每双的售价是元.故答案为:元例3一种商品每件成本a元,若按成本加价20%出售,则每件售价_____元.【答案】【分析】由原来的价格为元,按成本增加20﹪,可表示为原来量再乘以,从而可得答案.【详解】解:一种商品每件成本元,按成本增加20﹪定出价格,每件售价为:元,故答案为:.变3某商场对原单价为元的书包打8折出售,则该种书包的现在单价为_____元.【答案】【分析】根据售价=原售价×打折率列出代数式.【详解】解:由题意知,该种书包的现在单价为0.8b.故答案是:0.8b.变4某冰箱降价30%后,每台售价a元,则该冰箱每台原价应为( )【答案】B【分析】根据原价售价(折扣率)即可得.【详解】解:由题意得:该冰箱每台原价应为(元),故选:B.例4一台饮水机成本价为a元,销售价比成本价高22%,因库存积压需降价促销,按销售价的80%出售,则每台实际售价为( )【答案】B【分析】先表示出销售价为(1+22%)a,再根据按销售价的80%出售可得实际售价.【详解】解:由题意得,实际售价为:(1+22%)a·80%元.故选:B.例5某企业今年9月份产值为万元,10月份比9月份减少了10%,11月份比10月份增加了15%,则11月份的产值是( )【答案】A【分析】根据9月份的产值是x万元,用x把10月份的产值表示出来(1-10%)x,进而得出11月份产值列出式子(1-10%)(1+15%)x万元,即可得出选项.【详解】解:9月份的产值是x万元,则:10月份的产值是(1-10%)x万元,11月份的产值是(1+15%)(1-10%)x万元,故A正确.故选:A.变5某班共有n个学生,其中女生人数占55%,那么男生人数是( )【答案】B【分析】根据男生人数=全班人数×男生所占份数即可求出答案.【详解】因为女生人数占全班人数的55%,所以男生人数则占全班人数的(1 - 55%),因为某班共有n个学生,所以男生人数是(1 - 55%)n,故选:B.变6一款羽绒服的成本价为a元,销售价比成本价增加了15%,现因库存积压,所以就按销售价的75%出售,那么这款羽绒服每件的实际售价为( )【答案】B【分析】每台实际售价=成本价×(1+15%)×75%,根据等量关系直接列出代数式即可.【详解】解:每台实际售价为75%(1+15%)a元,故选:B.考点四 已知字母求代数式的值类型一 已知字母求代数式的值例1若x是最大的负整数,y是绝对值最小的整数,则的值是______.【答案】-1【分析】最大的负整数是-1,绝对值最小的整数是0,从而得出x,y,代入求值.【详解】解:∵x是最大的负整数,y是绝对值最小的整数,∴,∴.故答案为:-1.例2若,则3a+b=______.【答案】7【分析】根据平方的非负性,以及绝对值的非负性,可知,,代入求值即可.【详解】解:∵,且,∴,,∴,,解得:,,∴,故答案为:7.例3定义为二阶行列式,规定它的运算法则为,那么当x=1时,二阶行列式的值为______.【答案】0【分析】根据二阶行列式的定义列式并代入求值即可.【详解】解:当x=1时,由二阶行列式的定义可知:,故答案为:0.变1已知,则代数式的值为______.【答案】2【分析】直接把代入到中进行求解即可.【详解】解:∵,∴,故答案为:2.变2如果,那么代数式的值是( )【答案】B【分析】由非负数的性质先求得a、b的值,然后再代入计算即可.【详解】解:∵∴,∴,故选:B变3若(x-y+3)2与|2x+y|互为相反数,则x+y的值为______.【答案】1【分析】根据互为相反数的两个式子的和为0,根据平方的非负性和绝对值的非负性可知,(x-y+3)2=0,且|2x+y|=0时它们的和为0,由此得出关于x和y的二元一次方程组,然后把解代入x+y,从而求出结果.【详解】解:∵(x-y+3)2与|2x+y|互为相反数,∴(x-y+3)2+|2x+y|=0,又∵(x-y+3)2≥0,|2x+y|≥0,∴(x-y+3)2=0,且|2x+y|=0,即,解得,∴x+y=-1+2=1.故答案为:1.例4知,,,且,求.【答案】12或14【分析】由绝对值的定义得出,,,再根据可得,,或,,,分别代入求值即可.【详解】解:∵,,,∴,,,∵,∴,,或,,,∴或.