高考数学一轮复习第9章第7课时二项分布、超几何分布与正态分布学案

这是一份高考数学一轮复习第9章第7课时二项分布、超几何分布与正态分布学案，共27页。
2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
1．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
2．超几何分布
(1)定义
在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN-Mn-kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN．
3．正态曲线与正态分布
(1)我们称f(x)＝1σ2πe-(x-μ)22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(3)超几何分布与二项分布的期望值相同．( )
(4)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A．25 B．35
C．18125 D．54125
D [袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C32×352×1-35＝54125.]
2．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
A [由题意，E(X)＝10×2050＝4.故选A.]
3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
C [∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]
4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．
310 [由题意得P(X＝2)＝C32C72C104＝310.]
考点一 n重伯努利试验与二项分布
n重伯努利试验及其概率
[典例1] 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
[解] (1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件A1为“甲射击4次，全部击中目标”．由题意可知，射击4次相当于做了4重伯努利试验，
故P(A1)＝C44×234＝1681.
所以P(A1)＝1－P(A1)＝1－1681＝6581.
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581.
(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
则P(A2)＝C42×232×1-232＝827，
P(B2)＝C43×343×1-341＝2764.
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×2764＝18.
所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为18.
(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，
则A3＝D5D4D3(D2D1∪D2D1∪D2D1)，
且P(Di)＝14.
由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1＋D2D1＋D2D1)
＝14×14×34×1-14×14＝451 024.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.
二项分布的性质
[典例2] (2022·山东枣庄一模)已知随机变量X～B6，0.8，若PX=k最大，则DkX+1＝________．
24 [由题意知：PX = k ＝ C6k·0.26-k·0.8k，
要使PX=k最大，有C6k·0.26-k·0.8k≥C6k-1·0.27-k·0.8k-1，C6k·0.26-k·0.8k≥C6k+1·0.25-k·0.8k+1，
化简得0.8×7-kk≥0.2，0.2≥0.8×6-kk+1， 解得235≤k≤285，故k＝5.
又D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，
故DkX+1＝D5X+1＝52D(X)＝24.]
二项分布的均值与方差
[典例3] (2023·湖南株洲模拟)M1，M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为12，服用M2有效的概率为13.
(1)求一个试验组为优类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
[解] (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用M1有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用M2有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2.
依题意有：PA0＝122＝14，PA1＝2×12×12＝12，PA2＝12×12＝14.
PB0＝23×23＝49，PB1＝2×13×23＝49，
PB2＝132＝19，
则一个试验组为优类组的概率为：
P＝PB0·A1＋PB0·A2＋PB1·A2＝49×12+49×14+49×14＝49.
(2)由题意可知ξ～B3，49，
Pξ=0＝593＝125729，
Pξ=1＝C31×49×592＝100243，
Pξ=2＝C32×492×59＝80243，
Pξ=3＝493＝64729，
则ξ的分布列为
ξ的数学期望为Eξ＝3×49＝43.
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
提醒：求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
[跟进训练]
1．某地区为鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．
(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？
[解] (1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3.则P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2，
P(X＝1)＝0.8×1-p2+0.2×C21×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，
P(X＝2)＝0.2p2+0.8×C21×p×(1－p)
＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，
P(X＝3)＝0.8p2.
X的分布列为
E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.
(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．
①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.
②记Y为n棵树苗的成活棵数，M(n)为n棵树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，
E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，
要使E(M(n))≥200 000，则有n＞699.
所以该农户至少引种700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．
考点二 超几何分布
[典例4] (2022·湖北武汉二模)某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．
(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；
(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X，求X的分布列及期望．
[解] (1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则PA＝C93C103＝710.
(2) X可能取值为1，2，3.
则PX=1＝210＝15，
PX=2＝810×29＝845，
PX=3＝810×79＝2845.
故X的分布列是
故EX＝1×15＋2×845＋3×2845＝10945.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
[跟进训练]
2．(2023·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求PY=5.
[解] (1)X可能的取值为0，1，2，PX=k＝C2kC33-kC53，其中k＝0，1，2.
分布列如下：
故X的数学期望EX＝65.
(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，
∴所求概率P＝1-25×25×35×25×25＝2523 125.
考点三 正态分布
[典例5] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大
B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等
(2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)＝________．
(1)D (2)2 0.954 5 [(1)对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D.
(2)由X～N(2，9)可知，正态曲线的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，
∴c＝2.
P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝0.954 5.]
【教师备选题】
(2021·八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N0，2n，为使误差εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|