【点睛】本题考查了绝对值的定义及实数大小的比较,熟练掌握相关知识点是解题的关键.变4若|x|=4,|y|=1,且x<y,求的值.【答案】﹣16或16【分析】根据绝对值的定义得到的值,代入代数式求值即可.【详解】解:∵|x|=4,|y|=1,∴,,∵x<y,∴或,∴当x=﹣4,y=1时,;当x=﹣4,y=﹣1时,;∴的值为﹣16或16.例5已知与互为相反数,与互为倒数,是最小的正整数,则:(1) , , .(2)求的值.【答案】(1)0,1,1;(2)0【分析】(1)根据a、b互为相反数,则a+b=0,c、d互为倒数,则cd=1,m为最小的正整数,则m=1.(2)将(1)中的值代入计算即可.(1)解:∵a、b互为相反数,则a+b=0,∵c、d互为倒数,则cd=1,∵m为最小的正整数,则m=1,故答案为:0,1,1;(2)解:∵a+b=0,cd=1,m=1,∴.【点睛】本题主要考查了代数式求值,掌握相反数、倒数和最小的正整数等概念,是正确解答本题的基础.变5已知a,b互为倒数,x,y互为相反数,.(1)求的值;(2)求式子.【答案】(1)1(2)-7或9.【分析】先根据互为倒数、互为相反数的意义,求出ab、x+y的值,根据平方根的意义求出m的值;(1)把ab、x+y的值代入多项式,求出多项式的值;(2)把ab、x+y及m的值代入多项式,求出多项式的值.(1)解:由a、b互为倒数,x、y互为相反数,m是平方后得4的数,则ab=1,x+y=0,m=±2.把ab=1,x+y=0代入多项式,∴=ab+(x+y)=1+0=1;(2)解:∵ab=1,x+y=0,m=±2.∴=12021-0-m3=1-m3,当m=2时,原式=1-8=-7;当m=-2时,原式=1+8=9.故式子的值是-7或9.【点睛】本题考查了互为相反数、互为倒数的意义,平方根的意义及有理数的混合运算.掌握互为相反数的两数的和为0,互为倒数的两数的积为1.一个正数有两个平方根是解决本题的关键.类型二 已知字母求面积例1如图,已知长方形ABCD的宽AB=4,以B为圆心、AB长为半径画弧与边BC交于点E,连接DE,若CE=x,(计算结果保留π) (1)BC=________(用含x的代数式表示);(2)用含x的代数式表示图中阴影部分的面积;(3)当x=4时,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)4+x(2)(3)【分析】(1)利用,即可得出答案;(2)根据阴影部分的面积=长方形的面积-扇形的面积-三角形的面积即列出代数式;(3)把x=4代入代数式求值即可.(1)解:∵AB、BE是半径,AB=4,∴∵CE=x,∴;(2)∵长方形ABCD的宽AB=4,∴∴,,,∴;(3)当x=4时,.例2为了绿化校园,学校决定修建一块长20米,宽15米的长方形草坪,并在草坪上修建如图所示的十字路,小路宽均为米. (1)请用含的式子表示小路的面积;(2)当时,求草坪的面积(阴影部分).【答案】(1)(35x-)平方米(2)234平方米【分析】(1)小路的面积等于长为20米,宽为x米和长为15米,宽为x米的长方形的面积之和减去一个边长为x米的正方形的面积;(2)草坪的面积=原长方形的面积-路的面积,代入数值计算可得.(1)小路的面积为20x+15x-=(35x-)平方米;(2)草坪的面积=当x=2时,草坪面积=(平方米).变1(1)用字母表示图中阴影部分的面积(写出化简后的结果)(2)若a=2,b=4.5,计算出阴影部分的面积.(π取3.14,结果精确到0.1) 【答案】(1);(2)4.3【分析】(1)根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去四分之一圆的面积与二分之一小圆的面积即可;(2)将已知值代入(1)中结论即可.【详解】解:(1)矩形的面积为ab,四分之一圆的面积为:,二分之一小圆的面积为:,∴阴影部分的面积为:;(2)当a=2,b=4.5时,.【点睛】题目主要考查列代数式及求代数式的值,理解题意,列出相应的代数式是解题关键.变2如图是某小区的一块长为b米、宽为2a米的长方形草地,现在在该长方形的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花台. (1)求修建后剩余草坪(阴影部分)的面积:(用含a,b的式子表示)(2)当a=10,b=40时,草坪的面积是多少平方米?(π取3.14)【答案】(1)2ab﹣πa2平方米(2)486平方米【分析】(1)由图可知,四个扇形的面积等于一个圆的面积,用矩形的面积减去一个圆的面积即可,(2)将a和b的值代入(1)中的式子进行计算即可.(1)修建后剩余草坪的面积为(平方米).(2)当a=10,b=40时,≈=800﹣314=486(平方米).考点五 程序流程图求代数式的值例1在如图所示的运算程序中,如果开始输入的x值为,则输出的结果为( ) 【答案】C【分析】将代入+3即可求解.【详解】解:∵,为分数,∴将代入+3,得:.故选:C.例2乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”,按如图所示的程序运算,若输入一个有理数,则可相应的输出一个结果.若输入的值为,则输出的结果为( ) 【答案】B【分析】把x=代入程序中计算,判断结果比0小,以此类推,得到结果大于0,输出即可.【详解】解:把x=代入运算程序得:(-1)×(-3)-8=3-8=-50,输出的结果y为7.故选B.例1按下面的程序计算,若开始输入的值10,最后输出的结果为_______. 【答案】335【分析】将开始的值10输入到3x+5中计算得到结果为35,结果小于300;将35代入3x+5中计算得到结果为110,小于300;继续将110代入3x+5中计算,得到结果为335,大于300,可得出输出的值为335.【详解】解:若输入的值为10,代入得:3x+5=3×10+5=30+5=35<300;此时输入的值为35,代入得:3x+5=3×35+5=105+5=110<300;此时输入的值为110,代入得:3x+5=3×110+5=335>300,则输出的结果为335.故答案为:335变1小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后,设计了如图所示的运算程序,若开始输入的值为2,则最后输出的结果是( ) 【答案】D【分析】把m=2代入运算程序中计算,如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算,如大于7则直接输出结果.【详解】解:当m=2时,m2-1=22-1=3<7,当m=3时,m2-1=32-1=8>7,则y=8.故选:D.变2按如图所示的运算程序,若输入a=1,b=﹣2,则输出结果为( ) 【答案】C【分析】根据新定义的要求进行整式混合运算,代入数值进行实数四则运算.【详解】解:∵输入a=1,b=﹣2,a>b,即走“否”的路径,∴,输出结果为5,故选:C.变3观察如图所示的程序,若输入x为2,则输出的结果为( ) 【答案】B【分析】根据流程图所示顺序,代入计算即可得.【详解】∵,∴.故选:B.变4根据如图所示的流程图中的程序,当输入数据,时,m值为______. 【答案】3【分析】将x=-2,y=1代入按规则运算即可.【详解】解:∵当x=-2,y=1时,xy=-2×1=-2<0,∴m=x2-y2=(-2)2-12=3,故答案为:3.例4按如图所示的运算程序,能使输出值为的是( ) 【答案】C【分析】根据程序流程图的顺序进行计算即可.【详解】A、,时:,不符合题意;B、,时:,不符合题意;C、,时:,符合题意;D、,时:,不符合题意;故选C.例5按如图所示程序计算,若开始输入的x值是正整数,最后输出的结果是32,则满足条件的x值为( ) 【答案】C【分析】根据题意列出等式,进而可以求解.【详解】解:由题意可得,当输入x时,3x-1=32,解得:x=11,即输入x=11,输出结果为32;当输入x满足3x-1=11时,解得x=4,即输入x=4,结果为11,再输入11可得结果为32,故选:C.变5按如图所示的运算程序,能使输出结果为19的是( ) 【答案】A【分析】把各自的值代入运算程序中计算得到结果,即可作出判断.【详解】解:A、把,代入运算程序中得:∵a>b,∴,符合题意;B、把,代入运算程序中得:∵a<b,∴,不符合题意;C、把,代入运算程序中得:∵a
